精品解析：江苏省无锡市第一中学太湖新城分校2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

无锡市第一中学太湖新城分校高一数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求出函数的值域，再根据交集的定义计算即可. 【详解】因为对数函数是上的增函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的减函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 2. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换进行判断. 【详解】将的图象向右平移个单位，可得的图象. 故选：B 3. ，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式中“1”的应用直接计算即可求得结果. 【详解】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值是16. 故选：C 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性分别判断出的范围，然后可得到结果. 【详解】由对数函数单调性可知：， 由指数函数单调性可知：， 由幂函数单调性可知：， 所以， 故选：D. 5. 已知，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用半角公式结合诱导公式计算求解即可. 【详解】 ， 故选：B． 6. 已知函数，若对上的任意实数，，恒有成立，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数满足对上的任意实数，， 恒有成立， 所以函数在上递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 7. 已知，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先代入化简函数差值得到线性式，再分离参数 ，结合存在性问题的特点，只需 小于等于右侧函数在区间上的最大值，最后通过求最值确定 的取值范围. 【详解】因为， 又因为“存在 使得 ”成立， 等价于：，整理得：，即， 因为 ，所以 ，不等式可化为， 要使该不等式在 上有解，只需 小于等于 在区间上的最大值， 所以 在 上单调递减，最大值为 ， 因此，即 . 故选：C. 8. 已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点， 只需方程恰有3个实根即可， 令，即与的图象有个不同交点. 而， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 二、多选题 9. 已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由图象变换，周期为，则根据对称性，周期为，同理可判断A、B、C；而，可判定. 【详解】作的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 由于的周期为，则根据对称性， 周期为，故B正确； 由于的周期为，周期为，故C正确； 而，周期为，故D错误. 故选：ABC 10. 下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简两函数解析式，即可利用函数图象平移求解B，根据对数的运算性质化简解析式，即可利用平移求解D，对于AC，根据平移的性质可判断. 【详解】对于A，无法通过平移由得到，故A错误， 对于B，，，故可以将的图象向右平移个单位得到的图象，故B正确， 对于C，要想由得到,只需向左平移个单位即可，故C正确， 对于D，，，故可将的图象向上平移1个单位得到的图象，故D正确， 故选：BCD. 11. 关于函数的说法正确的是（ ） A. 是奇函数. B. 对于任意，均存在使得. C. 存在，使得方程的根为有限个. D. 对于任意，直线与的图象有无穷多个交点. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可判断A，根据函数的余弦函数的有界性即可求解B，根据与的图象有无数个交点，即可判断C，根据，利用余弦函数的周期性以及时，函数，即可求解D. 【详解】对于A, 的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，A正确， 对于B，对任意的，存在，使得，此时,故B正确， 对于C，令，则， 由于函数与的图象有无数个交点，而因此有无数个实数根，故C错误， 对于D, 令，令， 当不同时为0时，当时，函数，且在连续，而函数为周期函数，因此两个函数图象有无数个交点， 当同时为0时，有无数个实数根，因此对于任意，直线与的图象有无穷多个交点，D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据，分别考虑函数以及的图象特征，即可根据图象交点情况求解. 三、填空题 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由可知，解方程组即可求得、的值，进而可得、，即可求解. 【详解】因为，所以， 由可得，即， 整理可得：，即， 解得：，， 所以， ， 所以， 故答案为：. 13. 已知cos(＋α)＝，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先化简目标式为，根据已知条件求出、，即可求值 【详解】 由知：，又 ∴， ，，故 ∴综上，有 故答案为： 【点睛】本题考查了利用三角恒等变换求函数值，注意正弦二倍角公式、和角公式化简目标式的应用，根据象限角判断相关角的函数值，进而求目标三角函数的值 14. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的和角公式，结合已知条件，化简求值即可. 【详解】 . 故答案为： 15. （1）已知，，则________； （2）已知，，则________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①将已知两角和与差的余弦联立，求出和，作商可求；②将已知两个关系式平方相加可求. 【详解】对于①：，， 所以，； ，， 所以； 对于②：由， 所以， 故答案为：；. 四、解答题 16. 计算 （1）求的值. （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）由，利用两角差正切公式可整理得到结果. （2）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得； （3）利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， ， 所以原式． 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 . 17. 计算 （1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据平方公式和二倍角公式求出的值； （2）由，利用平方关系结合题意求得的值． 【小问1详解】 由， 得， 解得，则； 【小问2详解】 由，得： ． 18. 观察以下各等式： ， ， 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． 【答案】 【解析】 【详解】本试题主要是考查了合情推理的运用，根据已知的关系式观察发现了角的关系，然后将特殊问题一般化 思想，是一种归纳推理的运用．并运用二倍角公式加以证明猜想的正确性． 证明： 19. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调区间； （3）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合； （4）解不等式. 【答案】（1）； （2）的单调递增区间是， 的单调递减区间是； （3），取最小值时的集合为； （4）. 【解析】 【分析】（1）将函数利用平方差公式，二倍角的正余弦公式，辅助角公式，两角和的余弦公式进行化简，得到，利用最小正周期公式求解； （2）利用余弦函数的图像和单调性的性质求解； （3）利用余弦函数的图像和值域的性质求解； （4）利用余弦函数的图像解不等式. 【小问1详解】 ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， 当，即， 的单调递增区间是； 当，即， 的单调递减区间是； 【小问3详解】 ， ，， 当时，即时， 取最小值为， 取最小值时的集合为； 【小问4详解】 ， ，， ， ， ， 的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学太湖新城分校高一数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 3. ，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 18 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则等于（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数，若对上的任意实数，，恒有成立，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 关于函数的说法正确的是（ ） A. 是奇函数. B. 对于任意，均存在使得. C. 存在，使得方程的根为有限个. D. 对于任意，直线与的图象有无穷多个交点. 三、填空题 12. 已知，，则______. 13. 已知cos(＋α)＝，，则的值为________. 14. 若，则________. 15. （1）已知，，则________； （2）已知，，则________. 四、解答题 16. 计算 （1）求的值. （2）； （3）. 17. 计算 （1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 18. 观察以下各等式： ， ， 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． 19. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调区间； （3）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合； （4）解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $