精品解析：湖北崇阳县第二高级中学2025-2026学年上学期高三数学周测卷（十五）

崇阳二中2025-2026学年上学期高三数学周测卷（十五） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点A，B，O为坐标原点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直三棱柱中，，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期 C. 在上单调递增 D. 的对称轴为， 11. “局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，项的系数是______． 13. 若向量，则_____________. 14. 在直角中，，，为斜边上一点，将沿折叠到，使得二面角为，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，角对应的边分别是，已知． （1）求角的大小； （2）若的面积，，求的值． 16. 2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各100人，整理得到列联表如下． 《红楼梦》 《三国演义》 男生 30 70 女生 60 40 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关？ （2）已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面是的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，是C上的点． （1）求椭圆C的方程； （2）过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆C在x轴上方部分于D，E两点． （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个极值点，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）已知函数有三个零点，分别记为，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇阳二中2025-2026学年上学期高三数学周测卷（十五） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求解出，则复数的虚部可知. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式计算求解集合B，再应用交集定义计算判断. 【详解】集合， 则. 故选：C 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，，判断充分性成立；由，，判断必要性成立即可. 【详解】，，， ，， 由，通分整理得：， ，，即， ，， ，， 故选：C 4. 设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果. 详解：设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得， 整理解得，所以，故选B. 点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式和二倍角公式求解计算即可. 【详解】因为，所以， 代入得， 化简得， 解得，即或， 因为，所以， 所以. 故选：B. 6. 2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】D 【解析】 【分析】分类求出满足小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式. 【详解】若小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影， 有两人看《哪吒》，则有种方案，有一人看《哪吒》电影，则有种方案， 即满足小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案. 故选：D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点A，B，O为坐标原点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用为正三角形得到点，代入双曲线方程化简，得到离心率的齐次式计算可得. 【详解】因为为正三角形，，所以， 因为点在双曲线上， 所以，化简得， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：D. 8. 当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式转化为不等式，构造函数，求导确定函数的单调性，从而根据不等式整数解的个数列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】当时不等式等价于： 设， 则， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以有两个正整数解2和3，则，解得， 故实数的取值范围是． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直三棱柱中，，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面垂直性质可证明A正确，假设B选项成立，利用线面垂直性质得出矛盾可得B错误，利用线面平行判定定理证明可得C正确，假设成立，结合已有分析得出矛盾，即可得D错误. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 对于A，又因为点分别为的中点，所以，且； 又，，所以，； 所以四边形是平行四边形，因此， 又因为，所以， 在直三棱柱中，平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，因此平面； 又平面，因此，即A正确； 对于B，假设平面成立，则， 由选项A中分析可知，，因此可得， 显然不成立，因此假设不成立，所以与平面不垂直，即B错误； 对于C，由选项A分析可知，平面，平面， 所以平面，即C正确； 对于D，取的中点为，连接， 显然此时，若成立，可知， 这与矛盾，因此不成立，即D错误. 故选：AC 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期 C. 在上单调递增 D. 的对称轴为， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据求出，即可判断A；由求出的取值，再根据周期性求出，即可得到函数解析式，从而判断B、C、D. 【详解】对于A，由图可知，且，即， 又，可得，故A正确； 对于B：因为，所以， 解得， 又，即，解得，所以, 所以，所以的最小正周期，故B正确； 对于C：当，则， 因为在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确； 对于D：令，解得， 所以的对称轴为，故D错误. 故选：ABC 11. “局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象判断ABC；令，将问题转化为方程有两个不相等的实数根，且这两个根分别在、内，进而求解判断D. 【详解】当时，； 当时，，则； 当时，，则； 当或时，， 作出函数的图象如下： 由图可知，函数的值域为，故A错误； 函数在上单调递减，故B正确； 由于函数与有5个交点， 则方程有5个不同的解，故C正确； 对于D，令， 因为方程有10个不同的解， 所以方程有两个不相等的实数根， 设，显然， 则这两个根分别在、内， 有，解得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式求解即可． 【详解】展开式的通项公式为， 令，得，所以含项的系数为， 故答案为：． 13. 若向量，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直得数量积为0，求出，再计算即可得出结果. 【详解】因为，则， 又因为， 所以，解得. 所以，， 故答案为：. 14. 在直角中，，，为斜边上一点，将沿折叠到，使得二面角为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，过作为垂足，过作，为垂足．在直角三角形中计算边长结合计算得到结果. 【详解】设，则，过作为垂足， 过作，为垂足． 在中有，， 在中有，， 则． 因为二面角为，所以, 又 ， 则，， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，角对应的边分别是，已知． （1）求角的大小； （2）若的面积，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得的值，可得的值． (2)利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得的值． 【小问1详解】 由， 得：， 即， 即， 解得或（舍去） 因为，所以． 【小问2详解】 由， 得，又，解得， 由余弦定理： ， 故， 又由正弦定理：， 所以， ， 所以. 16. 2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各100人，整理得到列联表如下． 《红楼梦》 《三国演义》 男生 30 70 女生 60 40 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关？ （2）已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关 （2）分布列： 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用公式计算，对照临界值表下结论； （2）依题意，根据二项分布的概率公式求解概率，由此能求出的分布列和期望． 【小问1详解】 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，可以认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关． 【小问2详解】 由题可知，的所有可能取值为0，1，2，3， 选择《红楼梦》的学生是女生的概率为，所以． 所以， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面是的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 因为是正三角形，是的中点，所以， 因为侧面底面，，侧面底面， 所以侧面， 平面，所以， 又，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点垂直于平面的垂线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为，则，，， 所以，， 易得，平面的一个法向量， 设平面的法向量， 则，令，则，， 则， 设二面角的大小为， 则， 则， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，是C上的点． （1）求椭圆C的方程； （2）过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆C在x轴上方部分于D，E两点． （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （i）显然当与y轴垂直时，，的倾斜角不互补，可设的方程为：， 联立，消x得：， 显然,设，，则，(*)， 则， 所以， 将(*)代入上式得：， 因，则，即直线过定点． （ii） 【解析】 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得，即可得椭圆方程； （2）（i）设DE的方程为，与椭圆方程联立，根据，化简可得； （ii）利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式表示出T到的距离，表示出面积，利用基本不等式即可求得面积的最大值. 【小问1详解】 已知椭圆的离心率为，是C上的点． 则，解得，，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由上分析，可得，， 所以， 又到直线的距离为， 所以， 因，当且仅当时取等． 此时. 即的面积的最大值为． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个极值点，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）已知函数有三个零点，分别记为，，，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 又，不妨设，显然， 又，且， 则，即，所以， 则要证，只需证． 因为存在两个变号零点，，所以， 得到， 令，则，又， 所以在上单调递增，在上单调递减，且有， 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 又因为，，且在上单调递减， 则，所以， 又因为在上单调递增，所以， 故． 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义求出函数在点处切线的斜率，再由直线的点斜式，即可求解； （2）（i）根据条件，将问题转化成存在两个变号零点，，利用导数，分和两种情况，分别求出函数的单调区间，再结合条件，即可求解；（ii）利用（i）中结果，结合条件可得，从而将问题转化成证明，构造及，，利用导数与函数单调性间的关系可得，再由的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，，则，所以， 又，故函数在点处切线方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为，恒成立，令， 由题知存在两个极值点，，等价于存在两个变号零点，． 因为，则当时，，单调递增，此时最多一个零点，不合题意； 当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 由题意得，解得， 当时，因为，， 由零点存在性原理及函数的单调性知，当时，存在唯一，使得， 令，则，当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 则，所以当时，， 则当时，，所以， 由零点存在性原理及函数的单调性知，当时，存在唯一，使得， 综上所述，实数的取值范围为． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $