河南郑州市第八十二中学2025-2026学年上学期期末评价九年级数学学科

2025--2026学年上学期期末评价 九年级数学学科 时间：100分钟，满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分。) 1.一个圆柱体钢块，从正中间挖去一个长方体得到的零件毛坯的俯视图如图，其主视图是 () A. c 2.下列条件中，能判定四边形是菱形的是() A.对角线互相垂直且相等的四边形 B.对角线互相垂直的四边形 C.对角线相等的平行四边形 D.对角线互相平分且垂直的四边形 3.如图，点A是半径为5的⊙0上任意一点，以点A为圆心，OA为半径画弧，交⊙0于点B, 以点B为圆心，OA为半径画弧交⊙O于点C,同上述作图方法逆时针作出点D,E,F,依次 连接A→B→C→D→E→F→A,则这个多边形的内角和度数为() A.720° B.540° C.120° D.60° 第1题图 第3题图 第5题图 4.在盒子里放有三张分别写有整式a+1,a+2,2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两 张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是() A号 B号 c君 D 5.如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门 所在圆的圆心，若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为() A.1.25m B.1.3m C.1.4m D.1.45m 6.在同一直角坐标系中，函数y=ax2+b与y=ax+b(ab≠0)的图象大致是() D 第1页，共4页 7.己知点A(-2,y),B(-1,y2),C(3,y)在反比例函数y=k<0)的图象上，则y1,y2: y3的大小关系是() A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 8.已知二次函数y=一x2+bx+c的顶点为(1,5)，那么关于x的一元二次方程-x2+bx+ c-4=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 9.如图，A是反比例函数y=图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y=-的图 象于点B,点C在x轴上，且S△ABc=2,则k的值为) A.7 B.-7 C.-5 D.5 第9题图 第10题图 10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0) 之间，顶点P的坐标为(1，n).下列结论：①abc<0;②对于任意实数m,都有am2+bm-a- b≥0；③3b<2C;④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B,且△PAB是等边三角形， 则m=一吕其中所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 山若影=子则=一· 12.某城市积极响应“碳中和”目标，大力推广太阳能光伏发电项目，该市太阳能光伏发电 量从2022年的500万千瓦时增长到2024年的720万千瓦时，设该市太阳能光伏发电量 的年平均增长率为x,则可列方程为、 13.在△ABC中，∠ABC=90°，0是AB的中点，连接C0.若sin-BAC=子则cos∠B0C的值 为 14.如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得矩形BEFG,若AB=3,BC=2,则图中阴 影部分的面积为 第2页，共4页 OB\ 第14题图 第15题图 15.如图，抛物线y=x2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对 称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3.当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 三、解答题（共8道题，共75分） 16.(8分)(1)计算：4sin60°-√z+(V3-1)°：(2)化简(x+1)÷(1+) 17.(9分)某单位食堂为全体960名职工提供了A,B,C,D四种套餐，为了解职工对这 四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一 种)”问卷调查.根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为，扇形统计图中“C”对应扇形的圆 心角的大小为： (2)依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数； (3)现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率， 调查结果的条形统计图 人数 调查结果的扇形统计图 84 72 0 25% 24 24 B A BCD套餐 18.(9分)如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC,交⊙O 于点D,过点D作DE//BC交AC的延长线于点E. (1)依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）： (2)判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系； (3)若AB=10,BC=8,求CE的长 19.(9分)如图1，三元塔坐落于德城东南方风景秀丽的白沙山上，是广东省重点文物保 护单位.如图2，数学兴趣小组为测量三元塔CD的高度，先在A处测得塔顶C的仰角为45°， 再向塔的方向直行24米到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，求三元塔CD的高度.（参考数 第3页，共4页 据：√2≈1.414，V3≈1.732，结果精确到1m) 445°60 B 图1 图2 20.(9分)某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月 内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x元 (1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？ (2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润 是多少元？ 21.（10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(化≠0)的图象与反比例函 数y2=婴(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3,5),B(a,-3)两点， 与x轴交于点C, (1)求该反比例函数和一次函数的解析式： (2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标： (3)直接写出当y1>y2时，x的取值范围. 22.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴的 负半轴交于点C,且0C=OA. (1)求二次函数的表达式：(2)若当m≤x≤m+3时，函数的最小值为5，求m的值， 23(11分).己知在△ABC中，AB=AC,∠BAC=,直线经过点A(不经过点B或点C), 点C关于直线的对称点为点D,连接BD,CD 3 (1)如图1，直接写出∠BDC的度数（用含a的式子表示）为 (2)如图2，当a=60时，过点D作BD的垂线与直线交于点E,求证：AE=BD: (3)如图3，当a=90°时，记直线与CD的交点为F,连接BF将直线绕点A旋转，当线段BF 的长取得最大值时，求tanFBC的值. 第4页，共4页【答案】 1.A 2.D 3.A4.B5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.D 11.3 12.500(1+x)2=720 13.v6 3 9 14. 15.(4.1) 16解：)原武=4×5-23+1 =2V3-2V3+1 =1; ②原式=e+)÷+为 =(+1)÷+1 =(x+1). x+1 =x, 17.解：(1)60,108； 2估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×336（人）」 (3)画树状图为： 开始 甲 乙 丙 丁 个 个 个N 乙丙丁 甲丙丁 甲乙丁甲乙丙 第1页，共11页 共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6， ·甲被选到的概率为22· 61 18.解：(1)如图即为补全的图形 D D (2)直线DE是⊙O的切线. 理由如下： 证明：连结OD,交BC于F. .·AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, ..CD-BD, .OD⊥BC于F, DE//BC, ∴.OD⊥DE于D, .直线DE是©O的切线： (3).AB是©O的直径， .∠ACB=90°. ,AB=10,BC=8, .AC=6, ·.∠BFO=∠ACB=90°， .OD∥AC, O是AB中点， 00=4B=5, 第2页，共11页 .DF=2, .'DE∥BC,OD∥AC, .四边形CFDE是平行四边形. ,∠ODE=90°， .平行四边形CFDE是矩形， .CE DF=2. 答：CE的长为2. 19.解：三元塔CD的高度约为57米.（过程略） 20.解：(1)设T恤的销售单价提高x元， 由题意列方程得：(x+40-30)(300-10.x)=3360, 解得：x=2或x2=18, ·要尽可能减少库存， .2=18不合题意，应舍去 .T恤的销售单价应提高2元， 答：T恤的销售单价应提高2元： (2)设利润为M元，由题意可得： M=(x+40-30)(300-10.x), =-10x2+200.x+3000, =-10(,x-10)2+4000, ,当x=10时，1最大值=4000元， .销售单价：40+10=50（元）， 答：当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元. 21.解：a把46.列代入2=m≠0，可得m=3×5=15, 15 反比例函数的解析式为2= 把点B(a,-3)代入，可得a=-5, .B(-5,-3). 把A3,5),B(-5.-3)代入=r+b,可得{5+b-3: 3k+b=5 解得{6 第3页，共11页 .一次函数的解析式为少1=x+2: (2)一次函数的解析式为1=x+2,令x=0,则y=2, .一次函数与轴的交点为P(0,2), 当P,B,C共线时时，PB一PC=BC最大，P即为所求， D 令y=0,则x=-2, .C(-2.0), .BC=V(-5+2)2+32=3V2. (3)当1>2时，-5<x<0或x>3. 22.【小题1】 y=x2+2.x-3 【小题2】 2或-7 23.(1)证明：20 (2)如图2，连接CE, D 图2 .·∠BAC=60°，AB=AC .△ABC是等边三角形 .BC=AC,∠ACB=60°， 第4页，共11页 :∠BDC=20 1 ,∠BDC=30°， .BD⊥DE, .∠CDE=60°， ,点C关于直线1的对称点为点D, ,∴.DE=CE,且∠CDE=60 .△CDE是等边三角形， .CD=CE=DE,∠DCE=60°=∠ACB, .∠BCD=∠ACE,且AC=BC',CD=CE, .∴.△BCD≌△ACE(SAS) .BD=AE (3)如图3，取AC的中点O,连接OB,OF,BF, 图3 ·在△BOF中，BO+OF≥BF ,.当点O,点B,点F三点共线时，BF最长， 如图，过点O作OH⊥BC, 0 A HC ·,∠BAC=90°，AB=AC, .BC=V2AC,∠ACB=45°，且OH⊥BC, ∴.∠COH=∠HC0O=45°， ..OH HC, ∴.OC=2HC, ,·点O是AC中点， .∴.AC=2V2HC, 第5页，共11页 ..BC=4HC, .BH=BC-HC=3HC tan∠FBC= OH HC 1 BH 3HC3 【解析】 1.略 2.【分析】 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定是解答本题的关键. 利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可. 【解答】 解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误； B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误： C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，此选项错误： D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确： 故选：D 3.解：由题意可得六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， 所以六边形的内角和为(6-2)×180°=720°， 故选：A 根据题意得出六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，再根据多边形内角和的计算公式进行计算即可. 本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算公式是正确解答的关键， 4.略 OB心OA=OB,D为AB的中点，CD⊥AB,AD=AB=0.5m.设 半径为rm,则OA=OC=rm,OD=(2.5-r)m.在Rt△ADO中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2, 即2=0.52+(2.5-)2，解得r=1.3,∴.拱门所在圆的半径为1.3m. 6.解：A、由抛物线可知，a>0,由直线可知，a<0,故本选项错误： B、由抛物线可知a<0,由直线可知a>0,故本选项错误； C、由抛物线可知，a>0,b>0,由直线可知，a>0,b>0,故本选项正确： D、由抛物线可知，a<0,b<0,由直线可知，a<0,b<0,但抛物线顶点不在直线上，故本选项错 误. 故选：C. 第6页，共11页 根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断. 本题考查了一次函数和二次函数的图象.解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质， 7.解：在反比例函数)=上中k<0,反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，)随的增大 而增大， C(3)在第四象限， .g<0, .-2<-1, .0<1<2, ,,3<1<2, 故选：C. 根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可· 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键。 8.略 9.略 10.【点拨】，二次函数y=a.x2+br+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， .a<0,b>0,c>0, .abc<0,故①符合题意 .顶点P的坐标为(1，n), .当x=1时，n=a+b+c最大，当x=m时，y=am2+bm+c, .a+b+c≥am2+bm+c, .∴.am2+bm-a-b≤0，故②不符合题意 .二次函数y=a.2+br+c的部分图象与.r轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，对称轴为直线 x=1, b .20 =1,a-b+c>0, a=-, b-b+c>0, .3b<2c,故③符合题意如图，由题可知，△PAB为等边三角形，PH⊥AB, .PA=AB=PB,HA=HB,∠PAB=60°， ,.PH=tn60°·AH, 记A,B的横坐标分别为1,2， 第7页，共11页 .n=V3(:r2-1)=V3(1-x1), .2n=V3(x2-1), 当以=r2+bm+c=0,则十=b=2,2= a 4c .2-1=V1+2-4知2=V4- .n= ,a-c_,3a-3 V3a2-3ac 2'V a =1Va ·.·n=a+b+c=c-u, V3a2 -3ac .∴.c-a= a ∴.a(a-c)=3, n=V3aa=Q=3,故④符合思意故选D. y P A 210H宁 1x=1 11解："-2 x-3 ,-=-=1-4=1- 2321 3=33=3 1 故答案为：3 利用比例的性质，将一拆分为1一兰再代入已知条件求解。 本题考查了比例的性质，熟知比例的分比性质是解题的关键. 12.略 13.略 14.解：如图，连接BD,BF. D 第8页，共11页 由题意S阴=S原形BDF+SABEF-SABDC--S形3CE =S扁形BDF-S形BCE 90.π·(V22+32)290.元·22 360 360 9 故答案为不。 如图，连接BD,BF.根据S阴=S扇形BDF十S△BEF-S△BDCS扇形BCE=S扇形BDF-S扇形BCE计算即可. 本题考查扇形的面积，矩形的面积，旋转变换等知识，解题的关键是学会把不规则图形的面积转化为规则 图形的面积，属于中考常考题型， 15.如图，作A点关于对称轴的对称点A',A'向下平移3个单位，得到A",连接A"B,交对称轴于点C, 此时AD+BC的值最小，AD+BC=A"B. 在y=22-4+6中，令r=0,得y=6,点40.6， 令9=0，则-业+6=0，解得上=2或r=6,六点B2.0. -4 “抛物线的对称轴为直线”= 1=4 22 ,.A'(8.6),.A"(8.3). 设直线A"B的表达式为y=r+b, 8k+b=3. 1 k= 把A”,B的坐标代入得 2 2k+b=0. 解得 b=-1 1 ∴.直线A"B的表达式为y=-1. 2 当x=4时，y=1,.C(4,1). 16.本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则. (1)先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得； (2)先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可得 第9页，共11页 17.解：(1)在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%=60（人）， 则最喜欢C套餐的人数为240-(60+84+24)=72（人）， :扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360×210 72 =108°， 故答案为：60,108； (2)见答案： (3)见答案. (1)用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数：再由四种套餐人数之和等于被调 查的人数求出C对应人数，再用360°乘以最喜欢C套餐人数所占比例即可得： (2)用总人数乘以样本中最喜欢B套餐的人数所占比例即可得： (3)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得答案， 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或 B的结果数目，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图. 18.(1)依据题意，即可补全图形： (2)根据切线的判定定理判断并证明：直线DE与©O的位置关系即可； (3)根据AB=10,BC=8,根据勾股定理求出AC的长，根据三角形中位线定理求出OF的长，然后证 明平行四边形CFDE是矩形，最后根据OD-OF即可求CE的长. 本题考查了作图一复杂作图、圆周角定理、直线和圆的位置关系、三角形外接圆与外心，解决本题的关键 是根据语句准确画图并注明. 19.略 20.(1)设销售单价提高x元，根据题意列出方程求解即可： (2)设销售利润为/元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题. 本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润=单件利润×销售量列出二次函数解 析式. 21.本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点 的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键， (1)利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据一次函数1=x+2,求得与轴的交点P,此交点即为所求： (3)根据直线在反比例函数图象的上方，找到x的取值范围 第10页，共11页