精品解析：贵州省遵义市红花岗区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

红花岗区2024—2025学年度第一学期期末质量监测 高一年级数学试题卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写在答题卡规定的位置上. 2.选择题必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号：非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，要求书写工整、规范.在试卷上答题无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 若命题：，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 6. 若函数，则的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 3 8. 已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是幂函数，，则（ ） A. B. 是上的减函数 C. 是奇函数 D. 恰有2个零点 11. 对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（ ） A. 函数，的图象关于原点对称 B. 函数，的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 15 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第5列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是_____. 13. 若函数，则的最小值是 __． 14. 若在定义域内有且只有一个零点，则a的值为________ 四、解答题（共5题，共77分） 15. （1）已知，求的值； （2）计算的值. 16. 已知集合，集合. （1）求，； （2）求，. 17. 已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式. 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）求样本成绩的平均数，中位数和众数； （3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 19. 不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点. 已知函数，. （1）当，时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，，且，，求实数的取值范围； （3）若函数的不动点为，2，且对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红花岗区2024—2025学年度第一学期期末质量监测 高一年级数学试题卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写在答题卡规定的位置上. 2.选择题必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号：非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，要求书写工整、规范.在试卷上答题无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合集合间的交集运算求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：B. 2. 若命题：，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题分析判断即可. 【详解】命题：，的否定为，. 故选：D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出使函数解析式有意义的的取值范围即可. 【详解】因为函数， 所以，解得且， 所以函数的定义域为：且. 故选：B. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点的存在性定理的应用即可求解. 【详解】由题意知，， ， 所以，而函数为上的增函数， 由零点的存在性定理知函数的零点在区间. 故选：C 5. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可判断ABC；利用不等式性质可判断D. 【详解】当，时，，故A错误； 当，，，时，，故B错误； 当时，可得，故C错误； 若，，则，故D正确. 故选：D. 6. 若函数，则的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的零点和单调性进行排除，从而确定正确选项. 【详解】令可得， 当时，，排除选项CD. 当时，且，排除选项A，又函数单调递增，B正确. 故选：B. 7. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为实数，，满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 8. 已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦达定理可得，整理可得，结合图象可得，，，构造，结合对勾函数单调性分析求解. 【详解】因为方程有两个不相等的正根， 则，即，可得， 由，可得， 可知与在内有2个交点，如图所示： 则，，， 构造，可知在内单调递减， 则，即， 所以的取值范围是. 故选：C. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【详解】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 10. 已知函数是幂函数，，则（ ） A. B. 是上的减函数 C. 是奇函数 D. 恰有2个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据幂函数定义可得，进而判断的单调性，即可判断AB；可得，进而判断其奇偶性和零点，即可判断CD. 【详解】因为函数是幂函数， 则，解得，可得是上单调递增，故A正确，B错误； 又因为的定义域为， 且，所以是奇函数，故C正确； 令，解得， 所以恰有3个零点，故D错误； 故选：AC. 11. 对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（ ） A. 函数，的图象关于原点对称 B. 函数，的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，取值验证判断A；由取整函数的定义得，进而判断BC；解一元二次不等式，然后根据取整函数的定义求出解集判断D. 【详解】对于选项A：当时，，当时，， 即点都在函数的图象上，它们关于原点不对称， 则函数的图象关于原点不对称，A错误； 对于选项B：由取整函数的定义知， ，则， 因此函数的值域为，B正确； 对于选项C：由取整函数的定义知，，， 则，C正确； 对于选项D：由，可得，解得， 且，则或， 因此，不等式的解集为，D正确. 故选：BCD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 15 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第5列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是_____. 【答案】15 【解析】 【分析】按照题意结合随机数表依次读出前4个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第5列数字开始由左向右每次连续读取2个数字， 删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有40，37，14，15， 所以选出来的第4个个体的编号为15. 故答案为：15. 13. 若函数，则的最小值是 __． 【答案】2 【解析】 【分析】利用换元法求出解析式，再求一元二次函数的最值即可. 【详解】令，则，则， 把换成，即，其图象对称轴为，且开口朝上， ，所以的最小值是2． 故答案为：2． 14. 若在定义域内有且只有一个零点，则a的值为________ 【答案】1 【解析】 【分析】分析可知函数为偶函数，结合对称性可知，可得，并代入检验即可. 【详解】因为的定义域为， 且， 可知函数为偶函数， 若函数在定义域内有且只有一个零点， 则，解得， 若，则， 因为，， 可得， 当且仅当时，等号成立， 即函数在定义域内有且只有一个零点，符合题意， 综上所述：. 故答案为：1. 四、解答题（共5题，共77分） 15. （1）已知，求的值； （2）计算的值. 【答案】（1）7；（2）8 【解析】 【分析】（1）利用指数运算及完全平方公式计算即可； （2）利用指数运算法则及对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）， 则两边同时平方可得，， 故. （2）. 16. 已知集合，集合. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1）， （2）； 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合B，结合集合的交集和并集运算求解； （2）利用集合的交、并、补混合运算求解即可. 【小问1详解】 因为集合， 且集合，所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为集合，则， 且集合，所以. 17. 已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式. 【答案】（1） （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，令， 则， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合代入计算即可得； （2）根据题意结合函数单调性的定义证明即可； （3）根据奇函数性质可得，再结合函数单调性计算即可，注意函数定义域. 【小问1详解】 由题意可知：函数为定义在上的奇函数，则，即， 且，解得，可得， 此时， 故为奇函数，符合题意，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得：为奇函数， 由得， 且在上单调递增，则，解得， 故不等式的解集为. 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）求样本成绩的平均数，中位数和众数； （3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1），86 （2）74，75，75 （3）， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得参数，根据百分数的定义，可得答案； （2）根据平均数、中位数以及众数估计值的公式，结合频率分布直方图，可得答案； （3）根据两个分数段的频率可得其人数比例，结合平均数与方差的计算，可得答案. 【小问1详解】 根据题意可得，解得； 因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25， 所以样本成绩的第80百分位数在内，且为. 【小问2详解】 本成绩的平均数为； 因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3， 所以样本成绩的中位数在内，且为； 样本成绩的众数为. 【小问3详解】 因为与的频率之比为， 又落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4， 所以两组成绩合并后的平均数； 所以两组成绩合并后的方差. 19. 不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点. 已知函数，. （1）当，时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，，且，，求实数的取值范围； （3）若函数的不动点为，2，且对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由不动点的定义解方程即可求解； （2）由不动点的定义可得有两个不相等的实数根，，设，根据根的范围列不等式组即可求解； （3）由已知可得，2为方程的两根，根据韦达定理可求解的解析式，由可得的值域是值域的子集，分，，三种情况分别求解即可. 【小问1详解】 函数的不动点即为的实数根， 当，时，转化为方程的实数根， 解得或，所以函数的不动点为和； 【小问2详解】 由题意可得方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，，且，， 设， 令，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可知，2为方程即的两根， 则，解得，， 从而， 因为，即， 由题可知的值域是值域的子集， 因为在上是减函数，则， 即的值域为， 因为且， 当时，，不合题意舍， 当时，在上是增函数，则， 因为，则，解得， 当时，在上是减函数，则， 因为，则，解得， 故的取值范围是或. 【点睛】关键点点睛：对于函数问题中新定义问题，关键是能够充分理解不动点的定义，从而构造方程，在求解参数范围过程中，利用二次函数、一次函数求解对应模型的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $