北京市北京中学2025-2026学年高二英才上学期期中质量调研数学试题

2025—2026学年度第一学期期中质量调研试题 高二英才数学 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知直线经过两点，那么直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆与圆外切，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 如图，在平行六面体中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B. C. 2 D. 2 5. 若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前n项和为成等差数列，，则n的最小值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 7. 已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 曼哈顿距离（）是由十九世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点，它们之间的曼哈顿距离．已知点，点是直线上的动点，点是直线上的动点，其中．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 若向量，且，则___________. 12. 记等差数列的前项和为，则______. 13. 写出一个关于直线对称的圆的方程__________. 14. 如图所示的多面体，其各个面都是边长为2的等边三角形，点分别为棱的中点，则______. 15. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现.若椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一动点，过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于，，则________. 16. 已知等差数列与等比数列都是无穷递增数列，给出下列四个结论: ①不存在数列与，使得是递减数列； ②存在数列与，使得是递增数列； ③不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项； ④存在数列与，使得恰好出现三个为1的项. 其中正确结论的序号是_____. 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求的前项和. 18. 已知圆经过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若在圆C上存在点，使四边形为平行四边形，其中为坐标原点，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥唯一确定，并求： （i）直线与平面所成角的正弦值； （ii）点到平面的距离． 条件①：二面角的大小为； 条件②： 条件③：． 20. 已知椭圆过点，长轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于点，直线分别交直线于点，为坐标原点.若，求证：直线经过定点. 21. 在）个实数组成的n行n列的数表中，表示第i行第j列的数，记，若∈，且两两不等，则称此表为“n阶H表”，记 （1）请写出一个“2阶H表”； （2）对任意一个“n阶H表”，若整数且，求证：为偶数； （3）求证：不存在“5阶H表”. 2025—2026学年度第一学期期中质量调研试题 高二英才数学 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】160 【13题答案】 【答案】（答案不唯一，形如，） 【14题答案】 【答案】1 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】①②③ 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】（1）， （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【19题答案】 【答案】（1） 连接，交于，连接， 底面是正方形，故是的中点， 又因为为棱的中点， 所以，在中， 而平面平面， 所以平面． （2）（i）；（ii） 【20题答案】 【答案】（1）； （2）直线与椭圆方程联立， 化简得， ，即. 设，，，，则，． 直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 因为，所以+=0 所以， 所以， 把韦达定理代入整理得或， 当时，直线方程为，过定点，即点，不符合题意，所以舍去. 当时，直线方程为，过定点. 所以直线经过定点. 【21题答案】 【答案】（1） 1 1 -1 0 （2）对任意一个“n阶H表”，表示第i行所有数的和，表示第j列所有数的和， 均表示数表中所有数的和，所以 因为，所以，，……，，，，……，只能取[-n，n]内的整数. 又因为，，……，，，，……，互不相等， 所以{，，，……，，，，……，，……，-1，0，1，……，， 所以 所以偶数. （3） 假设存在一个“5阶H表”，则由（2）知5，-5，3，，且和至少有一个成立，不妨设 设，则，于是，因而可设 ①若3是某列的和，由于，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即.现考虑-3， 只能是或，不妨设，即，由，，两两不等知，，两两不等， 不妨设，若则；若，则；若， 则，均与已知矛盾. ②若3是某行的和，不妨设，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数， 不妨设，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设，， 则，矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设1，所以，第五行只能是2个，3个-1或1个1，4个-1， 则，，至少有两个数相同，不妨设，则，与已知矛盾. 综上，不存在“5阶H表”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $