精品解析：广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年高二上学期元月质量调研数学试题

南宁市银海三雅学校2026年元月月考质量调研 高二年级数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值150分） 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】因为直线方程为，斜率为1， 所以该直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知是等比数列，，，则（ ） A. 10 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和定理计算即可． 【详解】因为是等比数列， 所以， 又因为，所以， 故选：C． 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 1 D. 或5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以， 解得或. 故选：B 4. 已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D 5. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A 0 B. 10 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的等差中项结合前项和公式求解即可. 【详解】因为所以 又因为 故选：C. 6. 已知椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件结合椭圆的定义求出，设出点坐标，由给定弦长求出即可得解. 【详解】因为椭圆上任意一点到，的距离之和为，由椭圆的定义得，即， 令椭圆：的半焦距为， 则，则直线， 由，解得， 于是得，则， 所以椭圆的方程为. 故选：C 7. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AEC1F法向量，利用点到面距离的向量公式即得解 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz， 则， ∴，. 设为平面的法向量，， 由，得， 令z=1，∴， 所以. 又， ∴点C到平面AEC1F的距离d=. 故选：C. 8. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在等差数列中若，，则 B. 在等比数列中若，，则 C. 在数列中，若，，则 D. 在数列中，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式和性质逐项计算判断即可. 【详解】A选项：，得，所以，A正确； B选项：由题知，则．错误； C选项：，则有，，，…，，累乘可得，，．错误； D选项：构造，数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，．D正确； 故选：AD. 10. 如图，已知正方体边长为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成角为 B. 平面 平面 C. 三棱锥的体积是正方体的 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量法计算可判断ABD，根据三棱锥体积公式计算可判断C. 【详解】以D点为坐标原点，DA为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 所以，， 因为， 所以，即直线与所成角为，故A正确； ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，即， 在正方体中，平面的法向量可以为， 因为， 所以平面 平面不成立，故B错误； ，故C正确； 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D错误. 故选：AC 11. 设抛物线的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（ ） A. 线段的中点到的准线距离为4 B. 当直线过原点时， C. 直线的倾斜角的最大值为 D. 线段的垂直平分线过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】由可得，分析几何图形知线段的中点到准线的距离为，代入相应值可判断A；由题意设，则，即可求出点A、B的坐标，代入两点间的距离公式即可判断B；直线斜率存在时符合题意，斜率不存在时，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理及可求出k的范围判断C；斜率不存在时满足题意，斜率存在时根据垂直平分线过AB的中点且与AB垂直可写出其点斜式方程，然后求出定点判断D. 【详解】设，抛物线：，得，，所以， 线段的中点到的准线距离为，故A正确； 若直线过原点，设，则，所以，所以，故B错误； 当直线AB斜率不存在时，，符合题意，当直线AB斜率存在时，设直线的方程为， 由得，则，得， 又，得，故或，则倾斜角无最大值，故C错误； 当直线AB斜率存在时，线段中点的坐标为，所以线段的垂直平分线方程为， 又，故化为，过定点；当直线的斜率不存在时其垂直平分线即为x轴所在直线，也成立，故D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆，，分别为C的左、右焦点，则离心率_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求离心率即可. 【详解】因为椭圆，所以，，， 所以. 故答案为：. 13. 在数列中，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法进行计算即可得到结果. 【详解】因为， 则，，…， 累加可得，，所以. 故答案为：. 14. 已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于等于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的不等关系，即双曲线的离心率范围可求． 【详解】圆，双曲线的渐近线为， 圆与双曲线的渐近线有公共点， 圆心到渐近线的距离， ，，即， ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的圆心为，且圆C经过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆心坐标和经过的点坐标求解即可. （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据勾股定理计算即可. 【小问1详解】 由题可设圆的标准方程，则为圆心，r为半径 又由题可知圆心，圆心到点距离 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，， 由垂径定理可知，已知， 故，. 16. 设为等差数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）当为何值时，最大，并求出的最大值. 【答案】（1） （2），最大值 【解析】 【分析】（1）直接根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求解； （2）求出，然后利用二次函数的性质求最值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， 所以数列的通项公式为， 即； 【小问2详解】 由（1）得， 由二次函数的性质可得， 当时，最大，且最大值为. 17. 已知双曲线过点，且离心率 （1）求该双曲线的标准方程： （2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率及双曲线过点可得方程； （2）设点与点的坐标，根据直线与直线的斜率互为相反数，可得直线的斜率. 【小问1详解】 由题意，解得，， 故双曲线方程为 【小问2详解】 设点，， 设直线的方程为， 代入双曲线方程，得， ，，， 同理， . 18. 已知为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义求通项公式. （2）利用错位相减法求和可得结果. 【小问1详解】 当时，，可得， 当时，，可得，则， 是首项､公比都为的等比数列， 故. 【小问2详解】 由题设，， ， 则， 所以 ， 所以. 19. 如图，在长方体中，，E为CD的中点． （1）求证：． （2）若，求平面与夹角的余弦值． （3）在棱上是否存在一点P，使得平面．若存在，求AP的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，列出向量的坐标，然后根据向量数量积证明即可. （2）先求出平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式计算即可. （3）先求出向量的坐标和平面的法向量坐标，然后利用垂直关系计算即可. 小问1详解】 证明：因为长方体中，，两两垂直，则可以以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）. 设，则，，，，， 故，，，． 因为，所以． 小问2详解】 若，则，，，，， 设平面的一个法向量为，则有 设平面与的夹角为，又线面角， 故. 【小问3详解】 假设在棱上存在一点，使得平面，此时 又设平面的法向量，所以，得， 取，得平面的一个法向量 要使平面，只要，有，解得 又平面，所以存在点P，满足平面，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市银海三雅学校2026年元月月考质量调研 高二年级数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值150分） 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列，，，则（ ） A. 10 B. C. 6 D. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 1 D. 或5 4. 已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 0 B. 10 C. 15 D. 30 6. 已知椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 等差数列中若，，则 B. 在等比数列中若，，则 C. 在数列中，若，，则 D. 在数列中，，则 10. 如图，已知正方体边长为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成角为 B. 平面 平面 C. 三棱锥的体积是正方体的 D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 设抛物线的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（ ） A. 线段的中点到的准线距离为4 B. 当直线过原点时， C. 直线的倾斜角的最大值为 D. 线段的垂直平分线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆，，分别为C的左、右焦点，则离心率_______． 13. 在数列中，，，则_______． 14. 已知圆与双曲线渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的圆心为，且圆C经过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长. 16. 设为等差数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）当为何值时，最大，并求出的最大值. 17 已知双曲线过点，且离心率 （1）求该双曲线的标准方程： （2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 18. 已知为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 19. 如图，在长方体中，，E为CD的中点． （1）求证：． （2）若，求平面与夹角的余弦值． （3）在棱上是否存在一点P，使得平面．若存在，求AP长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $