精品解析：天津市蓟州中学2026届高三上学期高考备考模拟考试（三）数学试卷

2026届高三高考备考模拟考试数学学科（三） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共9小题每题5分共45分，每小题四个选项中只有一个符合题目要求） 1. 已知全集，，或，则集合（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，根据补集的定义求，再由交集的定义求. 【详解】因为全集，或， 所以，又， 所以， 故选：B. 2. “”是“角的终边落在第一或第二象限”的（ ）. A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“角的终边落在第一或第二象限”以及“角的终边落在第一或第二象限”能否推出“”，进而确定二者之间的条件关系. 【详解】充分性是指由“”能否推出“角的终边落在第一或第二象限”. 根据正弦函数的定义，（其中为角终边上一点的纵坐标，为该点到原点的距离，）. 当时，即，因为，所以. 此时角的终边可能落在第一或第二象限，也可能落在轴的正半轴上（当角的终边落在轴正半轴上时，，，）. 所以由“”不能推出“角的终边落在第一或第二象限”，充分性不成立.  必要性是指由“角的终边落在第一或第二象限”能否推出“”. 当角的终边落在第一象限时，终边上任意一点的横、纵坐标都大于，即，，那么（）. 当角的终边落在第二象限时，终边上任意一点的横坐标小于，纵坐标大于，即，，那么（）. 所以由“角的终边落在第一或第二象限”可以推出“”，必要性成立. 由于充分性不成立，必要性成立，所以“”是“角的终边落在第一或第二象限”的必要不充分条件.  故选：D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用奇偶性及大于1时函数值正负判断即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除CD； 当时，，排除B，选项A符合要求. 故选：A 4. 设为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面和面面的基本关系依次判断选项即可. 【详解】A：若，则或a与b互为异面直线，故A错误； B：若，则或a与b互为异面直线，故B错误； C：若，则，故C正确； D：若，则或或a与b互为异面直线或a与b相交，故D错误. 故选：C 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数单调性，结合中间值比较出大小. 【详解】，， ， . 故选：D. 6. （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算性质可直接求得答案. 【详解】， 故选：D. 7. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件确定函数的对称轴，由对称轴确定的最小值. 【详解】由题意，函数的一条对称轴为：. 由，. 因为，所以当时，取得最小值，为. 故选：B 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义求得（用表示），再由勾股定理求得关系得离心率． 【详解】因为，设，， 又，所以， 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 再由得，即，所以离心率为， 故选：A． 9. 已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（ ） ①； ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及求出，由求出的取值，再根据周期确定的值，即可得到函数解析式，即可判断①，根据图象变换结合奇偶性判断②；根据题意以为整体，结合正弦函数性质分析判断③④. 【详解】因为（其中、）， 由题意可知：，且，解得， 则， 又因为，即， 结合图象可知，解得， 且，则，解得， 所以，可知，故①正确； 所以， 对于②：为奇函数，故②正确； 对于③：因为，则， 由题意可得：，解得，故③正确； 对于④：因为，则， 且在内不单调，所以在区间上不单调，故④错误； 所以正确的个数为3. 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题每题5分共30分） 10. 已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 11. 在的展开式中常数项是____________.（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，即，∴常数项为. 故答案为：15. 12. 数列的前满足的和为，若，（），则___________. 【答案】11 【解析】 【分析】由题意，根据计算即可求解. 【详解】， 当时，， 又， 所以. 故答案为：11 13. 直线：与圆相切于点，且圆心在抛物线的准线上，则圆的标准方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】先设出圆心坐标，根据半径相等建立等式解方程即可. 【详解】由抛物线方程，可知准线方程为，设圆心坐标为，由题意有 ，解得，， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：化，再应用基本不等式求最小值；法二：化，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】法一： ，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 15. 在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则_________.若，点为线段上的动点，则的最小值为_______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理解决第一空，建立平面直角坐标系，设，，表示出点坐标，再由坐标法求数量积，最后由二次函数的性质计算可得. 【详解】依题意 ， 又，且、不共线，所以，所以； 如图建立平面直角坐标系，则，，所以，， 所以， 因为点为线段上的动点，所以设，， 则，则， 所以，， 所以 ， 所以当时取得最小值，最小值为； 故答案为：； 三、解答题（16题14分17-19题每题15分20题16分共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，． ①求的值； ②求的面积． 【答案】（1）；（2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得，再求得； （2）①由正弦定理求得，由得为锐角，从而求得角，然后计算函数值； ②由余弦定理求得后可得三角形面积． 【详解】得， 由余弦定理知，． 又，所以． （2）（ⅰ）由正弦定理知，． 又，所以，所以 （ⅱ）由，即，解得（舍去负根）， 所以的面积． 【点睛】易错点睛：本题考查余弦定理、正弦定理、三角形面积公式，在解三角形中由正弦求余弦值时，需要确定角的范围，余弦值是正还是负，否则易出现错误．判断方法如大边对大角，或者三角函数的性质． 17. 如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为. （1）求实数值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量夹角余弦值求出. （2）由（1）的结论，求出平面的法向量，利用平面角的向量求法求解即得. （3）求出平面的法向量，结合（2）中信息，面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 依题意，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，由，得，则，而， 而，显然，解得. 【小问2详解】 由（1）得，，设平面的法向量， 则，令，得，又， 于是， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）令平面的法向量，则，令，得， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，利用题干条件得到方程组，求出，，求出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，利用得到方程，求出的值. 【小问1详解】 由题意得：设，令得：， 解得：， 不妨设，则，故， 又， 解得：，所以， ， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意得：， 设出直线CD：，与椭圆方程联立得：， 其中恒成立， 设， 则， 则 ， 由得： ，整理得：， 解得： 19. 已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列. （1）求数列和的通项公式. （2）记，求数列的前项和. （3）记，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据与的关系得到，再根据等比数列的性质即可得到； （2）利用裂项相消法即可得结果； （3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，， 所以， 即是以首先，公比为的等比数列，即. 因为，成等比数列， 所以，即，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）得 ， 则 【小问3详解】 ， 因为， 设，前项和为， 则， ， . 所以 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1）当时，在R上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. （2） （3）由（2）得：当时，， 即恒成立，当且仅当时，等号成立， 要证明，只需证明， 即， 令， 则，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立， 即在R上单调递增， 因为， 所以当时，，当时，， 所以在时单调递减，在时单调递增， 因为， 所以，当且 仅当处等号成立， 由于与，等号成立时的取值不同，故最终等号取不到， 所以 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况进行求解函数单调性；（2）在第一问研究的函数单调性的基础上，确定，由最小值小于0求出，再寻找两个函数值大于0的点，从而由零点存在性定理得到结果；（3）在第二问基础上进行放缩，得到，进而证明即可，构造函数，多次求导，从而求出，由于与，等号成立时的取值不同，故最终等号取不到，证明出不等式. 【小问1详解】 定义域为R， ， 当时，恒成立，在R上单调递减， 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，在R上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在R上单调递减，则在R上最多一个零点，故不满足有两个零点，舍去； 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，， 要想有两个零点，要满足， 令，， 恒成立，所以在上单调递增， 又注意到，所以， 又， 由零点存在性定理，在上有一零点， 设正整数满足， 则， 而， 由零点存在性定理，在有一个零点. 综上：的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】导函数证明不等式，要能结合题目特征，进行适当的放缩，利用导函数研究函数的单调性和极值，最值情况，证明出不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三高考备考模拟考试数学学科（三） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共9小题每题5分共45分，每小题四个选项中只有一个符合题目要求） 1. 已知全集，，或，则集合（    ） A. B. C. 或 D. 2. “”是“角的终边落在第一或第二象限”的（ ）. A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 设为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（ ） ①； ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题每题5分共30分） 10. 已知i是虚数单位，则 ________． 11. 在的展开式中常数项是____________.（用数字作答） 12. 数列的前满足的和为，若，（），则___________. 13. 直线：与圆相切于点，且圆心在抛物线的准线上，则圆的标准方程为______ 14. 已知，则的最小值为______． 15. 在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则_________.若，点为线段上的动点，则的最小值为_______________. 三、解答题（16题14分17-19题每题15分20题16分共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，． ①求的值； ②求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为. （1）求实数值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值. 19. 已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列. （1）求数列和的通项公式. （2）记，求数列的前项和. （3）记，求. 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $