精品解析：甘肃省兰州市东方中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

兰州东方中学2025—2026学年第一学期12月月考 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集运算即可. 【详解】由， 得：， 故选：D. 2. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理可得结论. 【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线， 且，，，， 所以，由零点存在性定理可知一定包含零点的区间是． 故选：C. 3. 若a，，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】若，则， 当时，，但是， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若幂函数偶函数，则（ ） A. -2 B. 3 C. 1 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出或，结合函数奇偶性排除，得到答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，是偶函数，符合题意； 当时，是奇函数，不符合题意. 故选：C 5. 华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解. 【详解】由题意，根据函数的图象，可得， 根据指数函数的图象与性质， 结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合. 故选：C. 6. 已知函数，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可得结果. 【详解】由得,或， ∴的定义域为． ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上为增函数， ∵函数在上单调递减， ∴根据复合函数单调性法则可知函数的单调递减区间是． 故选：C． 7. 设，，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用“1”代换，结合基本不等式运算求解. 【详解】，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A. 8. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好，若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】由， 因为经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15， 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 关于函数图象过定点问题，有以下4个命题： ①函数的图象经过定点； ②函数的图象经过定点； ③函数的图象经过定点； ④函数的图象经过两个定点. 其中，真命题有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数幂和对数运算性质逐一判断即可. 【详解】①因为 所以函数图象经过点，因此是真命题； ②因为 所以函数定的图象经过定点，因此是真命题； ③函数的定义域为，所以是假命题； ④当时，，即该函数的图象必过， 因为的对称轴为， 所以该函数的图象还过，所以是真命题. 故选：ABD 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】由题意可知，则， 对于A，所以且，故A正确， 对于B，， 故B错误； 对于C，不等式，故C正确； 对于D，不等式，又， 可得，所以或，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域判断A，应用对数及二次函数复合的单调性及值域判断B,C,根据二次函数的对称性判断复合函数的对称性判断D. 【详解】解得，即的定义域为，A选项正确． ，令，则． 二次函数的图象的对称轴为直线， 又的定义域为的图象关于直线对称．D选项正确． 由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误． 当时，有最大值，，C选项错误． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若对任意x，恒成立，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法进行求解即可. 【详解】在中，令， 则， 因为， 所以 故答案为： 13. 奇函数的局部图象如图所示，则与的大小关系为________. 【答案】 【解析】 【分析】先应用函数是奇函数得出，，再结合图象即可解. 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称，所以，， 由函数图象可知，所以，即. 故答案为：. 14. 已知函数若方程有三个不等实根，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用转化法、数形结合思想进行求解即可. 【详解】， 问题转化为直线与函数的图象有三个交点， 在同一直角坐标系中，直线与函数的图象如下图所示： 显然当时，， 利用数形结合可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 即方程有三个不等实根. 故答案为： 四、解答题：本题共7小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各题 （1）若，求的值； （2）； （3）已知，，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方法，结合完全平方公式进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合指数幂的运算法则进行求解即可； （3）根据指数幂的运算法则进行求解即可 【小问1详解】 对两边同时平方，得； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， ， 所以. 16. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可； 【详解】（1）令， 由， 所以的解析式为：； （2）令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. 17. 2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为火箭发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比. （1）已知某型号单级火箭发动机的喷射速度为2千米/秒，当该型号单级火箭的质量比为4时，求该单级火箭的最大理想速度； （2）在（1）条件下，该型号单级火箭经过材料更新和技术改进后，其火箭发动机的喷射速度变为原来的2倍，若使该型号火箭的最大理想速度增加2千米/秒，求改进后该火箭的质量比； （3）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10，如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.（参考数据：，无理数） 【答案】（1）千米/秒 （2） （3）不能超过，理由见解析 【解析】 【分析】（1）用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）运用对数的运算性质，结合（1）的结论进行求解即可； （3）利用对数的运算性质，结合对数函数的单调性进行判断证明即可. 【小问1详解】 因为某型号单级火箭发动机的喷射速度为2千米/秒，该型号单级火箭的质量比为4， 所以该单级火箭的最大理想速度千米/秒； 【小问2详解】 在（1）的条件下，该型号单级火箭经过材料更新和技术改进后， 其火箭发动机的喷射速度变为原来的2倍，该型号火箭的最大理想速度增加2千米/秒， 所以 ， 因此改进后该火箭的质量比为； 【小问3详解】 不能超过，理由如下： 设该单级火箭的最大理想速度为千米/秒，该单级火箭的质量比为， 该单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒， 所以该单级火箭的最大理想速度， 由题意可知，所以， 因为第一宇宙速度7.9千米/秒， 所以有，所以，即， 所以该单级火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒. 18. 已知函数. （1）判断在区间上的单调性，并用定义证之； （2）求在上的最值； （3）设，若，，使得，求实数a的取值范围. 【答案】（1）单调递增，证明见解析 （2）函数的最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断证明即可； （2）根据函数的单调性进行求解即可； （3）根据函数的值域，结合一次函数的单调性、任意性和存在性的定义进行求解即可. 【小问1详解】 在区间上单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，则有， ， 因为， 所以， 所以， 所以在区间上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知在区间上单调递增， 所以在上单调递增， 所以的最大值为， 的最小值为， 即函数的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 当时，由（1）可知函数单调递增， 所以，即. 因为在时，单调递减， 所以，即. 因为，，使得， 所以， 所以， 所以实数a的取值范围为. 19. 已知函数. （1）解方程； （2）当时，求该函数的值域； （3）若对于恒成立，求m的最小值. 【答案】（1），或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质进行求解即可； （2）利用换元法进行求解即可. （3）利用换元法，结合函数单调性的性质、任意性的定义进行求解即可. 【小问1详解】 由， ，或，解得，或. 【小问2详解】 ， 令，，对称轴为， 当时，即， ， 因为， 所以，所以该函数的值域为； 【小问3详解】 ， 令， 因为，所以， 因此由， 显然函数在时，单调递增， 所以函数在时，单调递增， 要想在时恒成立， 只需， 所以m的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州东方中学2025—2026学年第一学期12月月考 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 若a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若幂函数是偶函数，则（ ） A. -2 B. 3 C. 1 D. 1或3 5. 华罗庚是享誉世界数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数的单调递减区间是（ ） A B. C. D. 7. 设，，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 8. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好，若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 关于函数图象过定点问题，有以下4个命题： ①函数的图象经过定点； ②函数的图象经过定点； ③函数的图象经过定点； ④函数的图象经过两个定点. 其中，真命题有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 已知函数，则（ ） A. 定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若对任意x，恒成立，且，则______. 13. 奇函数的局部图象如图所示，则与的大小关系为________. 14. 已知函数若方程有三个不等实根，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共7小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各题 （1）若，求的值； （2）； （3）已知，，求 16. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 17. 2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为火箭发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比. （1）已知某型号单级火箭发动机的喷射速度为2千米/秒，当该型号单级火箭的质量比为4时，求该单级火箭的最大理想速度； （2）在（1）的条件下，该型号单级火箭经过材料更新和技术改进后，其火箭发动机的喷射速度变为原来的2倍，若使该型号火箭的最大理想速度增加2千米/秒，求改进后该火箭的质量比； （3）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10，如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.（参考数据：，无理数） 18. 已知函数. （1）判断在区间上的单调性，并用定义证之； （2）求在上的最值； （3）设，若，，使得，求实数a的取值范围. 19. 已知函数. （1）解方程； （2）当时，求该函数的值域； （3）若对于恒成立，求m的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $