北京市北京中学2024-2025学年高一英才下学期期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中质量调研试题 高一英才 数学 命题人：田佳 审题人：阎树森 常丽 李智峥 齐青华 杨明英 班级________ 姓名________ 成绩________ （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在平行四边形ABCD中，（  ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 中内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为 A. 1 B. C. 2 D. 4 5. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 在，若，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 8. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的棱长为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 10. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 11. 如果向量，共线，则等于________． 12. 已知，，，则_____________. 13. 在正四面体A-BCD中，二面角A-BC-D的余弦值是_______ . 14. 在中，，，． （1）若，则________； （2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个． 15. 在棱长为的正方体中，点P是底面内的动点，给出下列四个结论： ①的最小值为； ②的最小值为； ③的最大值为； ④的最小值为． 其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知平面向量满足，且． （1）求向量的夹角； （2）若，求实数的值． 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，，求证下列问题． （1）平面； （2）． 18. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求三角形ABD的面积． 19. 在中， （1）求c的值； （2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 21. 若集合，其中为非空集合，，则称集合为集合A的一个n划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由； ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值． （3）设集合，对于集合A的任意一个3划分，证明：存在，存在，使得． 2024—2025学年度第二学期期中质量调研试题 高一英才 数学 命题人：田佳 审题人：阎树森 常丽 李智峥 齐青华 杨明英 班级________ 姓名________ 成绩________ （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1）； （2）﹒ 【17题答案】 【答案】（1）因为分别为的中点，所以， 在直三棱柱中，，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，为的中点，所以. 因为三棱柱是直棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【21题答案】 【答案】（1） （2）①可能成立，举例如下：，； ②可能成立，举例如下：，； ③可能成立，举例如下：，； ④不可能成立，证明如下：假设④成立，不妨设中元素的最大值为S，中元素的最小值为t，由题可知：s<t，所以， 因为s为中元素的最大值，所以， 因为t为中元素的最小值，所以， 因为，所以， 这与矛盾， 所以假设不成立，即④不可能成立； （3）证明：由于集合A中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素， 设且， 假设对任意，对任意，都有， 那么， 又因为， 所以， 则，中必有一个集合至少包含中的3个元素， 不妨设这3个元素为， 由假设可知：， 对任意，存在， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立， 所以存在，存在，使得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $