精品解析：北京市昌平区新学道临川学校2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

新学道临川学校 2025-2026学年度 第一学期 期末考试 高二数学试题（全国专用卷） 本试卷满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回即可. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知直线l经过两点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设，若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 某篮球运动员投篮的命中率为 ，现投了次球，则恰有次投中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为 A. 4 B. C. D. 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. 32 C. D. 255 8. 下列说法正确的个数是（    ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，答对部分答案得部分分，错选得0分） 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则或 10. 某生物制药企业使用两条生产线生产同一种疫苗.第1条生产线的疫苗效价不达标的概率为6%，第2条生产线的疫苗效价不达标的概率为5%.生产后的疫苗混放在一起.已知第1、2条生产线生产的疫苗数分别占总数的40%，60%.记“任取一份疫苗是由第条生产线生产（）”为事件，“任取一份疫苗效价不达标”为事件，则（ ） A. B. C. D. 11. 设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若点，则的最小值是5 D. 若倾斜角为，且，则 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 根据下表数据得到y关于x的线性回归方程，则______． x 1 2 3 4 y 1 4 5 8 13. 若有5个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种.（用数字作答） 14. 已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为______；是双曲线的焦点，点在双曲线上，且，则 ______. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线：和圆：. （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 16. 甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校 分组 频数 3 14 8 10 3 乙校 分组 频数 2 10 2 2 1 （1）计算，的值； （2）若规定考试成绩在内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1人来自乙校的概率； （3）若规定考试成绩在内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 参考公式：，． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： （1）已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ （2）从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 18. 如图，是边长为4的正方形， 平面， ，且 . （1）证明： 平面 ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值. （3）线段上是否存在一点，使得点到平面 的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的焦距为，且经过点． （1）求的方程； （2）若直线 与相交于不同于的， 两点， 的中点为，当时， ①求证： 为直角． ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新学道临川学校 2025-2026学年度 第一学期 期末考试 高二数学试题（全国专用卷） 本试卷满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回即可. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知直线l经过两点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用经过两点的斜率公式与，即可求得结果. 【详解】直线l经过两点，所以， 又倾斜角的取值范围为，所以. 故选：D 2. 设，若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算. 【详解】时，容易验证两直线不平行，当时，根据两直线平行的条件可知：，解得或. 故选：C. 3. 某篮球运动员投篮的命中率为 ，现投了次球，则恰有次投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式直接计算出结果. 【详解】根据独立重复试验的概率计算公式可知： 恰有次投中的概率为． 故选：B. 4. 设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为 A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的定义分析解答得解. 【详解】由题得. 由双曲线的定义可知到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值 . 故选A 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 6. 随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且，所以， ， 所以. 故选：A 7. 若，则的值为（ ） A. B. 32 C. D. 255 【答案】D 【解析】 【分析】使用赋值法求二项式展开后各项的系数和即可，令即可得，令即可得，进而可求的值. 【详解】令，即， 令，则，则. 故选：D. 8. 下列说法正确的个数是（    ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概率可判断①；根据二项分布的方差以及方差的性质即可判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据随机变量的分布列即可判④. 【详解】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误； 因为随机变量，所以，，②正确； 根据正态分布的性质，，所以，，③正确； ，得， 可得，解得，所以，④正确； 综上，正确命题的个数为3. 故选：C. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，答对部分答案得部分分，错选得0分） 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则或 【答案】CD 【解析】 【分析】使用空间向量的坐标运算，结合线面关系，对于A，若条件满足，则有，经计算后无解，排除，对于B，若条件满足，则有，计算后无解，排除，对于C，若条件满足，则有，经计算后成立，对于D，若条件满足，则有，经计算后成立. 【详解】对于A，若，则，的方向向量平行， 则有，即，无解，所以与不平行，故A错误； 对于B，若，则的方向向量平面的法向量， 则有，即，无解，所以与不垂直，故B错误； 对于C，若，则，的法向量互相垂直， 且有，所以，故C正确； 对于D，若或，则直线的方向向量垂直于平面的法向量， 且有，所以或，故D正确. 故选：CD 10. 某生物制药企业使用两条生产线生产同一种疫苗.第1条生产线的疫苗效价不达标的概率为6%，第2条生产线的疫苗效价不达标的概率为5%.生产后的疫苗混放在一起.已知第1、2条生产线生产的疫苗数分别占总数的40%，60%.记“任取一份疫苗是由第条生产线生产（）”为事件，“任取一份疫苗效价不达标”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用全概率及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误. 【详解】 ，故A正确； ，故B正确； 由题意可知，，故C正确. ，故D错误. 故选：ABC. 11. 设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若点，则的最小值是5 D. 若倾斜角为，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项由范围来判断，B选项由特殊点进行判断，C选项利用点到抛物线的准线的距离来判断，D选项求得 两点的纵坐标来判断. 【详解】抛物线的准线为 ，焦点为. 设， 设直线的方程为 ， 由消去并化简得 ， 所以 ， ， 所以（ 时等号成立）.所以A选项正确. 当直线的方程为时，不妨设，此时，所以B选项错误. 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线 的距离，也即的最小值为，所以C选项正确. 当倾斜角为时，，不妨设在第一象限，在第四象限. 故，解得， 所以，即，所以D选项正确. 故选：ACD 【点睛】求解与抛物线有关的距离和的最值问题，要注意结合抛物线的定义来求解. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 根据下表数据得到y关于x的线性回归方程，则______． x 1 2 3 4 y 1 4 5 8 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定的数表求出样本的中心点，再利用回归直线方程求出的值. 【详解】， 所以，解得 ． 故答案为：1 13. 若有5个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种.（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】由题意得甲、乙必须相邻，故使用“捆绑法”把甲、乙捆绑到一起算作一个“个体”，再确定丙的位置后，全排列剩下的“个体”即可. 【详解】因为甲、乙必须相邻，故将甲、乙捆绑到一起算作一个“个体”，内部有种排列方法，此时共有4个“个体”， 若丙不能站在两端，则丙只能站在中间两个位置中的一个，共2种排列方法，其余3个“个体”全排列，共有种排列方法， 故共有 种排列方法. 故答案为：24. 14. 已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为______；是双曲线的焦点，点在双曲线上，且，则 ______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程求得，即可求得渐近线方程；根据得点在以为圆心为直径的圆上，求出，根据向量的加法运算法则求得. 【详解】在双曲线中，， ，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 因为，所以，所以点在以坐标原点为圆心，为直径的圆上. 因为是的中点，所以.因为， 所以，所以，所以， 所以. 故答案为：； 四、解答题（共77分） 15. 已知直线：和圆：. （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）直线与圆相交，所截得的弦长为2 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，将之与圆的半径 比较，若，则圆与直线相交，此时直线被圆截得的弦长为，即可求解； （2）先判断点在圆外，过该点并与圆相切的直线有两条，当直线斜率存在时，圆心到直线的距离等于半径，即可求得切线方程，并考虑直线斜率不存在时即时是否满足条件即可. 【小问1详解】 由题意得圆的圆心，半径 ， 则圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所截得的弦长为， 故直线与圆相交，所截得的弦长为2. 【小问2详解】 因为圆心到的距离为， 所以点在圆外，此时有两条切线， ①当直线斜率存在时，由题意设直线，即， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为； ②当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心到的距离为3， 故也满足条件，此时切线方程为， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 16. 甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校 分组 频数 3 14 8 10 3 乙校 分组 频数 2 10 2 2 1 （1）计算，的值； （2）若规定考试成绩在内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1人来自乙校的概率； （3）若规定考试成绩在内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 参考公式：，． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） ，： （2）： （3）列联表见后；不能认为两所学校的数学成绩有差异． 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样方法得出甲、乙校各抽多少人，即可得出、； （2）由古典概率公式求解即可； （3）由频数分布统计表得出其列联表，按公式代入计算得，对照临界值表可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 【小问1详解】 甲校抽取人，乙校抽取人，故 ，； 【小问2详解】 由表知甲校尖子生5人，乙校尖子生3人，共8人，抽取4人， 恰有1人来自乙校的概率； 【小问3详解】 列联表如下： 甲校 乙校 总计 优秀 15 5 20 非优秀 25 27 52 总计 40 32 72 ， 故不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 17. 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： （1）已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ （2）从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 【答案】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为2人，乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为4人 （2） 1 2 3 0.2 0.6 0.2 的数学期望为2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率即可直接求得甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生人数； （2）记从乙班抽到的学生人数为，由题得随机变量符合超几何分布，则有 ，即可求 ，再计算均值即可. （3）从频率分布直方图，我们可以得到甲班的数据比较集中，乙班的数据比较分散，这说明甲班的离散程度小，数据波动小，方差也小，乙班的离散程度大，数据波动大，方差也大，故可得. 【小问1详解】 甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为 人， 乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为 人. 【小问2详解】 两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为，易得随机变量符合超几何分布，的取值为 则有 ， 则 ， ， ， 则分布列为： 1 2 3 0.2 0.6 0.2 则 ，即的数学期望为2. 【小问3详解】 根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙班数据波动较大，方差较大，则有. 18. 如图，是边长为4的正方形， 平面， ，且 . （1）证明： 平面 ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值. （3）线段上是否存在一点，使得点到平面 的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在上取点，使 ，连接，，如下图： 因为 ，即 ，且 ，故四边形 是平行四边形， 则有 且 ，因为是正方形，则有 且， 故 且 ，即四边形 是平行四边形，则有 ， 因为 平面 ， 平面 ，故 平面 . （2） （3）存在 ； 【解析】 【分析】（1）在上取点，使 ，通过证明 是平行四边形，有 ， 平面 ， 平面 ，故 平面 ； （2）以为原点，为轴建立空间直角坐标系，先求出平面 的法向量 ，与平面 所成角的正弦值，就是的方向向量与平面 的法向量夹角的余弦值，通过夹角余弦值公式即可求解. （3）由题意可设 ，再使用点到平面距离公式，即点到平面 的距离即可求出的值，进而得到点的坐标，从而可求 . 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则 ， ， 设平面 的法向量 ，则有， 令，则 ，即 ，直线的方向向量为 ， 设直线与平面 的夹角为，则有 ， 故直线与平面 所成角的正弦值为. 【小问3详解】 已知 ，平面 的法向量 ，且， 设是线段上一点，由 可设 ， 则 ， 点到平面 的距离， 令，解得 （舍）或，故存在满足条件的点 ， 则，故线段长. 19. 已知椭圆的焦距为 ，且经过点． （1）求的方程； （2）若直线 与相交于不同于的，两点， 的中点为，当时， ①求证： 为直角． ②求的值． 【答案】（1） ； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上及焦距列方程求椭圆参数，即可得方程； （2）①由题设有，结合，有，即可证结论； ②设，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理及列方程求解即可. 【小问1详解】 由题意，且，则， 所以椭圆 ； 【小问2详解】 ①在中， 又，两点不同于， 的中点为， 当时， 此时， 所以 为直角，得证； ②设，联立， 整理得 ， 则， 所以，则，， 由， 综上，将韦达公式代入上式整理得，可得或， 而时，直线过点，不合题设， 当时，满足条件， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $