湖南省邵东市第三中学2025-2026学年高二上学期2月期末考试数学试题

《邵东三中2025年下学期高二期末考试卷》数学参考答案 题号 1 3 4 6 7 9 10 11 答案 D A C D B A C B AC BCD ACD 8 解： 1 J=sinx+sin2x+与sin3x sinx+ -.2sin xcosx+ (3sinx-4sin'x) 3sin'x+2sinx+sinxcosx 4 =-sin'x+2sinx+sin x.v1-sin?x 3 令1=m则由xe引得1eaD 则f0=-+2+ 0=4r+2+F-产 令m=-F,由r∈0，得m∈(0，) 则r0=gm=-40-m2+2+m+m _4m3+2m2-2m-1 当g(m)=0时，即4m3+2m2-2m-1=0, 所以(2m+1)2m2-1)=0 解得m=±号成m=-月 2 又因为m∈(0,1)， 所以当me(0, 5时，g{m)<0,当me（ 时，gm>0 即当e09,0>00马}上单调递指 当1e号时，了0<心0在（号》上单调造诚 所以当号04E 6 当=时0号 当=0时0=0<号 综上所述，归sinx片sin2x兮sin3x的值域为a4 6 答案第1页，共10页 11. 解析：f)=x-lnx-1,f=1 “函数f(x)在(0,1)单调递减，在(1，+∞)单调递增， 所以f(x)min=f(1)=0,所以f(x)≥0，故A正确； .'g(x)=x+lnx +1, :an+1 In an an +1,Ep an+1-an In an +1>0, 所以an是一个递增数列，故B错误： gx)-2x=-f(x)≤0.·g(x)≤2x, 可知：a+1=g(an)≤2a,即an+1≤2an, 所以≤2，号≤2号≤2，二≤2，相秦得，an≤20-1得证，故C正确： 根据an+1=lnan+an+1,且a1=1,可得，a2=2, 当n≥2时，a3-a2=na2+1=n2+1>1,a4-a3=na3+1>1,…, an-an-1=lhan-1+1>1,所以an-a2>n-2,又a2=2,所以an>n(n>2), ln(x+1)≤x,即x-1≥nx 所以当n之2时，(+)<京<京<高=高-片 所以n(1+》<1-n(1+动)<…ln(1+)<-片 所以n(1+)+n(1+)+…+ln(1+)<1-+-+…+高-片=1-<1. 故2h(（1+)<1.故D正确， 答案第2页，共10页 13. 3 14.1 4 简易解答过程： 在平行六面体中，底面是菱形，所以AC⊥BD,过点B作BH上AC交 AC于点H,连接DH,易知AC⊥平面BDH,于是∠BDH为 平面D-4C-B二面角的平面角， cs∠HBA=I+DP-B22 2BHD.H 因为AC=2,OD=1所以在三角形AD:C中，D:是在以 AC为直径的圆上， D1 于是在平面AD,C中，D:的轨迹方程为：+2=→ 同样在平面AB:C中，利用教材中椭圆定义，可以得到B:的轨迹方程为： 13. y. 令H(,0),不失一般性使0≤1≤1 则H=-DH=F 所以cas∠BHD= 351 本+一20s1≤D,用函数求值域的方法， 可以求得当0时， (s∠BHD)== 14.1 答案解析 不妨设A(x,乃)，B(x2,2),C(-x2,-y2)D(-,-片)，x>0x2>0 则有 y=h(s+1)Jy,=ln(x,+1) -y =ax -2abx-y ax:-2abx. 分别相加得lhn(:+1)+ax-2abx=0,lh(化2+1)+a-2abx,=0 相当于方程ln(x+1)+ar2-2abx=0,在(0，+∞)有两个不同的根， 即h(x)=n(x+1)+ar2-2abx在(0，+∞)有两个不同的交点， 显然h(0)=0,即h(x)=ln(x+1)+ax2-2ab.x在[0，+o)有三个不同的交点， 答案第3页，共10页 由示意图可知该函数需要在(0，+∞)有两个极值点 求导N(x)=1 +2m-2ab-2+(2a-2a0x+1-2ab x+1 x+1 即导函数需要在(0，+∞)有两个不同的零点， 当a≤0时，显然(x)=1+2am-2b在(0，+)单调递减，故不可能在(0，+∞)有两个 x+1 不同的零点， 当a>0时， N(x=1_+2ax-2b=2-+-20有两个不同零点， x+1 即2ax2+(2a-2ab)x+1-2ab=0在(0，+∞)有两个不同的根x,x,, 此时(2a-2ab)2-8a(1-2ab)>0 得ab< 2 令g()=k()）=1+2am-2ab-2m+(2a-2ab)x+1-2a x+1 x+1 g'x)=-1 (x+1) +a0p=al0=a0》 √2a -)<0→2b>2 2-22 “[b1.=1 15.(1)证明见解析 n (②)T.=2(0n+1 【难度】0.85 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】(1)运用取倒数法，结合等差数列的定义进行运算证明即可； (2)运用裂项相消法进行运算求解即可. 【详解】(1)因为4=2，所以4，≠0， 2a. 而aH= 4+2,则 1-4.+21,1 1-1=1 1 a1G2得到 是首项为子，公差为的等差数列6分 答案第4页，共10页 a白国得安+-小-台a月 1-111 则4n+2na+12nn*1' 得+站引是我+司 11 +入十 nn+1) 13分 16.(1)证明见解析 9 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可证明： (2)建立合适的空间直角坐标系，求出P的坐标及平面DEF的法向量，进而可求解直线 PA与平面DEF所成角的正弦值 【详解】(1)由题意知E,F分别是BC,CP的中点，所以PB∥EF 因为EFC平面DEF,PB￠平面DEF, 所以PB∥平面DEF. 6分 (2)由PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，可知AB,AC,AP两两垂直，则可以A点为坐标原点， 以AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图： D E B .oo.c.10.Roo.1-00so 所以亚-o02匹（亚（号 设平面DEF的法向量为i=(x,y,z), 答案第5页，共10页 DE.==0 2 ,令z=1,则x=2,得i=(2,0,1), D丽n=-x++2=0 1 2 2 设直线PA与平面DEF所成角为O,则sin6 i.AP 2 5 园A可 2x√55 故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为V5 15分 17. 解(1).当x=5时，y=11, 分分一义 六由函数武y23十10(x-6加， 得号+10=1，∴a=2 .4分 (2)由(1)知该商品每日的销售量)=，2，十10(x-6, x-3 ∴.商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)=(x-3) [2g+10x-6r]=2+10z-36z-6, 8分 3<x<6, f(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(xT4)(x-6). 令f(x)=0,得x=4, 当3<x<4时，f(x)>0,函数f(x)在(3,4)上单调递增； 当4<x<6时，f'(x)<0,函数f(x)在(4,6)上单调递减. .当x=4时，函数f(x)取得最大值f(4)=42, .当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的 利润最大，最大值为42元. ..15分 答案第6页，共10页 180号1 (2)①3x±√6y-3=0;②证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值 问题、根据韦达定理求参数 【分析】(1)根据已知条件得出C,a的值，进而得出a2,b2求出椭圆方程： (2)①设直线1的方程及M(:,y),N(x2,y2),联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长， 结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线AN,BM得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化间T异水解. 【详解】1)椭C手若=〔e>b~g上的点到其有袋点F0的敬大拒高为3 .c=1,a+c=3,故a=2, .a2=4,b2=d-c2=4-1=3, 椭圆C的方程为+少 43 =1;4分 (2) B ①设过点F(1,0)的直线方程为x=y+1,点M(,片)，N(x2,y2), x2,y2 联立4+方1，得(3m+4y'+6y-9=0, x=n+1 -61 -9 则y+片=3m+4,=3+4' -67 2 -9 12(m2+1） 则MW=V1+mVy+为)-4，=1+m 一4 32+4 3m2+4 3m2+4 3 又：点A(-2,0)到直线l的距离d= V1+m2 答案第7页，共10页 112(m2+1)3181+m2 令=N-方3m+4+m3m4 :√15，化简整理得 5m+12m228三3m-205m4=0,>0,r解得m=士6 3 .直线l的方程为3x士√6y-3=0.9分 ②由①知A(-2,0),B(2,0),M(5,),N(x2,2), 直线My=产2-2，点线wy=中2+2， 联立直线AN,BM 刘 ，整理得+2色+2)四y+3型 x-2(x1-2)y2yy2-y2 -6m -9 由①知y+= 浙-有54小馬-6* 9 3 :.x+2_y+3y=2 +y2 21 x-2 2y+2 即2x-8=0,解得x=4, 点P在直线x=4上. 17分 答案第8页，共10页 19. 【命题立意】本题难度适中，主要考查利用导数研究函数 的单调性、函数与方程、不等式恒成立问题，考查转化与化 归思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，意在让部 分考生得分 (1)【解】由题意知函数f(x)的定义域为(0，+0). fx)≥0，.xe-a(x+lnx)-1≥0， .ehx-a(x+lnx)-l≥0. (1分) 令t三x+lnx,t∈R则e二at-1≥0对任意teR恒成立 (关键：换元，构造函数，转化成函数最值问题) （2分) 令h(x)=e-x-1,则h'(x)=e*-1. 令h'(x)>0,得x>0;令h'(x)<0,得x<0. （3分) .函数h(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增. :h(x)≥h(0)=0,即e≥x+L,当且仅当x50时，等号成文 (难点：利用最值证明不等式恒成立)， (4分) 当0时，a≤1，由1+1-1-1，得a≤1 一，由 (5分) t (6分) 当t=0时，不等式恒成立.， 综上，实数a的值为1. 9-31说后义壁(7分) (2)【证明】由(1)知，当a=1时，xe*-x-lnx-1≥0， 即xe≥x+lnx+1,.x2e≥x2+ln(关键：x>0).(8分) 要证明xe*>2+lnx 2i-em父，只需证明tn+x(2± X 2(1-sin x) -2(1-sin) 提示：对xe>2+lnx 两边同 1,年+ 乘x,结合xe≥x2+xlnx+x进行放缩 答案第9页，共10页 即证x2-x+2-2sinx>0.4角瓢头米【意立余（10分) 令g(x)=x2-x+2-2sinx,x>0,的量学7种，用 g'(x)=2x-1-2cos x,x>0. （12分) 易知当0<x≤1时，g(x)单调递增，面1 六g'(≤g'(1)=1-2os1<1-2as号-0， 01, ∴g(x)在(0,1]上单调递减，g(x)≥g(1)=2-2sin1>0. 意女想金 (14分) 当x>1时，x2-x+2>2>2sinx,.g(x)>0, (15分) 故对任意x∈(0，+∞)，都有g(x)>0, ..x2+xIn x+x>x(2+In x)-2(1-sin x). (16分) 故原不等式成立. (17分) 答案第10页，共10页邵东三中2025年下学期高二期末考试卷 数学 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合愿目要求的. 1.下列求导运算正确的是（) A.(sinl)'=cos1 B.(x)'=3x4 C..(e)'=xe D.(cosx)'=-sinx 2.已知直线：x+3y-1=0,Z2:x-(a-4)y+1=0,且4⊥h,则a=() A.6 B.6 C.1或3 D.-1或-3 8.圆(x-2)2+(y-2)2=2与圆x2+y2=1的位置关系是( ) A.相切 B。相交 C.外离 D.内含 4.如图，M,N分别是四面体OABC的梭OA,BC的中点，点P在MN上且满足，M示= 诺0A=a,O丽=-方，0C=,则与O丽相答的向量是() L+号5+ B.号+5+ 66 c.a++ 63 n.君+5+ 5,已知图C:号+上-1的左、右焦点为R、B,P为C上任意一点（不含顶点，则△P明5 43 的周长为( A.4 B.6 C.5 D.4+万 8已知责列a,}是等比数列，激列色}是等差嫩列，若a44,=君A+4+4=2， 则s如色+也的值为《 a204 k9 B. c 号 7.若曲线y=e+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=血(x+1)+a的切线，则a= A.2 B.-h2 C.In2 D.-2 8.函数/似=i加x+号i血2x+s血3xxe0,5的值域为 1 ( ) 2 3 B.(0,3 Cg3+45, D+4吗 二、多选愿：本题共3小题，年小思6分，共18分，在年小题给出的四个选项中，有多项 符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知抛物线C:y2=8x的焦点为B点P(0,0)在抛物线C上则（) A.抛物线C的准线方程为X=一2 B.P的坐标为(4,0) C.若。=4，则PF=4 D.PF R4 10如图所示，正方体ABCD-AB,CD,的楼长为，线段B,D上有两个动点E,F 且F=三，则下列结论中正确的是 2 AAC⊥BE BEF∥平面ABCD C异面直线AE,BF所成的角为定值 D三棱锥A-BEF的体积为定值 11.设函数f(x)=x-nx-1,f(x)+g(x)=2x,正项数列{xn}满足： 4=1,an+1=g(an)下列说法正确的是 () Afx)的最小值为0 B.{an}不是单调函数 C.an≤2- D2+)<1 1e2 a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已奥点6,4在双线C号-茶=16>0b>0)的一条葡近上则网的青心 率为 13在平行六面体ABCD-AB,CD,中，底面ABCD为菱形，且AC和BD相交 于点Q已知4C-280=号，00=1在平面C内，县4+8C-2V5求二面角 D一AC-B的余弦值的最大值 14.高斯被誉为“数学王子”，用他名字定义的函数f(x)=[x)([]表示不超过x的最大 整数)称为斯西数已知在函数g(x)= [血(x+1),x20 (x+2b),x<0的图像上存在四个点 么，B,C,D构成一个以原点为对麻中心的平行四边形，则[b]山÷一 四、解答愿：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的的文字说明、正明过程及骤 A年成(13分)已知数列{a}中，4=2，a=。 2an +2 (1)证明： 是等差数列； a (2)求数列 4(n+1)】 的前n项和Tn. 16.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°， D,B,F分别是按AB,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2. (I)证明：PB∥平面DEF; (2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值. 17.(15分)春节是中国民间最隆重的最富有转色的传统节日之一，一般从腊八或者小年 开始，到元宵节都叫过年。在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，火某镇的 某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量y(千克) 与销售价格x(元/千克)满足关系式，y=a,+10(x-6}其中3<x<6,口是常量。 x-3 已知销售价格为5元/千克时，年日可销售出该商品11千克 (1)求实数a的值： (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售该商品所 获得的利润最大，并求出最大值。 1总。G7分)已知满圆C:手+卡=1a>b>0)上的点到其右焦点F0的大 离为3. (1)求椭圆C的方程， (2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,过点F的直线1与椭圆交于M,N两点（异于 A,B).①诺△AN的面积为√5，求直线1的方程； ②诺直线AN与直线BM交于点P,证明：点P在定直线上， 19.(17分)已知顾藏f)=e2-a-al血x+1 (1)若f(x)≥0，求实数a的值， (2)证明：e>2+1nx-20-sim