专题10分式寒假预习讲义（3）(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题10分式寒假预习讲义（3） · 理解分式方程定义，能准确识别分式方程。 · 梳理解分式方程的基本步骤，明确验根的必要性。 · 了解增根概念，初步掌握最简公分母的找法。 · 尝试列简单分式方程，感知建模思路。 · 结合分式运算，为去分母化整式方程做铺垫。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.增根的概念与成因 4.列分成方程解决实际问题 5.常见易错点 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.由解的情况求参数值 3.分式方程无解情况 4.分式方程的列式 5.分式方程的解法 6.行程问题中的分式方程 7.工程问题中的分式方程 8.经济问题中的分式方程 9.和差倍分问题中的分式方程 10.分式方程的其他应用 强化巩固 (解答题5题) 知识点01:分式方程的定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 ✅关键点：①是方程；②分母含未知数（仅分子含不算）。 例：​=2、=3 是分式方程；+1=5 不是。 知识点02:分式方程的解法（核心步骤） 核心思路：去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 步骤： 1 找最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积； 2 去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母得整式方程； 3 解整式方程：用一元一次方程解法求未知数的值； 4 验根（必做步骤）：把解代入最简公分母，若值≠0，是原方程的根；若值 = 0，是增根，原方程无解。 知识03:增根的概念与成因 增根：分式方程去分母后得到的整式方程的根，使原分式方程的分母为 0，此根不是原方程的根，称为增根。 成因：去分母时，方程两边同乘了含未知数的整式，扩大了未知数的取值范围。 知识点04:列分式方程解实际问题 步骤（审、设、列、解、验、答）： 1 审：审清题意，找等量关系； 2 设：设未知数（带单位）； 3 列：根据等量关系列分式方程； 4 解：解所列的分式方程； 5 验：双重检验→❶ 检验是否为增根；❷ 检验是否符合实际意义； 6 答：写出答案（带单位）。 1. 行程问题 基本公式：路程 = 速度 × 时间 变形：速度 = 路程 / 时间、时间 = 路程 / 速度 2. 工程问题 基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 常设工作总量为1，单人效率 = 1 / 单人完成时间 核心关系：合作效率 = 各效率之和、各部分工作量之和 = 总工作量 3. 销售 / 利润问题 单价 × 数量 = 总价；利润 = 售价 - 进价 利润率 = ×100%；售价 = 进价 ×(1 + 利润率) 核心关系：总价不变、利润率固定、数量差对应价格差 4. 行船 / 飞行问题. 顺水（风）速度 = 静水（无风）速度 + 水（风）速 逆水（风）速度 = 静水（无风）速度 - 水（风）速 核心关系：往返路程相等、静水 / 无风速度固定 5. 配套问题 核心关系：配套的两种量数量比 = 固定配比 例：1 个甲配 2 个乙 → 甲的数量 ×2 = 乙的数量 6. 浓度问题 基本公式：溶质 = 溶液 × 浓度；溶液 = 溶质 + 溶剂 核心关系：稀释 / 浓缩前后溶质质量不变 混合后总溶质 = 各部分溶质之和、总溶液 = 各部分溶液之和 7. 平均速度问题 往返平均速度 =2×v₁×v₂/(v₁+v₂)（v₁、v₂为往返速度） 核心：总路程 ÷ 总时间 = 平均速度 知识点05:常见易错点 1.解分式方程忘记验根； 2.去分母时，方程不含分母的项漏乘最简公分母； 3.列分式方程解应用题，检验仅验增根，忽略实际意义。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列式子中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【跟踪专练2】下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型2.由解的情况求参数值】 【典例】请写出一个根为的分式方程： ． 【跟踪专练1】若关于的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【跟踪专练2】已知关于 x 的分式方程 有整数解，且关于 x 的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的值为 ． 【题型3.分式方程无解情况】 【典例】若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【跟踪专练1】已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是 ； （2）若该方程无解，则的值是 ． 【跟踪专练2】已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【题型4.分式方程的列式】 【典例】随着某部电影的热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某项工程，甲单独完成需30天，乙单独完成需20天，若乙先单独做12天，剩下的由甲单独完成．问：甲、乙一共用多少天可以完成全部工作？若设甲、乙一共用x天可以完成全部工作，则可列方程为 ． 【跟踪专练2】如图，边长为的大正方形剪去个边长为的小正方形，做成一个无盖纸盒．若无盖纸盒的底面积与表面积之比为：，则根据题意可知，满足的关系式为（    ）    A． B． C． D． 【题型5.分式方程的解法】 【典例】分式方程的解为 ． 【跟踪专练1】将关于x的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察下列方程： 可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程 （n为正整数）解 ．（用含n的代数式表示） 【题型6.行程问题中的分式方程】 【典例】中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为，则下面所列方程中正确（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】五一期间，小雨一家自驾游到北京游玩，总路程600千米．前半程按计划速度行驶，为提前到达目的地，后半程将车速提高了，因遇到高速拥堵，耽搁40分钟，最终恰好在计划时间到达．设原计划速度为千米每小时，则根据题意可列方程 ． 【跟踪专练2】小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【题型7.工程问题中的分式方程】 【典例】某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个，依题意列方程为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某社区计划对某块区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？设乙施工队每天分别能完成绿化的面积是，则可以列方程为 ． 【跟踪专练2】随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式；某化工厂要在规定时间内搬运4800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ 【题型8.经济问题中的分式方程】 【典例】受天气等诸多因素影响，苹果平均每千克涨价4元，已知涨价前40元购买的苹果质量与涨价后60元购买的苹果质量相同，设涨价前价格为元/千克，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．则今年三月份甲种电脑每台售价为 元． 【跟踪专练2】某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台，请解答下列问题： (1)、两种设备每台的成本分别是多少万元？ (2)、两种设备每台的售价分别是万元、万元，且该公司生产两种设备各30台，现公司决定对两种设备优惠出售，种设备按原来售价折出售，种设备在原来售价的基础上优惠，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？ 【题型9.和差倍分问题中的分式方程】 【典例】不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的一些白乒乓球和12个黄乒乓球，若随机从袋子中摸出一个乒乓球是黄色的概率为，则袋子中总共有 个白乒乓球． 【跟踪专练1】已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，且两人每小时共阅读60页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课外读物x页，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】某粮食生产基地为积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具．已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1.5万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同． (1)购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过72万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【题型10.分式方程的其他应用】 【典例】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（   ） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 【跟踪专练1】为了帮助地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为20 000元，第二次捐款总额为56 000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数是多少？若设第一次捐款的人数为x，则根据题意可列方程为 ． 【跟踪专练2】某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？ 1．解方程： (1)； (2)． 2．关于的方程． (1)若方程的解为，求的值； (2)若此方程有增根，求的值． 3．小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 4．在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 5．A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． (1)请找出列方程所需的等量关系； (2)若设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，请将等量关系中涉及的量用含的代数式表示，并将它们填写在图形或表格中，以此来表达你对问题的分析过程； (3)根据等量关系列出方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10分式寒假预习讲义（3） · 理解分式方程定义，能准确识别分式方程。 · 梳理解分式方程的基本步骤，明确验根的必要性。 · 了解增根概念，初步掌握最简公分母的找法。 · 尝试列简单分式方程，感知建模思路。 · 结合分式运算，为去分母化整式方程做铺垫。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.增根的概念与成因 4.列分成方程解决实际问题 5.常见易错点 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.由解的情况求参数值 3.分式方程无解情况 4.分式方程的列式 5.分式方程的解法 6.行程问题中的分式方程 7.工程问题中的分式方程 8.经济问题中的分式方程 9.和差倍分问题中的分式方程 10.分式方程的其他应用 强化巩固 (解答题5题) 知识点01:分式方程的定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 ✅关键点：①是方程；②分母含未知数（仅分子含不算）。 例：​=2、=3 是分式方程；+1=5 不是。 知识点02:分式方程的解法（核心步骤） 核心思路：去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 步骤： 1 找最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积； 2 去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母得整式方程； 3 解整式方程：用一元一次方程解法求未知数的值； 4 验根（必做步骤）：把解代入最简公分母，若值≠0，是原方程的根；若值 = 0，是增根，原方程无解。 知识03:增根的概念与成因 增根：分式方程去分母后得到的整式方程的根，使原分式方程的分母为 0，此根不是原方程的根，称为增根。 成因：去分母时，方程两边同乘了含未知数的整式，扩大了未知数的取值范围。 知识点04:列分式方程解实际问题 步骤（审、设、列、解、验、答）： 1 审：审清题意，找等量关系； 2 设：设未知数（带单位）； 3 列：根据等量关系列分式方程； 4 解：解所列的分式方程； 5 验：双重检验→❶ 检验是否为增根；❷ 检验是否符合实际意义； 6 答：写出答案（带单位）。 核心等量关系 1. 行程问题 基本公式：路程 = 速度 × 时间 变形：速度 = 路程 / 时间、时间 = 路程 / 速度 2. 工程问题 基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 常设工作总量为1，单人效率 = 1 / 单人完成时间 核心关系：合作效率 = 各效率之和、各部分工作量之和 = 总工作量 3. 销售 / 利润问题 单价 × 数量 = 总价；利润 = 售价 - 进价 利润率 = ×100%；售价 = 进价 ×(1 + 利润率) 核心关系：总价不变、利润率固定、数量差对应价格差 4. 行船 / 飞行问题. 顺水（风）速度 = 静水（无风）速度 + 水（风）速 逆水（风）速度 = 静水（无风）速度 - 水（风）速 核心关系：往返路程相等、静水 / 无风速度固定 5. 配套问题 核心关系：配套的两种量数量比 = 固定配比 例：1 个甲配 2 个乙 → 甲的数量 ×2 = 乙的数量 6. 浓度问题 基本公式：溶质 = 溶液 × 浓度；溶液 = 溶质 + 溶剂 核心关系：稀释 / 浓缩前后溶质质量不变 混合后总溶质 = 各部分溶质之和、总溶液 = 各部分溶液之和 7. 平均速度问题 往返平均速度 =2×v₁×v₂/(v₁+v₂)（v₁、v₂为往返速度） 核心：总路程 ÷ 总时间 = 平均速度 知识点05:常见易错点 1.解分式方程忘记验根； 2.去分母时，方程不含分母的项漏乘最简公分母； 3.列分式方程解应用题，检验仅验增根，忽略实际意义。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列式子中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义，即可求解． 【详解】解：A、不是方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项符合题意； C、是整式方程，故本选项不符合题意； D、是整式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程是分式方程是解题的关键． 【跟踪专练1】有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查分式方程的判断，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程； 故符合题意的是②③； 故答案为：②③ 【跟踪专练2】下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， B．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， C．选项中的方程符合分式方程的定义，符合题意， D．选项是代数式，不是等式，不符合题意， 故选：C． 【题型2.由解的情况求参数值】 【典例】请写出一个根为的分式方程： ． 【答案】 【详解】中，当 时，左边为，右边为， 等式成立，且分母在时值为， 是分式方程的根． 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但使原方程分母为零的根；本题中，分母为，故增根为，将原方程化简后代入即可求出的值. 【详解】解：， ∴， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴， 把代入中， ， 解得：， 故选：A． 【跟踪专练2】已知关于 x 的分式方程 有整数解，且关于 x 的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解分式方程得出，根据题意得出或或，据此得出或或1或或；解不等式组两个不等式，根据解集为，得出；综合以上两点得出整数a的值，从而得出答案． 【详解】解：分式方程， 去分母，得：， 解得：， ∵关于x的分式方程有整数解， ∴或或， ∴或或1或或， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴，即， 则整数a的值为0，1， 故答案为：0或1． 【题型3.分式方程无解情况】 【典例】若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴， 解得， 当时， ，该方程无解； 当时， ， ； ∴的取值为或2， 故选：C． 【跟踪专练1】已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是 ； （2）若该方程无解，则的值是 ． 【答案】 2 或 【分析】本题主要考查分式方程的运算，理解增根，无解的含义是关键． （1）根据增根的含义“分母为零”代入计算即可； （2）①根据方程有增根时，原方程无解，代入计算即可；②根据时，原方程无解，代入计算即可． 【详解】解：（1）若该方程有增根，则，即． （2）， 移项得，， ∴， 去分母、整理得， 当方程有增根时，原方程无解，即， 解得； 当时，原方程无解，即； 综合上述得，的值为或． 故答案为：①2；②或． 【跟踪专练2】已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解法，首先去分母，把分式方程转化为整式方程，可得：，可知当时，方程无解，当时，方程的解为，因为分式方程的解为增根，所以可得：，解方程求出的值即可，本题中需要注意无解和增根的区别． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程无解， 此时； 当时， 可得：， 分式方程有增根， ， 解得：， 检验：当时，原方程的增根为，符合题意； 当时，分式方程有增根． 故选：C． 【题型4.分式方程的列式】 【典例】随着某部电影的热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“进价购进成本购进数量”、“用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同”建立方程即可． 【详解】解：设该书店第一次购进套，则第二次购进套， 则可列方程为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，正确找出等量关系是解题关键． 【跟踪专练1】某项工程，甲单独完成需30天，乙单独完成需20天，若乙先单独做12天，剩下的由甲单独完成．问：甲、乙一共用多少天可以完成全部工作？若设甲、乙一共用x天可以完成全部工作，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲、乙一共用x天可以完成全部工作，则甲工作了天，再根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程即可． 【详解】解：设甲、乙一共用x天可以完成全部工作， 由题意得，， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，边长为的大正方形剪去个边长为的小正方形，做成一个无盖纸盒．若无盖纸盒的底面积与表面积之比为：，则根据题意可知，满足的关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别表示出底面积与表面积，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：依题意，底面积为，表面积为，根据题意可得． ， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意表示出底面积与表面积是解题的关键． 【题型5.分式方程的解法】 【典例】分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤. 先去分母转化为整式方程，解出x的值，再检验即可. 【详解】解：去分母得：, 解得： 经检验，是原方程的解. 故答案为：． 【跟踪专练1】将关于x的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了解分式方程，将分式方程两边同时乘以即可得解． 【详解】解： 分式方程两边同时乘以得，． 故选：B． 【跟踪专练2】观察下列方程： 可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程 （n为正整数）解 ．（用含n的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程，根据题目材料，找出分式方程解的规律是解决本题的关键．通过观察给定方程的解的规律，发现对于方程 ，其解为或，将待解方程中的视为整体，应用上述规律求解即可 【详解】解：，其中， 令，则方程化为， 根据规律，该方程的解为或， 代入，得或，即或， 故答案为：或 【题型6.行程问题中的分式方程】 【典例】中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为，则下面所列方程中正确（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度是，根据“郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用”，即可求解． 【详解】解：设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度是，根据题意得： ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【跟踪专练1】五一期间，小雨一家自驾游到北京游玩，总路程600千米．前半程按计划速度行驶，为提前到达目的地，后半程将车速提高了，因遇到高速拥堵，耽搁40分钟，最终恰好在计划时间到达．设原计划速度为千米每小时，则根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划速度为千米每小时，则提速后的速度为千米每小时，根据时间路程速度，分别计算出原计划需要的时间，前半程的时间和后半程的时间，进而列出方程即可． 【详解】解：设原计划速度为千米每小时，则提速后的速度为千米每小时， 由题意得，， 故答案为：． 【跟踪专练2】小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【答案】(1)机器人走完全程所花的时间为分钟 (2)当时，两机器人行走的时间相同，当时，A机器人行走的时间多，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）解：机器人所需时间， B机器人所需时间， ， 当时，， ∴，则，即两机器人行走的时间相同． 当时，，， ∴，则，即A机器人行走的时间多． 【题型7.工程问题中的分式方程】 【典例】某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个，依题意列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可． 【详解】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个， 由题意得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可． 【跟踪专练1】某社区计划对某块区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？设乙施工队每天分别能完成绿化的面积是，则可以列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程． 【详解】设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是， 依题意，得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式；某化工厂要在规定时间内搬运4800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料 【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料．根据A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时建立方程求解． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料． 根据题意，得： 解之得： 检验：当时，，且符合试题题意； 所以，原分式方程的解为， 所以，(千克)， 答：A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料． 【题型8.经济问题中的分式方程】 【典例】受天气等诸多因素影响，苹果平均每千克涨价4元，已知涨价前40元购买的苹果质量与涨价后60元购买的苹果质量相同，设涨价前价格为元/千克，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设涨价前价格为元/千克，则，涨价后价格为元/千克，再根据涨价前40元购买的苹果质量与涨价后60元购买的苹果质量相同列出方程即可． 【详解】解：设涨价前价格为元/千克， 由题意得，， 故选：A． 【跟踪专练1】某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．则今年三月份甲种电脑每台售价为 元． 【答案】4000 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设今年三月份甲种电脑每台售价为x元，则去年三月份甲种电脑每台售价为元，根据卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元列出方程求解即可． 【详解】解；设今年三月份甲种电脑每台售价为x元，则去年三月份甲种电脑每台售价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴今年三月份甲种电脑每台售价为4000元， 故答案为：4000． 【跟踪专练2】某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台，请解答下列问题： (1)、两种设备每台的成本分别是多少万元？ (2)、两种设备每台的售价分别是万元、万元，且该公司生产两种设备各30台，现公司决定对两种设备优惠出售，种设备按原来售价折出售，种设备在原来售价的基础上优惠，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？ 【答案】(1)、两种设备每台的成本分别是万元和万元 (2)该公司共获利为万元 【分析】（1）设种设备每台成本为元，则种设备每台设备成本为元，根据题意列出方程即可求出答案． （2）根据题意列出算式即可求出答案． 本题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 【详解】（1）解：设种设备每台成本为万元，则种设备每台设备成本为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：、两种设备每台的成本分别是万元和万元． （2）由题意知：种设备共有台，种设备台， 种设备获利为：（万元）， 种设备获利为：（万元）， 该公司共获利为（万元）， 答：该公司共获利为万元． 【题型9.和差倍分问题中的分式方程】 【典例】不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的一些白乒乓球和12个黄乒乓球，若随机从袋子中摸出一个乒乓球是黄色的概率为，则袋子中总共有 个白乒乓球． 【答案】6 【分析】设袋子中有m个白色乒乓球，根据黄色的概率为，列方程求解即可． 【详解】解：设袋子中有m个白色乒乓球，由题意得， ， 解得m=6， 经检验，m=6是原方程的解， ∴袋子中总共有6个白乒乓球． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 【跟踪专练1】已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，且两人每小时共阅读60页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课外读物x页，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读页，根据“已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同”即可列出方程． 【详解】解：设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读页， 那么甲读150页所用的时间为：， 乙读200页所用的时间：． 由题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系：已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同是解决问题的关键． 【跟踪专练2】某粮食生产基地为积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具．已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1.5万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同． (1)购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过72万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】(1)购买1件甲种农机具需4.5万元，购买1件乙种农机具需3万元 (2)甲种农机具最多能购买8件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，利用数量总价单价，结合用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出购买件乙种农机具所需费用，再将其代入中即可求出购买件甲种农机具所需费用； （2）设甲种农机具购买a件，利用总价单价数量，结合购买的总费用不超过万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买1件乙种农机具需x万元，则购买1件甲种农机具需万元． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则， 所以购买1件甲种农机具需4.5万元，购买1件乙种农机具需3万元． （2）解：设甲种农机具购买a件． 由题意，得， 解得． 因为a为正整数， 所以甲种农机具最多能购买8件． 【题型10.分式方程的其他应用】 【典例】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（   ） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 【答案】D 【分析】先把3斗换算成30升，设可以换得粝米x升，再根据50单位的粟：30单位的粝米＝30升粟：x升粝米，列分式方程，求出x即可． 【详解】根据题意得：3斗＝30升， 设可以换得的粝米为x升， 则 ，      解得， 经检验：是原分式方程的解， 答：可以换得的粝米为18升． 故选：D． 【点睛】本题考查的是列分式方程解古代数学问题，弄清题意列出正确的方程是解题的关键．注意解分式方程必须要检验． 【跟踪专练1】为了帮助地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为20 000元，第二次捐款总额为56 000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数是多少？若设第一次捐款的人数为x，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【详解】关键描述语为：“人均捐款额比第一次多20元”；等量关系为：第二次人均捐款数﹣第一次人均捐款数=20． 解：第二次人均捐款数为：，第一次人均捐款数为：．所列方程为：． 【跟踪专练2】某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？ 【答案】甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品，再根据每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等建立方程求解即可． 【详解】解：设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品． 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， ， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是增根， 即分式方程无解． 2．关于的方程． (1)若方程的解为，求的值； (2)若此方程有增根，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或． 【分析】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题，解题关键是熟练掌握解分式方程的方法． （1）先将分式方程化为整式方程得，再把代入整式方程即可求出； （2）由分式方程有增根，得到，解出，将的值代入整式方程求出即可． 【详解】（1）解：原方程整理，得， 把代入整式方程得， 解得． （2）解：由分式方程有增根，得到， 解得或， 把代入整式方程得； 把代入整式方程得． 综上，的值为或． 3．小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，即可解答； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求解即可． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得， 展开，得， 解方程，得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的根是． （2）解： 方程两边同时乘以，得． ∵方程的增根是， ∴， 解得， 所以，原分式方程中“”代表的数是． 4．在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 5．A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． (1)请找出列方程所需的等量关系； (2)若设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，请将等量关系中涉及的量用含的代数式表示，并将它们填写在图形或表格中，以此来表达你对问题的分析过程； (3)根据等量关系列出方程． 【答案】(1)从A市到甲地的时间等于从A市到乙地的时间 (2)开往乙地列车的速度为千米/时，从A市到甲地的时间为小时，到乙地的时间为小时；表格见解析 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，能够读懂题意找到等量关系是解题关键； （1）根据题意“从A市到甲、乙两地所需时间相同”，可得到等量关系； （2）列出代数式填表即可； （3）根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：∵从A市到甲、乙两地所需时间相同． ∴等量关系为：从A市到甲地的时间等于从A市到乙地的时间； （2）解：设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，则开往乙地列车的速度为千米/时； 则从A市到甲地的时间为小时，到乙地的时间为小时； 列表格如下： 目的地 距离（千米） 速度（千米/时） 时间（小时） 甲地 400 x 乙地 350 （3）解：根据等量关系可列方程：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $