精品解析：河南省实验中学2025-2026学年高二上学期期末试卷数学试题

河南省实验中学2025-2026学年高二上学期期末试卷数学试题 年级 高二 科目 数学 命题人 罗洁 审题人 李士彬 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 2. 设等比数列，，是方程的两根，则的值是（ ） A. 或 B. 2或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，，且，都是负数，再由等比数列得，且，从而得解. 【详解】因为，是方程的两根， 所以，，且，都是负数， 又因为为等比数列，所以，所以， 且，所以. 故选：C 3. 若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法求解得，再根据点斜式求解即可得答案. 【详解】设，则 所以，整理得， 因为为弦的中点， 所以， 所以， 所以弦所在直线的方程为，即. 故选：A. 4. 已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果. 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 5. 已知在数列中，，，，则中的最大项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 记，整理得出的通项公式，分析当时和当时，即可得出中的最大项为. 【详解】记，由题意得， 整理可得， 得，即， 又，，所以，则是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 故中的最大项为. 故选：B 6. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用抛物线的定义将转化为，再由三角形的重心性质和点的坐标特征即可求得值. 【详解】 如图，作抛物线的准线，分别过点作，垂足为，， 设， 则（*）， 因点为的重心，则，即， 代入（*），可得， 因点在抛物线上，故，故， 依题，，解得. 故选：D. 7. 已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（ ）． A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两直线所过的定点，进而确定交点的位置，再结合圆的性质求出的最值. 【详解】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最大值为圆心加上两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最小值. 故选：A． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径作圆，交的左支于点，连接，过作，交的右支于点（在轴同侧），直线与的右支有两个不同的交点，若是等腰三角形，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长与双曲线交于点，则，，，设，可得，利用勾股定理求出，得到双曲线的方程，与直线方程联立，利用判别式与韦达定理求解． 【详解】由题知，，延长与双曲线交于点，连接，，如图所示． ，，又是等腰三角形，． 根据对称性可知，，， 设，则， ，， 在中，，． 中，，即，． 又，， 双曲线， 将代入上式，消去整理得， 解得或， 故选：D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知的三边所在的方程分别是，则的平分线所在的直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：求圆心到直线的距离，进而分析判断；对于C：分析可知两圆外切，可得，运算求解；对于D：根据到直线的距离相等运算求解，并结合斜率关系分析判断. 【详解】对于选项A：如果直线在轴、轴上的截距均为零，则直线方程为，故A错误； 对于选项B：圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为，则， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故B正确； 对于选项C：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 若圆与圆有三条公切线，可知两个圆外切，则， 可得，解得，故C正确. 对于选项D：设为的平分线上任意一点，则到直线的距离相等， 可得，整理可得或， 即所在直线为或. 又因为，，即的平分线所在的直线方程的斜率在和之间， 所以所在直线为. 故选：BCD. 10. 已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列的前100项和为10000 C. 若，则 D. 若，则的最小值为8 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用，求出，可判断选项A，C，化简，由等差数列的前项和求解，判断B；裂项相消法求和，判断D. 【详解】对于A，因为， 当时，， 当时，，符合上式， 所以，选项A正确； 对于B，根据已知，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 所以前100项和为，选项B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 由，得，解得，选项C错误； 对于D，因为， 所以， 所以 ， 解得，选项D错误. 故选：AB 11. 已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于、两点（位于第一象限），过、作直线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 若直线交轴于点，，则 C. 在点处的切线与交于点，则 D. 记，，的面积分别为，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，抛物线焦点弦的性质，导数的几何意义及三角形面积公式逐项分析判断即可. 【详解】抛物线：，焦点，准线方程. 由题意可知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 与抛物线方程联立整理得，. 设，，其中，，，， ，. 选项A： ，当时，取得最小值，为4，A正确. 选项B：设，因为，所以是线段的中点， 又，所以，所以，B错误. 选项C：因为，所以，则，即， 则抛物线在点处的切线方程为，即. 令，则，所以， 则， 所以，所以，C正确. 选项D：， ，， 则 ， ， 所以，D正确. 故选：ACD 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列前项和为，若，则______． 【答案】31 【解析】 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 13. 已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据是锐角，得到，求出的取值范围，再由求出的取值范围. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 设，，则，则， 所以，， 显然与不可能同向， 因为是锐角，所以， 则，解得或， 又，所以，又， 所以，即线段长度的取值范围为. 故答案为： 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的离心率为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义、余弦定理求出a，b的关系即可作答. 【详解】依题意，，，则，令双曲线半焦距为c， 双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，有， 在中，由余弦定理， 得，整理得，即，解得， 所以双曲线的离心率为.      故答案为： 四．解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①， 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． 【小问2详解】 将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 16. 已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设直线，，联立直线与抛物线的方程，由抛物线的性质可得弦长的值，由此可得的值，进而求出抛物线的方程. （2）设直线AC的方程，直线BD的方程，分别与抛物线联立求出，，由（1）求出，则，再由三角形的面积公式表示出与的面积之比，即可得出答案. 【小问1详解】 根据题意直线的斜率不为0， 可设直线，联立得， 设，所以， 即， 当时，，即，即， 则抛物线的方程为． 【小问2详解】 设， 直线AC的方程：，直线BD的方程：， 由，得， 所以，同理，， 所以，则， 即． 17. 如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，，、分别是线段的中点，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，推导出平面，可得出，再证明出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出平面，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【小问1详解】 连接，因为是边长为的等边三角形，是线段的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为四边形为平行四边形，， 所以四边形为菱形，故， 因为、分别是线段、的中点，所以，则， 因为，、平面，所以平面. 【小问2详解】 连接，因为，，所以为等边三角形， 因为是线段的中点，故， 因平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设， ，， 由（1）知，平面，故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面与平面夹角的大小为， 则， 令，因为，所以， 则， 因为，所以，所以， 则， 故， 即平面与平面夹角的余弦值取值范围为． 18. 设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，. （1）求，的通项公式 （2）设，数列的前项和为，求； （3）设，其中,求 【答案】（1），；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，利用等比数列的通项公式可求得的值，利用等差数列的通项公式建立有关和的方程组，解出这两个未知数，再利用等比数列和等差数列的通项公式可求得这两个数列的通项公式； （2）由，利用裂项相消法可求得； （3）求得，可得，通过分组求和以及错位相减法即可得出结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为， ，由，得，，解得，则. 由，得，解得，则； （2）， ； （3）由，其中 可得， ， 其中， 设， 则， 两式相减得 整理得， 则， ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法与错位相减法求和，考查计算能力，是一道难度较大的题目. 19. 已知为坐标原点，椭圆：左、右焦点分别为，，长半轴长为，过的直线与椭圆交于，两点，的周长为． （1）求方程： （2）若直线与交于，两点，且，求的取值范围； （3）已知点是椭圆上的动点，是否存在定圆：，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一个交点），总满足？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，半径为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据长半轴长及焦点三角形周长求出，，进而求出，即可得到椭圆方程. （2）设出直线方程，与椭圆联立，得到两根之和与两根之积，结合数量积的坐标表示求解即可，同时求出斜率不存在时的值. （3）求出点到直线的距离，假设满足条件的圆存在，设出圆的方程，得到圆心到直线的距离.设出直线方程与椭圆方程联立，得到两根之和与两根之积，求出，得到，结合对称性求解验证即可. 【小问1详解】 因为椭圆的长半轴长为，所以， 因为，分别为左、右焦点，且的周长为， 所以，解得，，， 所以的方程为． 【小问2详解】 ①若直线斜率不存在，则设，则， 因为，所以，又，所以， 所以； ②若直线斜率存在，设方程为，，， 联立，消去并整理可得， ， ，， 所以 ， 化简得， 所以， 当时，此时； 当时，此时， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以， 综上的取值范围为． 【小问3详解】 由（2）知，故原点到直线的距离为， 即直线恒与相切． 故假设存在这样的圆满足条件，半径为． 当直线：与相切时，圆心到直线的距离， 可得. 设，， 联立方程，可得， 所以，， 所以，即． 由椭圆的对称性，延长交椭圆于另一点，则，且， 根据对称性可得，且直线与也相切，即即为，符合题意； 当斜率不存在时，此时两条切线分别为，，显然满足题意． 故存在这样的圆满足条件，半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025-2026学年高二上学期期末试卷数学试题 年级 高二 科目 数学 命题人 罗洁 审题人 李士彬 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 设等比数列，，是方程的两根，则的值是（ ） A. 或 B. 2或 C. D. 3. 若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知在数列中，，，，则中的最大项是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为抛物线焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（ ）． A. 有最大值 B. 有最大值 C 有最小值 D. 有最小值 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径作圆，交的左支于点，连接，过作，交的右支于点（在轴同侧），直线与的右支有两个不同的交点，若是等腰三角形，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知的三边所在的方程分别是，则的平分线所在的直线方程为 10. 已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（ ） A. 数列等差数列 B. 数列的前100项和为10000 C. 若，则 D. 若，则的最小值为8 11. 已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于、两点（位于第一象限），过、作直线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 若直线交轴于点，，则 C. 在点处的切线与交于点，则 D. 记，，的面积分别为，，，则 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列的前项和为，若，则______． 13. 已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为______. 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的离心率为_________________． 四．解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 16. 已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值． 17. 如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，，、分别是线段的中点，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 18. 设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，. （1）求，的通项公式 （2）设，数列的前项和为，求； （3）设，其中,求 19. 已知为坐标原点，椭圆：左、右焦点分别为，，长半轴长为，过的直线与椭圆交于，两点，的周长为． （1）求的方程： （2）若直线与交于，两点，且，求的取值范围； （3）已知点是椭圆上的动点，是否存在定圆：，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一个交点），总满足？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $