1.1.5 多项式的乘法 第1课时　单项式与多项式相乘 教学设计 2025-2026学年湘教版 七年级数学下册

1.1.5 多项式的乘法 课题 1.1.5 多项式的乘法 第1课时　单项式与多项式相乘 课型 讲授课 课时 1 总课时 教材分析 本节课是湘教版七年级下册第1章整式乘法的核心过渡课时，承接单项式乘法、幂运算知识，是多项式乘法的第一课时，核心是推导单项式与多项式相乘的法则并掌握其应用。教材通过转化思想将其转化为单项式乘法，完善整式运算体系，为后续多项式乘多项式铺垫，兼具衔接性和基础性，重点培养学生的代数运算与知识转化能力。 学情分析 七年级学生已熟练掌握单项式乘法和幂运算法则，具备基础代数运算能力，但对“转化思想”理解不深，运算时易出现漏乘多项式的项、符号错误，步骤规范性不足，抽象思维较弱，需通过分层推导、规范演练突破难点。 核心素养 （教学） 目标 1. 数学抽象：理解单项式与多项式相乘的意义，抽象出对应法则，建立其与单项式乘法的关联，深化整式运算的抽象认知。 2. 逻辑推理：通过转化思想推导法则，能清晰表达“单项式×多项式→单项式×单项式”的转化过程，培养归纳推理和逻辑表达能力。 3. 数学运算：熟练掌握法则，能规范进行单项式与多项式相乘运算，正确处理漏乘、符号问题，培养严谨的运算习惯。 4. 数学应用：运用法则解决简单代数运算问题，体会转化思想的实用性，提升代数运算与知识迁移能力。 教学重点 单项式与多项式相乘法则的推导过程和应用方法，能熟练运用法则进行运算，掌握“单项式乘多项式每一项、再合并同类项”的核心步骤。 教学难点 理解法则的推导逻辑，突破运算中漏乘多项式的项、符号错误的易错点，熟练运用转化思想。 教法学法 教法：采用启发转化式、分层演算法，结合多媒体辅助，引导学生实现“多项式→单项式”的转化，推导法则、规范运算。学法：自主探究、合作交流、归纳演练，通过法则推导、规范做题，掌握本节课知识与方法。 教学准备 多媒体课件（法则推导、例题、易错辨析），学生自备草稿纸、铅笔、练习本，用于法则推导和运算演练。 预习《学法大视野》本课时课前预习部分 教学过程设计 复备栏 一、情境引入:(课件展示) 问题1:根据有理数乘法的分配律计算:(-12)×--. 问题2:我们知道代数式中的字母都表示数,如果把上题中的数都换成字母,你会计算m(a+b+c)吗? 问题3:问题2中算出来的结果能不能加以验证呢? 你能由此得出单项式与多项式相乘的方法吗? 二、新知探究,合作交流:(以自学研讨或小组学习方式进行) [探究一:单项式与多项式相乘] 1.阅读教材P10的内容,思考单项式与多项式相乘的依据是什么?并归纳出单项式与多项式相乘的法则. 方法归纳:单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式中的每一项,再把所得的积相加. 2.应用:【类型一】直接利用单项式乘以多项式法则进行计算. 【例1】计算:(1)ab2-2ab·ab;(2)-x·x2-2y+5. 解析:直接利用单项式乘多项式的法则计算即可. 解:(1)ab2-2ab·ab=ab2·ab-2ab·ab=a2b3-a2b2 　(2)-x·x2-2y+5=-x·x2+x·2y-x·5=-x3+xy-2x. 方法归纳:单项式与多项式相乘的运算法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 练习:完成教材P11练习第1题. 【类型二】单项式乘多项式的化简求值. 阅读教材P11例12内容,思考单项式乘多项式化简求值的步骤. 【例2】先化简,再求值:2a(a2-3a+4)-3a2(2a+5),其中a=-1. 解析:首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号,然后合并同类项,最后代入已知的数值计算即可. 解:2a(a2-3a+4)-3a2(2a+5)=2a3-6a2+8a-6a3-15a2=-4a3-21a2+8a.当a=-1时,原式=-4×(-1)3-21×(-1)2+8×(-1)=-25. 方法归纳:在做乘法计算时,一定要注意单项式和多项式中每一项的符号,不要漏乘任何一项,尤其是常数项. 练习:完成教材P11练习第2题. [探究二:单项式与多项式乘法的实际应用] 【例3】一条防洪堤坝,其横断面是梯形,上底宽a米,下底宽(2a+3b)米,坝高a米. (1)求防洪堤坝的横断面面积; (2)如果防洪堤坝长400米,那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米? 解析:(1)根据梯形的面积公式,然后利用单项式乘多项式的法则计算;(2)防洪堤坝的体积=梯形面积×坝长. 解:(1)防洪堤坝的横断面面积S=[a+(2a+3b)]×a=a(3a+3b)=a2+ab(平方米).故防洪堤坝的横断面面积为(a2+ab)平方米; (2)堤坝的体积V=(a2+ab)×400=(150a2+150ab)(立方米).故这段防洪堤坝的体积是(150a2+150ab)立方米. 方法归纳:计算本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积=梯形面积×长度)的计算方法,同时掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键. [集中展示与交流] 1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”. 2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果. 【课堂练习】 　直接利用单项式乘多项式法则计算 1.计算(-3x)·(2x2-5x-1)的结果是 (B) A.-6x3-15x2-3x B.-6x3+15x2+3x C.-6x3+15x2 D.-6x3+15x2-1 2.下列计算错误的是 (C) A.-3x(2-x)=-6x+3x2 B.(2m2n-3mn2)(-mn)=-2m3n2+3m2n3 C.xy(x2y-3xy2-1)=x3y2-x2y3 D.(xn+1-y)xy=xn+2y-xy2 　单项式乘多项式的化简求值 3.先化简,再求值:-xy2[xy(2x-y)-2x(xy-y2)],其中x=-,y=-2. 解:原式=x2y2·(2x2y-xy2-2x2y+2xy2)=x2y2·xy2=x3y4. 当x=-,y=-2时,原式=-6. 　“不含”或“无关”问题 4.若计算(x2+ax+5)(-2x)-6x2的结果中不含有x2项,则a的值为 (A) A.-3 B.- C.0 D.3 5.已知代数式7a(a-kb)-3(b2-14ab-1)经化简后不含ab项,求k的值. 解:原式=7a2-7kab-3b2+42ab+3=7a2-3b2+(42-7k)ab+3. 因为化简后不含ab项,所以42-7k=0,解得k=6. 三、评价与反思:(引导学生自己总结) 今天学习了什么?学到了什么?还有什么疑惑?有什么感受? 在学生回答的基础上,教师点评并板书: (1)单项式与多项式相乘的法则. (2)单项式与多项式乘法的实际应用. 【板书设计】 1.1.5 第1课时 单项式与多项式相乘 一、复习回顾 1. 单项式乘法：系数相乘、同底数幂相乘 2. 同类项合并法则 二、法则推导（以a(m+n+b)为例） a(m+n+b) = am + an + ab（转化思想：单项式×每一项） 三、核心法则 单项式与多项式相乘：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的幂相加 四、例题演练 例1：2x(x+3) 例2：-3a(2a - b) 例3：4xy(xy - 2x^2) 五、易错辨析 1. 不可漏乘多项式的任意一项 2. 注意符号变化 3. 结果需合并同类项 【布置作业】 (1)教材P14习题1.1第6题. (2)完成本课时对应课后练习.学生完成《学法大视野》本课时训练，要求学生认真完成，巩固所学知识。 教 学 反 思 学科网（北京）股份有限公司 $