北京市2026届高三数学一轮应试能力自编仿真模拟训练卷（二）

高三数学一轮应试能力自编仿真模拟训练卷（二） 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 3．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 5．已知为等差数列，，．若数列满足，记的前n项和为，则（    ）． A． B． C． D． 6．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．“”是“函数（，且）的图象与函数的图象的交点个数为2个的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设函数，则“的值域为”是“存在实数，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在日常生活中，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉的下限阈值，是实际声压．按普通人的听觉，常见场景的声压级如下： 常见场景 声压级／dB 极安静环境 安静环境 日常轻声环境 已知正常对话的声压约为，声压级约为（参考数据：，），则（    ） A．当声压变为原来的两倍时，声压级一定变为原来的两倍 B．在极安静环境里，声压不超过 C．在日常轻声环境里，最大声压与最小声压的比值不超过 D．若某图书馆的声压约为，则该图书馆属于安静环境 10．已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 11．抛物线 的准线方程为 12．的展开式中的系数为 . 13．已知命题：若，且，则．能说明为假命题的一组与的值为 ， ． 14．如图所示几何体，其中正方形边长为4，，且到平面的距离为3，则几何体的体积为 ．    15．已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 三、解答题 16．在锐角中，． (1)求的值； (2)若为边上的中点，从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的长． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．如图，在四棱锥中，，底面是菱形，其中.    (1)若是棱上一点，平面与棱交于点，求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 18．2025年11月23日，人民日报发表题为《电车续航有望突破1000公里》的文章．目前市面上不同品牌新能源汽车续航里程有较大差异，冬季汽车之家对12款纯电轿车在低温区（）和寒冷区（）两种不同测试环境下的实际续航里程（单位：）进行了测试，结果如下表： 汽车品牌 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 厂家标注续航里程 816 806 800 710 665 660 606 567 515 510 410 405 低温区实际续航里程 717 681 737 569 584 486 550 566 480 489 356 303 低温区续航达成率（%） 87.9 84.5 92.1 80.1 87.8 73.6 90.8 99.8 93.2 95.9 86.8 74.8 寒冷区实际续航里程 319 331 385 293 301 295 234 313 236 269 189 178 寒冷区续航达成率（%） 39.1 41.1 48.1 41.3 45.3 44.7 38.6 55.2 45.8 52.7 46.1 44.0 续航达成率. (1)从上述12款纯电轿车中随机抽取一款，估计这款车在低温区续航达成率超过90%的概率； (2)从上述12款纯电轿车中随机抽取3款，记这3款纯电轿车在寒冷区续航达成率超过45%的个数为，求的分布列与数学期望； (3)若上述12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，现又有一款纯电轿车参与测试，其在低温区的续航达成率为72.5%，将这个数据加入之后，记这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 19．已知椭圆的两个焦点分别是、，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于4，为坐标原点，直线与椭圆相交于、两点（不重合）． (1)求椭圆的标准方程； (2)求的取值范围； (3)求的最大值． 20．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若函数在上单调递增，求的值； (3)若函数在处取得极小值，求的取值范围. 21．已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. (1)若（），写出集合； (2)若（），且（），求的最小值. (3)若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高三数学一轮应试能力自编仿真模拟训练卷（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C C C A C D B 1．C 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】根据交集的定义可知，. 故选：C. 2．D 【分析】首先根据复数的除法运算化简，再求虚部. 【详解】由题意可知，， 所以的虚部为2. 故选：D 3．A 【分析】先求出双曲线的和，即得双曲线的离心率. 【详解】由题意得，，，所以双曲线的离心率为. 故选：A. 4．C 【分析】将所得函数解析式变形为，然后利用函数图象的平移法则可得出结论. 【详解】解：因为， 所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度. 故选：C. 5．C 【分析】根据等差数列的性质求出的通项公式，再根据递推关系求出的通项公式，进而求出，最后计算求出． 【详解】为等差数列，，设公差为， ， ，解得， ， ， ，即是首项，公差是的等差数列， ，， ，故C正确． 故选：C． 6．C 【分析】根据不等式的性质逐个选项进行判断. 【详解】因为，所以，，，， 所以ABD错误，C正确， 故选：C 7．A 【分析】根据题意，结合二次函数与对数函数的图象分析可得：当时，函数（，且）的图象与函数的图象有2个交点，反之若“函数（，且）的图象与函数的图象的交点个数为2个”，则，结合充分必要条件的定义，分析可得答案． 【详解】根据题意，当时，函数（，且）的图象与函数的图象如图所示： 由此可得两函数图象有2个交点， 则“”是“函数（，且）的图象与函数的图象的交点个数为2个”的充分条件； 反之：若“函数（，且）的图象与函数的图象的交点个数为2个”， 则函数为增函数， 所以， 则“”是“函数（，且）的图象与函数的图象的交点个数为2个”的不必要条件， 则“”是“函数（，且）的图象与函数的图象的交点个数为2个的充分而不必要条件. 故选：A． 8．C 【分析】利用辅助角公式化简得，其中， ，再根据判断充分性，利用两角和差公式以及恒成立求出判断必要性. 【详解】， 其中， 若的值域为，则， 则，其中， 故存在实数，使得，故充分性成立； 若存在实数，使得， 则对定义域中任意恒成立， 则，则， 此时的值域为，故必要性成立， 故“的值域为”是“存在实数，使得”的充要条件. 故选：C 9．D 【分析】先根据题中条件求出听觉下限阈值，再逐一分析选项即可. 【详解】由题中条件可得，解得， 对于选项，设原声压为，声压级； 声压变为，声压级， 此时，故错误； 对于选项，在极安静环境中，声压级，当取最大值计算最大声压， 此时可得，解得， 因为，故错误； 对于选项，在日常轻声环境里，声压级， 当最小声压级时，，得； 当最大声压级时，，得， 所以，故错误； 对于选项，已知，代入得， 即在安静环境范围内，故正确. 故选：. 10．B 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故， 所以， 即，故， 所以同向共线，即存在实数，使，必要性成立， 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 故选：B 11． 【分析】根据抛物线性质直接得解. 【详解】因为抛物线方程为， 则，所以它的准线方程为. 故答案为：. 12． 【分析】利用二项式定理求出展开式的通项，再结合赋值法求解即可. 【详解】由二项式定理得的展开式的通项公式如下， 为， 令，解得，则系数为. 故答案为： 13． （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】利用三角函数的诱导公式，得出，之间的关系，进行讨论，代入符合题意的角即可. 【详解】由诱导公式，可知， 因为，则，，或，， ，或， 即，或， 故想说明命题为假命题，只需举出满足的角即可， 即，， 又因为，则或时， 故，或，且满足， 如：，：，，，， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）. 14．22 【分析】在上分别取点，使得，几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，分别求出它们的体积得解. 【详解】如图，在上分别取点，使得，连接， 易知，所以几何体为三棱柱， 所以几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个上底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的体积的一半， 所以，， 所以. 故答案为：22.    15． （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 16．(1) (2)详解见解析 【分析】（1）借助二倍角公式和正弦定理计算即可得； （2）选条件②或③，借助余弦定理与面积公式求解，并验证三角形为锐角三角形的条件；不可选①，不存在这样的三角形. 【详解】（1）由，得． 因为为锐角三角形，所以． 所以． 由正弦定理，得． 由，得． （2）选择条件①：即，由（1）知，， 根据余弦定理， 即，方程无解，所以不能选择条件①； 选择条件②：的面积为． 因为的面积，得，故． 因为为锐角三角形，所以． 在中，由余弦定理． 所以， 此时在中，由余弦定理， 所以，所以为锐角， 又，所以也为锐角，符合为锐角三角形的条件． 选择条件③：的周长为． 因为，的周长为，所以． 由余弦定理． 在中，由余弦定理． 所以， 此时在中，由余弦定理，所以为锐角， 又，所以、也为锐角，符合为锐角三角形的条件． 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先由可得平面，再由线面平行的性质可得线线平行； （2）解法一：取的中点为，再分别以坐标轴，建立空间直角坐标系，用向量计算面面角的余弦值； 解法二：取的中点为，再分别以为坐标轴，建立空间直角坐标系，用向量方法计算面面的夹角； 解法三：设，再分别以为坐标轴，建立空间直角坐标系，用向量方法计算面面的夹角. 【详解】（1）证明：连接，    因为四边形是菱形，所以.又因为平面，平面 所以平面，又因为平面，平面平面 所以. （2）（法一）取的中点为，连接，因为是菱形，， 所以. 所以，又，所以 因为平面，所以，即两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则，即， 所以可得，所以，令，则， 所以，. 又因为，. 设平面的法向量为，则， 即，所以. 令，则，． 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 （法二）取的中点为，连接，则，又，所以 因为平面，所以．所以两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，． 所以， 设平面的法向量为，则，即　所以， 所以，，令，所以，. 又， 设平面的法向量为，则，即， 所以，所以，令，． 所以，. 设平面与平面的夹角为， 则. （法三）连接，则，设. 因为平面，过作的平行线，则平面. 所以．即两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，，． 所以，. 设平面的法向量为，则，即，所以 所以，令，则，所以， 又，. 设平面的法向量为，则，即. 所以，令，则，， 所以，. 设平面与平面的夹角为， 则. 18．(1) (2)分布列见详解，期望为 (3) 【分析】（1）由题可得在低温区续航达成率超过90%的有5个，由此求得答案； （2）根据题意，可得的可能取值为，服从超几何分布，求出相应的概率求出分布列和期望； （3）先计算12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值，再与新加入的续航达成率比较，得解. 【详解】（1）由题，12款纯电轿车中在低温区续航达成率超过90%的有：，共5个， 所以这款车在低温区续航达成率超过90%的概率为. （2）在寒冷区续航达成率超过45%的有：共6个，未超过的有6个， 的可能取值为，服从超几何分布，则， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （3）12款纯电轿车在低温区的续航达成率的和： ， 所以原均值， 加入的达成率为， 因此这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据，即可求解； （3）根据韦达定理求，再根据的取值求最大值. 【详解】（1）由条件可知椭圆的焦点在轴，，，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）联立，整理为， 若直线与椭圆有2个不同的交点，则， 解得：， 所以的取值范围是； （3）设，， ，， ， 当时，最大，最大值为， 所以的最大值为. 20．(1)17 (2)0 (3)当时，，当时，. 【分析】（1）对函数求导，然后将切点代入进而求得切线方程，即可得到切线在轴上的截距. （2）先求出分段函数的导数，然后根据函数的单调递增区间列出不等式，进而求得. （3）分三种情况讨论函数的极值，进而得到结果. 【详解】（1）当时，当时，， 所以，又， 曲线在点处的切线为， 令，得， 曲线在点处的切线在轴上的截距为17. （2）因为函数在处连续， 所以在上单调递增等价于在和上单调递增， 因为， 当时，恒成立，所以，所以， 当，恒成立，所以 所以，所以的值是0. （3）当时，根据（2）函数无极值点，不合题意， 当时，令，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 0 - 无定义 + 极大值 极小值 因为，所以， 当时，令， 即，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 无定义 - 0 + 极大值 极小值 所以， 所以， 综上，当时，， 当时，. 21．(1)； (2)当为偶数时，；当为奇数时，； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据定义直接写出即可； （2）分为偶数和为奇数时讨论即可； （3）设，分析有，三式相加再根据数的性质即可证明. 【详解】（1）. （2）①当为偶数时：． 中含有个整数对，其中， 将所有这样的整数对交换位置变为组成， 此时每一个整数对中对应数字之差均为1，那么，则的最小值为； ②当为奇数时： 假设，，不妨设， 则或3，若则，矛盾，以此类推，值，矛盾． 所以． 将中所有数字分成个整数组， 共中含有个整数对，个整数组． 将所有这样的整数对交换位置变为． 此时每一个整数对中对应数字之差均为1， 整数组中对应数字之差为1，1，2，因此， 则的最小值为． （3）设， 因为，所以的值只能为0或1， 故的值等于满足的坐标的个数， 所以和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个． 因为，所以不可能存在互不相等的情况。 设为的个数，为的个数， 为的个数，为的个数。 则，三式相加. 因此为偶数，则，，中含有一个或者三个偶数， 即三个数中至少有一个偶数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $