精品解析：福建省厦门市康桥中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

2025～2026学年上学期期中考试高三 数学试题 姓名：_______ 班级：_______ 考号：_______ 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间：120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得到答案. 【详解】根据交集定义知. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到，再利用共轭复数的概念和复数的乘法计算法则即可得到答案. 【详解】由题意得，则. 故选：D. 3. 若均为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式得到充分性成立，举出反例可得必要性不成立，得到答案. 【详解】若均为正实数，且，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故充分性成立， 若，不妨设，满足，但，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由时即可排除A；由奇偶性可排除B；时0，则可排除C，故答案可求. 【详解】对于A，当时，，排除A； 对于B，因为， 所以函数为偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，当时，由0，得，排除C， 故选：D． 5. 已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数周期性的定义可得出，再结合奇函数的定义可得出的值，由此可得出的值. 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，则， 又因为，所以，，故， 即. 故选：B. 6. 如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】如图 ，，则，，米， 由正弦定理， 即， 解得. 故选：C 7. 若函数有零点，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得方程有根，则，结合，求得或，利用诱导公式和二倍角余弦公式化简求解. 【详解】因为函数有零点，即方程有根， 所以，则， 因为，所以或， 则. 故选：B. 8. 若对于，都有成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对已知不等式进行变形，得到，再构造函数，利用导数分析函数的单调区间即可得解． 【详解】因为，， 所以，即． 令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 故时满足题意，所以的最大值为1． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 不是等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解. 【详解】设的公比为，则由，单调递增，得， 因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，.故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误. 故选：AC. 10. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若的夹角为钝角，则 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量垂直的坐标表示求解判断即可；对于B，根据平面向量共线的坐标表示求解判断即可；对于C，由的夹角为钝角可得，且不共线，进而求解判断即可；对于D，易得，令，利用判别式法求解判断即可. 【详解】对于A，由，则，即，故A正确； 对于B，由，则，即，故B正确； 对于C，由的夹角为钝角，则，且不共线， 则且，故C错误； 对于D，由在方向上的投影向量为， 则，所以， 令，则， 当时，，则，符合题意， 当时，有，解得且， 综上所述，，则的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数 应用导函数得出函数单调性得出值域判断A，B，根据成等差数列，结合指数运算律及对数运算律判断C，D. 【详解】对A、B:令 则 ， 设 ，则 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，时，时，， 且 ，故 ，且 ，故 A错误、B正确； 对C、D：由题意可得 ，所以 ， 由于成等差数列，则 ，故 ， 则 ，所以 ，故成等比数列，故C正确； 则 ，化简有 ，则 ， 解得 或 ， 又 ，则 ，故 ， 则 ，又 故舍去， 故 ，又 ， 所以 ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先取对表达出m和n，结合对数运算法则即可求解. 【详解】因为，则， 因为，则， 所以. 故答案为：5. 13. 若，且，则的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据二倍角公式对等式进行化简，求出，然后根据的范围求出结果. 【详解】因为，所以， 化简得，解得， 所以或，因为，所以或. 故答案为：或. 14. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了关于一阶等差数列的问题：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列，即一阶等比数列满足从第二项开始，每一项与前一项的比值构成等比数列．设数列是一阶等比数列，，则______；______． 【答案】 ①. 32 ②. ## 【解析】 【分析】①根据一阶等比数列定义，得到，从而得到等比数列的通项公式，求出；②累乘求出，代入，再裂项求和. 【详解】①由题意，数列是一阶等比数列，， 所以为等比数列，其中，，公比为， 所以； ②， 所以， 所以． 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的极值． 【答案】（1） （2）在处取得极小值，无极大值 【解析】 【分析】（1）根据条件得，列出等式求解即可； （2）通过研究，求得在的单调性，进而求出的极值． 【小问1详解】 ，因为函数在处的切线方程为，所以，，也即，解得， 所以的解析式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 由单调性可知，是函数的极小值点，且是区间内唯一的极值点， 因此函数在处取得极小值，无极大值，， 所以函数在内的极小值为，无极大值． 16. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式建立方程组，解得首项和公差，即可写出数列通项公式； （2）结合题中条件和等比数列通项公式建立方程组，解得首项和公比，即可求得通项公式，从而求得数列通项公式，利用等比数列和等差数列前项和公式即可求得数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 设等比数列的公比是， 由，得，解得， 所以的通项公式为，此时，， 满足，故. 结合（1）知， 所以数列的前项和. 17. 已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角． （1）求角C的大小； （2）若、、成等比数列，且，求边c上的高h． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用两角和正弦公式，再应用诱导公式结合二倍角正弦计算即可； （2）应用等比数列列式再根据正弦定理得出，最后应用面积公式计算求解. 【小问1详解】 依题意，， 即，所以， 由知，，从而，故； 【小问2详解】 依题意，， 由正弦定理得：，即 又，则， 所以，从而， 由三角形面积公式得：，即 故． 18. 如图，函数的图象经过点和，将图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）求函数在上的值域； （3）若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值． 【答案】（1），单调递增区间为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据经过的点坐标和图象求出，然后根据图象的变化求出的解析式，进而根据正弦函数的单调性求出单调递增区间. （2）先化简函数的解析式，然后根据的范围求出值域即可. （3）先化简的解析式，然后求出其零点，进而求得的最小值. 【小问1详解】 因为函数经过点， 所以，所以，解得. 所以，因为，所以. 所以函数. 根据函数图象的平移等变化，可得出. 当时，单调递增， 解得，所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以. 所以. 因为，所以，所以， 所以，所以在上的值域为. 【小问3详解】 ，令，则. 所以或， 解得或. 函数的每个周期内有2个零点，要使得函数在区间内恰有20个零点， 则至少需要9个完整周期加1个零点， 所以的最小值为. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明： 令 则． 令，则， 则在上单调递减， 又 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减 则， 又，故 即. 【解析】 【分析】（1）求导，令导函数大于0，可求函数的增区间. （2）（ⅰ）求导，结合换元法，把问题转化成二次函数有两个不等正根可求参数的取值范围. （ⅱ）利用（ⅰ）中的有关结论，把化成，设，问题转化成证明.利用导数，分析函数单调性，即可证明结论. 【小问1详解】 当时，， 由，所以. 故单调递增区间为. 【小问2详解】 （ⅰ），令，即 令，，则是方程的两个正根， 则，即， 有，，即. 所以的取值范围为：. （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化为隐零点问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期期中考试高三 数学试题 姓名：_______ 班级：_______ 考号：_______ 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间：120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 4 3. 若均为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有零点，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 8. 若对于，都有成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 不是等比数列 10. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若的夹角为钝角，则 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____． 13. 若，且，则的值为__________. 14. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了关于一阶等差数列的问题：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列，即一阶等比数列满足从第二项开始，每一项与前一项的比值构成等比数列．设数列是一阶等比数列，，则______；______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的极值． 16. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 17. 已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角． （1）求角C的大小； （2）若、、成等比数列，且，求边c上的高h． 18. 如图，函数的图象经过点和，将图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）求函数在上的值域； （3）若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $