北京市昌平区新学道临川学校2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

新学道临川学校 2025-2026学年度 第一学期 期末考试 高二数学试题（全国专用卷） 本试卷满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回即可. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知直线l经过两点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设，若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 某篮球运动员投篮的命中率为，现投了次球，则恰有次投中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为 A. 4 B. C. D. 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. 32 C. D. 255 8. 下列说法正确的个数是（    ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，答对部分答案得部分分，错选得0分） 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则或 10. 某生物制药企业使用两条生产线生产同一种疫苗.第1条生产线的疫苗效价不达标的概率为6%，第2条生产线的疫苗效价不达标的概率为5%.生产后的疫苗混放在一起.已知第1、2条生产线生产的疫苗数分别占总数的40%，60%.记“任取一份疫苗是由第条生产线生产（）”为事件，“任取一份疫苗效价不达标”为事件，则（ ） A. B. C. D. 11. 设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若点，则的最小值是5 D. 若倾斜角为，且，则 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 根据下表数据得到y关于x的线性回归方程，则______． x 1 2 3 4 y 1 4 5 8 13. 若有5个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种.（用数字作答） 14. 已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为______；是双曲线的焦点，点在双曲线上，且，则 ______. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线：和圆：. （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 16. 甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校 分组 频数 3 14 8 10 3 乙校 分组 频数 2 10 2 2 1 （1）计算，的值； （2）若规定考试成绩在内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1人来自乙校的概率； （3）若规定考试成绩在内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 参考公式：，． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： （1）已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ （2）从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 18. 如图，是边长为4的正方形，平面，，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的焦距为，且经过点． （1）求的方程； （2）若直线与相交于不同于的，两点，的中点为，当时， ①求证：为直角． ②求的值． 新学道临川学校 2025-2026学年度 第一学期 期末考试 高二数学试题（全国专用卷） 本试卷满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回即可. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，答对部分答案得部分分，错选得0分） 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】24 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题（共77分） 【15题答案】 【答案】（1）直线与圆相交，所截得的弦长为2 （2）或 【16题答案】 【答案】（1），： （2）： （3）列联表见后；不能认为两所学校的数学成绩有差异． 【17题答案】 【答案】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为2人，乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为4人 （2） 1 2 3 0.2 0.6 0.2 的数学期望为2 （3） 【18题答案】 【答案】（1）在上取点，使，连接，，如下图： 因为，即，且，故四边形是平行四边形， 则有且，因为是正方形，则有且， 故且，即四边形是平行四边形，则有， 因为平面， 平面，故 平面. （2） （3）存在； 【19题答案】 【答案】（1）； （2）①在中， 又，两点不同于，的中点为， 当时， 此时， 所以为直角，得证； ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $