精品解析：天津市滨海新区紫云中学2025-2026学年高二上学期第三次学情检测（12月）数学试题

高二年级2025－2026学年度第一学期第三次学情检测数学学科 一、单选题（本大题共12小题，每题5分，共60分.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率的定义即可求解. 【详解】由题意知，直线的斜率为, 设直线的倾斜角为，又， 所以，得. 故选：B 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】由题意得：，解得：， 故的准线方程为：. 故选：C 3. 双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（ ） A. 5 B. 1 C. 1或17 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义即可求得. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 由双曲线的定义得，则， 又因为，所以， 故或， 又因为，故舍. 故选：D 4. 已知数列为等比数列，若，，则的值为（ ） A. 8 B. C. 16 D. ±16 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为为等比数列，设的公比为， 则，， 两式相除可得，所以， 所以， 故选：A. 5. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】将椭圆方程变形得，则. 所以，所以该椭圆焦点为. 对于A，，A错误； 对于B，椭圆焦点位于轴上，不位于轴上，B错误； 对于C，，且焦点位于轴上，，所以短轴长为2， 符合题意，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 6. 等差数列的前项和为，已知，，则的值是（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件列方程组，求首项和公差，再根据，代入求值. 【详解】由条件可知，解得：， . 故选：A 7. 已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 8. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾，所以， 故，则， 所以， ， 因此， 故选：B. 9. 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 【答案】A 【解析】 【分析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解． 【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列， 设其首项为，公差为， 由题意可得， 所以，解得， 所以， 即第5节竹子的容积为升． 故选：A． 10. 如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在可得，即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 11. 已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（ ） ①两圆的圆心距； ②直线AB的方程为； ③； ④圆上的点到直线的最大距离为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的圆心与半径，求解圆心距判断①；求出相交弦数值的直线方程判断②；求解弦长判断③；利用点到直线的距离求解判断④即可． 【详解】圆的圆心，半径为：2；圆的圆心，半径为； 对于①，两圆的圆心距，所以①不正确； 对于②，两圆相交，两个圆的方程作差可得，即，所以②正确； 对于③，圆到直线的距离为：，所以，所以③不正确； 对于④，圆上的点到直线的最大距离为：，所以④正确； 故选：B． 12. 已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，由题意推得四边形为矩形，可设，则，分别在直角三角形和直角三角形中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值． 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，， 由以AB为直径的圆恰好过右焦点F可得AF⊥BF，由双曲线的对称性得四边形为矩形， 可设，则， 在直角三角形中，可得， 即为， 解得， 又在直角三角形中，， 即为， 即为， 即有， 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每题5分，共40分.） 13. 已知数列满足，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】分别代入即可得到答案. 【详解】，. 故答案为：. 14. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的方程格式进行计算即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或； 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 15. 已知分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合椭圆定义求得可得面积． 【详解】由椭圆方程知，， 因为，所以，所以， 所以． 故答案为：4． 16. 若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，故为公比为2的等比数列，从而得到通项公式. 【详解】， 又，故为公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 17. 已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，是的中点，是椭圆的中心，.（i）__________；（ii）__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】 根据椭圆方程，可得，又因为点在椭圆上， 根据椭圆定义：， 在中，是的中点，是的中点， 所以为的中位线，所以， 又因为，所以 故答案为：； 18. 已知等差数列的前项和为，其首项，公差，则当________时取最大值，的最大值为________. 【答案】 ①. 13 ②. 169 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】因为等差数列的前项和为，其首项，公差， 所以. 当时，取最大值，最大值为169. 故答案为：①13；②169. 19. 已知抛物线的焦点为，并且经过点，经过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则=_______，线段的长为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 将点代入抛物线可得的值，求出直线的方程与抛物线方程联立可得的值，利用过焦点的弦长公式即可求得线段的长. 【详解】因为抛物线经过点, 所以,解得， 所以抛物线，焦点， 所以直线的方程为：， 设，， 由可得，可得， 由抛物线的定义可得： 所以， 故答案为：； 【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论 设是过抛物线的焦点的弦，若，，则： （1），； （2）若点在第一象限，点在第四象限，则，， 弦长，（为直线的倾斜角）； （3）； （4）以为直径的圆与准线相切； （5）以或为直径的圆与轴相切. 20. 已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为.直线过抛物线的焦点和双曲线的虚轴端点，且直线与的一条渐近线平行.（i）__________；（ii）若以为直径的圆交于两点（为坐标原点），点在上，且，则双曲线的方程为__________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据两点斜率公式以及渐近线斜率可得，即可求解，写出圆的方程以及渐近线方程，联立可得，根据向量共线可得，将代入渐近线方程中即可求解. 【详解】的渐近线方程为， 双曲线的虚轴端点为，的焦点为 因此的斜率为，故，故, 设，则圆：， 不妨设直线， 联立与可得，故， 因此， 由于，故，故， 由于在，故， 结合，解得， 故双曲线方程为， 故答案为：2， 三、解答题（本题共4小题，共50分.） 21. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 22. 如图，是边长为4的正方形，平面，，且. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面 夹角的余弦值； （3）求点D到平面的距离. 【答案】（1） 根据题意可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 易知平面的一个法向量为， 显然，又平面， 所以 平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面位置关系，计算面面角及点面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上坐标系可知，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则有，， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则； 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为， 又，所以点D到平面的距离. 23. 在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和． （1）求数列、的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为d，由，，成等比数列，列式解得（舍去）或，进而得；再由数列的前n项和，得，且，进而得； （2）由（1）得，利用分组求数列的前n项和即可. 【详解】（1）设数列的公差为d，则，，∵，，成等比数列， ，即， 整理得，解得（舍去）或，. 当时，， 当时，． 验：当时，满足上式，∴数列的通项公式为． （2）由（1）得，， . 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 24. 设椭圆（）的上顶点为A，左焦点为F，已知椭圆的离心率，． （1）求椭圆方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求出，的值确定椭圆方程. （2）根据已知条件确定先确定点坐标，根据对称确定，确定坐标，求出解出坐标，求出，求出到直线的距离，进而确定三角形面积，得到关于方程，解出即可确定直线方程. 【小问1详解】 根据已知条件，，则，又因为，所以有， ，所以椭圆方程为. 【小问2详解】 根据已知条件，直线的斜率一定存在，若，则直线方程为， 与直线无交点，所以；因为，所以直线方程为， 联立直线与椭圆方程有：，即，， ，又因为，所以， 代入直线，得 ，所以，点关于轴的对称点的坐标为： ；联立，有，所以直线的斜率为 ，整理有：，设，则有， 因为， ，即，解得 所以，所以，整理有： ；因为所在直线方程为： 化为一般式，设点到直线的距离为，则 ，整理的，所以的面积为： ， ，整理有，即， 整理有：，解得或； 或整理有：，解得或； 综上所述，直线方程为或或或.， 【点睛】根据已知条件确定各点坐标，根据面积得到关于的方程化简求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级2025－2026学年度第一学期第三次学情检测数学学科 一、单选题（本大题共12小题，每题5分，共60分.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（ ） A. 5 B. 1 C. 1或17 D. 17 4. 已知数列为等比数列，若，，则的值为（ ） A. 8 B. C. 16 D. ±16 5. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的前项和为，已知，，则的值是（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 24 7. 已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 10. 如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（ ） ①两圆的圆心距； ②直线AB的方程为； ③； ④圆上的点到直线的最大距离为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每题5分，共40分.） 13. 已知数列满足，，则________. 14. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为________. 15. 已知分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且，则的面积为______． 16. 若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为__________. 17. 已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，是的中点，是椭圆的中心，.（i）__________；（ii）__________. 18. 已知等差数列的前项和为，其首项，公差，则当________时取最大值，的最大值为________. 19. 已知抛物线的焦点为，并且经过点，经过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则=_______，线段的长为_______. 20. 已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为.直线过抛物线的焦点和双曲线的虚轴端点，且直线与的一条渐近线平行.（i）__________；（ii）若以为直径的圆交于两点（为坐标原点），点在上，且，则双曲线的方程为__________. 三、解答题（本题共4小题，共50分.） 21. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 22. 如图，是边长为4的正方形，平面，，且. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面 夹角的余弦值； （3）求点D到平面的距离. 23. 在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和． （1）求数列、的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 24. 设椭圆（）的上顶点为A，左焦点为F，已知椭圆的离心率，． （1）求椭圆方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $