山东省济南第三中学2025-2026学年高二上学期期中学情检测数学试题

2025～2026学年 第一学期高二年级期中学情检测 数学试卷 答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D C B D B 二、多选题 9 10 11 AC BD ABD 三、填空题 12. 3 13.1 14.4 四、解答题 15. 已知 的顶点 在直线 上运动，点 为 ，点 为 ． （1）求直线 的方程； （2） 的面积是否为定值？若是，求出该值．若不是，说明理由． 15. 解： （1）由，得………………2分 由点斜式方程，化简得………………5分 （2）的面积为定值………………6分 由，故………………7分 又点在直线上运动，故点到直线的距离为定值，即为两平行直线的距离 ………………9分 ………………11分 ………………13分 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形， ，且，点在上． 求证：平面； 若为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值． 16.【答案】证明：因为底面，、底面， 所以，， 所以，，………………3分 所以矩形是正方形，所以， ………………5分 因为，、平面，………………6分 所以平面．………………7分 解：由知、、两两垂直，建系如图， ，，，，，………………9分 ，，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，………………12分 所以直线与平面所成的角的正弦值为 ． ………………15分 17. 在平面直角坐标系 中，已知圆 及点 和 （1）若斜率为1的直线 过点 ，且与圆 相交，截得的弦长为 ，求圆 的半径 ； （2）已知点 在圆 上，且 ，若点 存在两个位置，求实数 的取值范围． 17. 解： 圆可化为，圆心为，半径……2分 直线的方程为，圆心到直线距离为 由弦长公式，得………………5分 （2）点在以为直径的圆上，不妨记为圆，………………9分 从而圆与圆有两个交点. 圆心距， 只需满足，………………11分 得，故.………………15分 18. 已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上． (1) 求椭圆的方程； (2) 设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点（异于点），与圆相交于另一点（异于点），若的斜率不等于，的斜率等于的斜率的倍，证明：直线经过定点． 18.【答案】(1) （2）详见解析 【解析】(1)由 解得 ………………3分 因此椭圆的方程为………………4分 (2)设，的斜率分别为，，由(1)可知下顶点， 可得，，………………6分 将代入，可得，解得或（舍去）， 所以，所以………………9分 将代入，可得，解得或（舍去）， 所以，所以………………12分 所以直线的斜率为………………15分 因此直线的方程为， 化简得，于是直线经过定点．………………17分 19. (17分) 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用.球面距离的定义:球面上两点之间的最短连线的长度,即经过这两点的大圆(经过球心的平面截球面所得的圆)在这两点间的一段劣弧的长度.这个弧长就被称作两点的球面距离. (1)在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离. (2)如图1，在直角梯形中，，，，.现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上. ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离. 参考数据：，. 19. 解：(1)正四棱柱外接球的球心为对角线的中点，半径，，，两点的球面距离为. ………………3分 (2)如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，. 点在底面的射影在上，设. ………………4分 ，， 解得 . ………………7分 ①点到底面的距离为. ………………8分 ②设的中点为（图略）. ，为外接圆的圆心. 过点作直线平面（图略），则. ，设球心. ………………10分 ，， 解得， . ………………13分 外接球的半径，. ………………15分 在中，根据余弦定理得，根据参考数据得， ，两点在球上的球面距离为. ………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年 第一学期高二年级期中学情检测 数学试卷   学业质量评价研究小组命制 2025.11 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，考试时间150分钟，满分150分。 2.答卷前，考生务必将个人的姓名、座号、考籍号填涂在答题卡规定位置，所有答案必须填涂在答题卡相应位置，否则无效。 第I卷 选择题 一、单选题（每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2.已知空间向量，，若，则 A． B． C．1 D．3 3.如图所示，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于 A． B． C． D． 4.在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为,则 A．-5 B．-2 C．2 D．5 5.方程表示椭圆，则的取值范围是 A． B． C． D． 6.如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为 A． B． C． D． 7.若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是 A． B． C． D． 8.已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为 A． B． C．1 D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.过点，并且在两坐标的截距相等的直线方程为 A． B． C． D． 10. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则 A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是 A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线与直线互相垂直，则实数的值为 ． 13.已知直线的方向向量为，点在直线上，则点到的距离为 ． 14.在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点的直线与圆交于，两点，则四边形面积的最大值为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知的顶点在直线上运动，点A为，点B为. (1)求直线AB的方程； (2)的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由. 16．如图，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，，且，点E在PC上． (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成角的正弦值． 17.在平面直角坐标系中，已知圆及点和 (1)若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径； (2)已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围. 18.已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设是经过椭圆下顶点T的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 19.球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离． (1)在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离． (2)如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上． ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离． 参考数据：，． 高二数学试题 第2页 /共 2页 学科网（北京）股份有限公司 $