广东韶关市2025-2026学年高二第一学期2月期末考试数学试题

2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学 全卷满分150分，时间120分钟. 2026.2 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在 答题卡上。 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在 本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。 1.在正项等比数列{an}中，若a24=9,则4=（) .A.9 B.6 C.3 D.81 2.已知向量a=(3,1,-2),向量6=(-6，-2，m),若a∥6，则实数m=（) A.10 B.4 C.-4 D.-10 3.若直线：mx+(1-m)y-3=0与直线l2:(m-1)x+(2m+1)y-2=0垂直，则m的值为( A.1 B.-1 C.1 D.±2 4,双曲线￡-发=1@>0，b>0的离心率为5，则其渐近线方程为() A.y=+2x B.y=t√2x C.y=5x D.y 一0 5.已知向量a=(21,2),=(1,0,1),则向量a在向量i上的投影向量c=() A.（4,2,4) B c D.(（2,0,2） 数学试题 第1页，共5页 ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 6。如图，二面角a-l-B的大小为，点A,B分别在半平面a,B内，AC11于点C, BD⊥1于点D.若AC=5,BD=6,CD=√33，则AB=() A.V94 B.7 C.8 D、9 7.若曲线y=√4-x2与直线y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值范围为（) c别 (制 8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字 命名的函数一高斯函数，其表达式为f(x)=[x],其中[x]表示不超过x的最大整数，已知 数列{a,}满足4=2,42=6，a2+5a,=6a1,若bn=[1og5a],Sn为数列 (1013的 前n项和，则[S2s]=（) A.1014 B.1012 C.1011 D.1013 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分 9.若数列{a}为等差数列，且42=11,4=5，则下列说法正确的是() A.an=15-2n B.数列{an}单调递增 C.-20是数列{4n}中的项 D.数列{an}前7项和最大 10.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,M(,y),N(x2,y2)为抛物线上不同的两点，则下 列说法正确的是() A.抛物线C的焦点到准线的距离为2 B.若MN的中点横坐标为4，则直线MN的斜率为1 C.若M、F、N三点共线，则以MN为直径的圆一定与抛物线C的准线相切 数学试题 第2页，共5页 ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ D.直线MN的方程为(x+x2）x-4y-xx2=0 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD,中，E,F分别为棱BC,CD,的中点，G, H分别为线段AF,D,E上的动点，则() A.点B到直线EF的距离为4 B、三棱锥A-ABH体积的最小值为2 C.存在点G,H,使得GH⊥AC D.当GHII平面BCCB时，线段GH的最小值为√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若方程。+，少=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m取值范围是 m-13-m 13.北京大兴国际机场航站楼是目前全球最大的单体航站楼，其俯瞰轮廓由多条优美的曲 线呈放射状构成若选取其中部分轮廓进行数学建模，在适当坐标系下其曲线可近似为一条 双曲线，方程可设为兰-片=1a>0,b>0.已知该双曲线的左、右焦点分别为耳，乃， a262 若航站楼某一重要结构点P位于以F为直径的圆与该双曲线右支的一个交点上，且满足 PR+PR-以则该双曲线的离心率为一 14.如图，在第一象限，圆Cn(n∈N)均与直线y=0和y=V3x相切，且圆Cn与圆Cm1 外切，设第n个圆的半径为rn,面积为Sn,若巧=1， 则, ,(用含有n的式子表示) "C 数学试题 第3页，共5页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 w流，一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 已知棱长为4的正方体ABCD-4B,CD,中，DE=DD,G,F分别为AB,BD的 中点 (1)求证：EF⊥A,C: (2)求直线EF和A,G所成角的余弦值， 16.(本题满分15分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且点(an,Sn)在函数f(x)=2x-2的图象上 (1)求数列{a,}的通项公式 (2)设bn=na,求数列毡n}的前n项和T. 7.(本题满分15分) 已知圆C过点E(-1,-1),F(1,-3),且圆心在直线y=2x-1上 (1)求圆C的标准方程： (2)若过点2(1,1)的直线I交圆C于A,B两点，且△4BC的面积为2，求直线1的方程. 试题 第4页，共5页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 18.(本题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为平行四边形，E为 侧棱PD上的动点（不包含端点P,D),且PA=5,MB=1,AD=2AB,∠ABC=号 (1)若点E为侧棱PD的中点，则： )证明：PB/1平面ACE: ()求点B到平面ACE的距离； (2)若平面PAC与平面4CB夹角的余弦值为23四 13 B 求直线PB与平面ACE所成角的正弦值， 19.（本题满分17分) 已知平面直角坐标系中，动点M(x,y)分别与两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之积 为 (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)已知点F(1,0),F(-1,0),且点P(x,%)为轨迹C在第一象限的点，点P关于原 点的对称点为2 D设点2到直线PR,PF的距离分别为4,4，求是的取值范围： ()设轨迹C在P(,%)处的切线为1，射线OF交1于点T.求证：∠FTP=∠TPF. 学试题 第5页，共5页 ▣ ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效百醛2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学参考答案及评分标雅 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 5 6 7 名 答案 B C 对 D C D B 1.C【解】由a,4=9可得a2=9,由于an>0,所以a=3. 2.B【解】因为a/5,日GL2.6=(62m小，所以百子解得m4故流：R 3.C【解】若直线：x+(1-m)y-3=0与直线L2:(-1)x+(2+1)y-20垂直， 则(-1)+(（1-m)(2+1)=0,解得m=±1.故选：C. 4.A【解1因为双前线手茶-a>0b>0的疼心车为5，即E=a 由b=c:-心=4d2→b=2a,所以渐近线方程为y=±bx=士2x.故选：A a 5.D【解】所以向量在向聚5上的投影向零-cm(a司合6-五(203，放速：D 6.C【解】解法一：在B内过点C作B'C⊥I,且B'C=BD,连接BB,BA, 所以∠ACB'为二面角&-1-B的平面角 a D 易知CD⊥平面AB'C,而四边形B'BDC为矩形，所以BB/ICD, 故BB⊥平面ABC,因而BB⊥AB, AB-4C+BC-24C-BCcs胥-5，ABhB-CD-513-A-8: 解法：南41.BD1,得cos(C网时6o号号：Ca,C0-0,历cD-0, 因为AB=AC+CD+DB,所以AB”=-AC+CD+DB”+2ACDB. 所以AB=5+33+6+2x5×6×c0s2T=64,AB=8故选：C 3 7.D【解】由题意得，直线y=(x-2)+4可化为y-4=k(x-2),可得直线过 定点D(2,4),将曲线y=√4-x2化为x2+y2=4(y20),则曲线表示以原点为 圆心，半径为2，且位于x轴上方的半圆，如图所示，当直线过点C(-2,0)时， 答案第1页，共11页 直线I与曲线有两个不同的交点，此时k。=04 -2-2 =1,当直线过点D且与半圆相切于A点时，直线与曲线 4-2 2,解得子即 3 只有一个交点，由 V1+k2 曲线y=VA-与直线y=kx-2)+4有两个交点，结合图形，可得3<k≤1， 所以实数k的取值范围是 1枚选：D 8.B【解】由a+2+5a.=6a1,得a4+2-a+1=5(a+1-an),又4-4=4， 所以数列{和1-a}是以4为首项，5为公比的等比数列，则41-a.=4×5-, 所以4-4=4,4-4=4×5,4-4=4×52，，a1-4=4×5，将上述1个式子相加得： a1-a=40+5+5++5=4x55-1,即a1=5”+1 1-5 因为5"<5”+1<5×5”，所以log,5”<log(5"+1)<log,(5x5"),即n<log(5+1)<n+1, 1013=1013=101321》 所以6，-og,a]=[e,5+]-=n,故，b,n0+ `nn+1 1 2025 =1013× =1012.5 2026 2026 则：[S2os]=1012,故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分 题号 0 10 11 答案 AD ACD AC 9.AD【解】因为数列{a}为等差数列，且a2=11,a=5,则 a+d=11 4+4d=5'解得g=13,d=-2, 对于A,4。=13+(-1)×(2)=-21+15,故A正确： 对于B,因为d<0,所以数列{a}单调递减，故B错误： 对于C,由-20=-21+15，得以=eN,放C错误： 对于D,由数列通项公式4.=15-2n可知，前7项均为正数，4=-1，所以前7项和最大，故D正确. 答案第2页，共11页 故选：AD 10.ACD【解】对于A,抛物线C:x2=4y的焦点坐标为(0,1)，准线方程为y=-1, 故抛物线C的焦点到准线的距离为2，故A正确： x x2 对于B,直线W的斜率k,=当业-44=当+3 -x2x-x2 4 当MN的中点横坐标为4，有飞+x,=8,则直线MN的斜率为8=2，故B错误： M H 对于C,分别过M,N两点作MM'⊥l、N⊥l,垂足分别为M,N, 被孩8的中点为，作m1,垂足为，测则=aN_N 2 2 故以为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故C正确. 对于D,由k-+5得直线MN的方程为y-y=+(x-x), 4 4 即y-士=当+K-X),化简得(s+)x-4y-5=0,故D正确：故选：ACD. 44 11.AC【解】以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,2,0),A(2,0,2),B(2,2,2),D(0,0,2),E(1,2,0),F(0,1,2) 对于A,BF=(-2,-1,0),EF=（-1,-1,2)所以点B到直线EF的距离 对于B,因为V4-AH=V-4B,△AAB的面积为定值， 所以当点H到平面AAB的距离最短时，三棱锥A-ABH的体积最小， 显然当点H与点E重合时，点H到平面AAB的距离最短，则最短距离为BE=1, 所以三横红4-A阴体积的胺小值为8eB8-片行221=号放B错误： 32 对于C,AF=（-2,1,0),DE=(1,2,-2), 设AG=4F=(（21,1,0),DH=DE=(,24,-2m),元，u∈[0,1]， 则G(2-2元，，2)，H(4,2μ，2-2)，所以GH=(-2+22,2-,-2),AC=(-2,2,-2), 答案第3页，共11页 若GH⊥AC,则GE.AC=-2(-2+2)+2(2-元)H4=0, 即u-32+2-0,则-4=号 又，ueQ小，存在满足2-=号的解，故C正确 对于D,因为DC⊥平面BCCB,所以平面BCCB的一个法向量为i=(0,1,O), 若GH∥平面BCCB,则G五.m=0,且G班=(-2+22,2-元，-2)，则2u-元=0，即1=2， 所以6哑-5a-2a-2).o 所以Ga=V5u-2'+(-2m=√29t-20u+4, 当u=8.网5 16_4W29 t5,故D错误；故选：AC, 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12(2到：度写成2<m<3)1日49：4g-) 7 12.【解】由题设m-1>3-m>0,则2<m<3.故答案为：2<m<3 13.【解】如图，P点双曲线右支上，则P-PF=2a, 因为Pg+P明l=k=c,所以P-c+aPg-子-a, 因为点P在以FE为直径的圆上，所以△PE,是直角三角形， 时pf-f,任可任对-女，化有6，所以离*8台-9 12 16 a 7 14.【解】设圆Cn与x轴的切点为D.,连接C,D、C,D2,过C1作CE⊥C,D,于点E,记直线y=0和y=√5x 的夹角为e,则ma-5,结合ae0引可知a=骨在，Cc,B巾，∠CCg=号石放CC2C,4, 31 因为圆C与圆C外切，且它们都与x轴相切，所以CC2=+,, C.BC.D:H-CD =n-n 可得5+r=2(5-),整理得2=3r C E 若r1=1,则r2=3r1=3,可得圆C1的面积S1=u2=元， 答案第4页，共11页 由点=3，可知 IIn-1 所以 1=色出2=9，可得8，}构成公比为9的等比数列，首项S=元 S 所以∑S=元+9元+92π+…+9-π= 1-9）9-放答案为：59- 1-9 8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解】(1)解法一：证明：如图，以A为原点，分别以AB,AD,AA为x轴，y轴，z轴，建立空间直 角坐标系A-xz, 1分 则A1(0,0,4),E(0,4,1),F(2,2,0),C(4,4,4),2分 .EF=(2,-2,-10,A,C=(4,4,0).3分 G Ef.AC=8-8=04分 .EF LAC15分 解法二：连接B,D,在正方体ABCD-AB,CD中有： AC1LBD1DD⊥平面AB,CD11分 G :ACc平面4B,CD1 B .DD⊥AC 2分 又：B1DODD=D,BD,DD1C平面BDDB 3分 .AC1⊥平面BDDB 4分 又：EFC平面BDDB∴.AC1⊥EF 5分 (2)由(1)可得.EF=(2,-2,-1),A(0,0,4),G(2,0,0)..6分 .AG=(2,0,-4). .7分 .EF.AG=4+4=8.… 8分 Ef=V22+←2y+(1)2=3,4G=V22+02+(-4=25.10分 答案第5页，共11页 .cos(EF,AG〉 EF.AG 84V5 EFAG 3x2W515 12分 4v5 故直线EF和AG所成角的余弦值为 ….13分 15 16.【解】(1)因为点(an,Sn)在函数f(x)=2x-2图象上， 所以Sn=2an-2. 1分 当n=1时，a=S1=2a-2,解得a1=2: 3分 当n≥2时，a。=S。-Sn1=(2a。-2)-(2an1-2)=2an-2an-y 即an=2an-1, 5分 所以数列{an}是首项为41=2，公比为q=2的等比数列， 6分 所以数列{a}的通项公式为a=2×2-1=2” 7分 (2)解：由an=2”,可得bn=nan=n2”, .8分 则Tm=b+b2+b3+…+bn=2+2×22+3×23++n2m, 9分 则2Tm=2×2+2×23+3×24+.…+-2m+1 10分 两式相减，可得-T=2+22+23+.+2”-n-2m1 12分 2(1-2) -7n.2n+H 13分 1-2 =(1-n)·21-2 14分 所以Tm=(n-1)2m+2. 15分 17.【解】(1)解法一：(1)由题意可得线段EF的中点坐标为(0，-2)， 直线EF的斜率kr= -3-=-1, 。。。。。。。。。 1分 1-(-1) 因此线段EF的垂直平分线的斜率为1，…2分 所以线段EF的垂直平分线方程为y+2=x-0,即y=x-2, 3分 答案第6页，共11页 y=x-2 又因为圆心在直线y=2x-1上，联立方程： y=2x-1，解得 y=-3 即圆心C(-1,-3)）4分 半径rCE=V(-1+1)2+(-3+1)2=√0+4=2， 5分 所以圆C的标准方程为(x+1)2+(y+3)2=4. 6分 解法二：设圆C方程为x2+y2十Dx十Ey十F=0,1分 1+1-D-E+F=0 把E(-1,-1),F(1,-3)两点代入得 1+9+D-3E+F=0 2分 叉因为圆心在直线y=2-1上，所以2×（号-1-号即20-2+2-0 3分 [D=2 解得E=6,5分 F=6 所以圆C方程为x2+y2+2x+6y+6=0, 即圆C的标准方程为(x+1)2+(y+3)2=4. 6分 (2)解法一：设圆心C到直线1的距离为d(0<d<2), 所以弦长|AB=2√T2-d=2V4-d。7分 由A4C的面积S-2.得：子A8d-2,即4-dxd-2:8分 两边平方整理：d(4-d)=4→d4-4d+4=0, 解得d=2,又因为0<d<2,所以d=√2.9分 ①当直线1斜率不存在时： 则直线方程为x=1,圆心到直线距离为1-（←1）上=2≠√2，舍去. .10分 ②当直线1斜率存在时： 设直线1的方程为y-1=k(x-1),即x-y-k+1=0 11分 由点到直线距离公式：4341=万，即-2+4=5， Vk2+1 Vk2+1 12分 两边平方整理：4k2-16k+16=2k2+2, 即K2-8歌+7=0，解得k=1或k=7.13分 答案第7页，共11页 当k=1时，直线方程为y-1=x-1,即x-y=0: 当k=7时，直线方程为y-1=7(x-1),即7x-y-6=0.15分 综上所述，直线1的方程为x-y=0或7x-y-6=0 解法二：因为AABC的面积S-hC2Csin乙4CB-2n∠ACB-2,7分 所以Sin∠ACB=1,8分 因为0<∠ACB<π，所以∠ACB= 2 所以AB=2√2，所以圆心C到直线1的距离为√2 9分 (注：后面解题步骤同上) 18.【解】(1)(i)如图，连接BD交AC于点F,连接EF,1分 因为四边形ABCD是平行四边形，且点F、E分别为BD和PD中点， 所以PB∥EF, 2分 因为PB正平面ACE,EFC平面ACE,4分（一个条件1分） 所以PB/1平面ACE. 5分 (i)在平行四边形ABCD中，因为AB=1,AD=2AB,∠ABC=元， 所以在△ABC中，由余弦定理可得： AC=AB+BC2-2AB.BC.COS LABC 1+4-2x1x2xcos =3, 所以AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC 6分 因为PA⊥平面ABCD,AB,ACC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC. 2A 所以AB,AC,AP两两垂直. 7分 以点A为坐标原点，AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B1,0,0),C(0,V3,0),D(-1,√3,0)，P(0,0,V3) 因为E是PD中点，所以E1,35 22’2 .8分 AC.=0 设平面ACE的法向量为i=(x,y,),则 AE.m=0 答案第8页，共11页 因为4c=(05.),AE=155), W3y=0 所以 22’2 220 令z=1,则x=√3，y=0,所以m=(√3,0,1) 9分 因为=Q0,0,所以点B到平面ACB的距离d-ABm-3-5 10分 l√42 (2)设PE=2PD,元∈(0,1)，则E(元，V52,V51-) 11分 AC.=0 设平面ACE的法向量为i=(a,b,c),则 A亚.i=0 因为AC=(0,V3,0),AE=(1,3元51-》， 12分 [V5b=0 所以 -a+V3b+51-2)c=0 令c=3,则a=31-2)，b=0,所以i=(60-),0,5).13分 设平面PAC与平面ACE的夹角为a.因为AB=(1,0,0)是平面PAC的一个法向量， 所以cosa=|cos(AB,)= 3(1-2) √51-2) 14分 1×V90-)2+322V4-61+3 由题意得 √51-)2W39 V422-62+313,解得元=3：九=-1（舍去），所以万 20 15分 设PB与平面ACE所成角为0，因为PB=1,0,-√3) 16分 所以sin0 cos(PB,)卡 12-11-√39 17分 1 26 2×,4+ 3 故直线P8与平面ACg所成角的正弦值为√V3四 26 19【解】(1)根据题意，kak=y,y x+2x-2, 2分 即4y2=-3x2+12, 3分 则动点M的轨迹C的方程为+二=1x≠士2： 5分 43 (注：缺限制条件x≠士2，扣1分.) 答案第9页，共11页 (2)(i)由椭圆对称性知四边形PQF'为平行四边形， 故SAFO=SAP阳， 即2P4=2Pr4., 6分 即有-PP_2aPA。4 一1 d,PFPF PF 7分 因为P(化，)为轨迹C在第一象限的点，则￡+上=1，，∈(Q,2) 43 所2网6g-3=5=22- ，8分 则Pe(1,2),所以1< 9分 (ii)由题知l的斜率存在，可设斜率为k,则：y-y。=(x-x。),10分 y-。=k(x-x) 由 ，消y得到(3+42)x2+8歇(-kx)x+4(%-)2-12=0,11分 43 所以△=[8k(-】°-43+4h)46-x,)-12上0， 整理得到(%-)'-(3+42)=0，即-2+kx-3-4K2=0, .12分 又尊令1，所以3-式2%+4青3-=C 整理得16k2y6+24hyx。+9x=0, 即(4+3x)=0,所以k=-3。 13分 4 又设过点P与1垂直的直线交x轴于点N,则直线PN的方程为y= 4(K-xo+y0, 令y=0,可得点N的坐标为 （子则有四-4 14分 NF1+4+x 4 又由①知，P=2-,同理可得2P1=2+ PF NF 测有时2+空4+， 15分 2 答案第10页，共11页