精品解析：福建省宁德市霞浦县第六中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）． 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，可求交集，进而可得结论. 【详解】由，可得， 所以. 故的元素个数为3. 故选：B. 2. 命题“，有”的否定是 A. 有 B. 有 C. 有 D. 有 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题p：∀x＞0，＞0， 则它的否定是：∃x＞0，． 故选A． 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，结合中间值比较大小即可. 【详解】依题意，因为函数在上单调递增，所以当时，，即； 因为函数在上单调递增，所以当时，，即； 因为函数在上单调递增，所以当时，，即； 所以. 故选：B. 5. 函数在上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答. 【详解】函数定义域为， 而，且， 即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD； 而当时，，排除选项A，选项B符合要求. 故选：B 6. 在一定条件下，大气压强（单位：百帕）随海拔高度（单位：米）的变化满足如下函数关系式：为正常数）．已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕，海拔高度10000米处的大气压强为250百帕，那么，若大气压强增加1倍，则海拔高度降低（ ） A. 100米 B. 2500米 C. 5000米 D. 7500米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，设大气压强增加1倍，则海拔高度降低米，列式求解即可. 【详解】由题意可得， 所以，， 设大气压强从250百帕增加1倍到500百帕，海拔高度降低米， 则，所以， 所以，即， 所以，所以. 故选：C. 7. 已知，为任意正数，若恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由恒成立得到，再由绝对值特性得到即可求解. 【详解】因为对任意的正数，恒成立， 所以，又，所以，所以. 故选：A 8. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案. 【详解】因为在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 所以当时，， 当时，. 所以由可得：或或, 解得或或，即或. 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 的极小值为 C. 的对称中心为 D. 直线是曲线的切线 【答案】CD 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，求出极值点，画出函数的大致图象即可判断选项A与B；利用函数关于某点成中心对称的结论可判断选项C；根据导数的几何意义求出曲线的切线方程即可判断选项D. 【详解】依题意，，， 由，得或，所以函数在和上单调递增； 由，得，所以函数在上单调递减； 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值； 又； 所以函数的大致图象如图所示， 对于A，由函数的大致图象可知，只有一个零点，所以A错误； 对于B，因为函数的极小值为，所以B错误； 对于C，因为，所以，所以，所以的对称中心为，所以C正确； 对于D，由，得，所以，所以斜率为时切线的方程为，即，所以D正确. 故选：CD. 10. 已知函数及其导函数的定义域为，记．若满足，，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将两边同时求导可得，即可得A正确；由可知，显然时不是奇函数，可知B错误；由，可知C正确；易得的周期为4，由对称性求得一个周期内的函数值即可得D正确． 【详解】由，等式两边同时求导，得，即，故的图象关于点对称，故A正确； 因为，所以应满足（C为常数），当时，不是奇函数，故B错误； 因为，，可得； 所以，可得，故C正确； 由选项C可知，的周期为4，因为的图象关于点对称，又关于y轴对称，且， 所以，，，， 所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（ ） A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数 C. 双曲正切函数是增函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可得. 【详解】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数是奇函数，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出的值，再求分段函数值即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 设，则，所以， 所以，则， 所以. 故答案为：3 13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即时，恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 即，所以， 故答案为：. 14. 已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是__________．（写出一个满足条件的函数即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由得，得是上的增函数且是奇函数即可. 【详解】由， 所以是上的增函数且也是奇函数，构造， 所以满足条件， 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 16. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，利用经过的点坐标即得切线方程； （2）将不等式恒成立问题通过参变分离法，转化成，故只须求即得. 【小问1详解】 当时，， 则，，则， 曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 在上恒成立， 等价于在上恒成立，即， 令，则， 则当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故，所以，即a的取值范围为． 17. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，分类讨论，判断导数正负，即可得出结论； （2）结合（1）中分类讨论的结果，可确定函数极值点，进而列出相应不等式，求得答案. 【小问1详解】 定义域为R，， 令，解得或， ①当时， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； ②当时，则在R上单调递增； ③当时， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减． 【小问2详解】 由（1）知时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为， 所以，解得； 时，在R上单调递增，显然无极值点，不合题意； 时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为，不合题意； 综上，，即的取值范围是. 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）若函数有两个零点． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1）极小值，没有极大值； （2）（i）； （ii）证明如下： 要证，只需证， 由于，且当时，单调递增， 故而只需证明， 由于，故而只需证明． 构造， ， 当时，， 则，故在区间单调递减， 因为，所以当时，． 因为，所以，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）求导，根据极值概念求解即可； （2）（i）求导，分类讨论求出函数的单调性，从而可求出答案；（ii）要证，只需证，构造，求导，判断函数单调性后即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， ，令， 所以在上单调递增，且， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 则当时，取得极小值，没有极大值； 【小问2详解】 （i），由（1）知， 当时，，单调递减， 当时，单调递增． 若，则恒成立，没有零点，不符合题意； 若恒成立，且仅当时，，不符合题意， 若，则， 此时，， 令， ， ，故， 因此，存在，使得， 同时，， 因此，存在，使得， 综上所述，的取值范围是； （ii）略 19. 已知集合，集合B满足． （1）判断，，，中的哪些元素属于B； （2）证明：若，，则； （3）证明：若，则． 【答案】（1）， （2）证明：先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）证明：因为， 所以， 因为，所以，都是有理数， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【小问1详解】 因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）． 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 命题“，有”的否定是 A. 有 B. 有 C. 有 D. 有 3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 在一定条件下，大气压强（单位：百帕）随海拔高度（单位：米）的变化满足如下函数关系式：为正常数）．已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕，海拔高度10000米处的大气压强为250百帕，那么，若大气压强增加1倍，则海拔高度降低（ ） A. 100米 B. 2500米 C. 5000米 D. 7500米 7. 已知，为任意正数，若恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 的极小值为 C. 的对称中心为 D. 直线是曲线的切线 10. 已知函数及其导函数的定义域为，记．若满足，，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 11. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（ ） A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数 C. 双曲正切函数是增函数 D. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数是奇函数，则__________． 13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 14. 已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是__________．（写出一个满足条件的函数即可） 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 16. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 17. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）若函数有两个零点． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 19. 已知集合，集合B满足． （1）判断，，，中的哪些元素属于B； （2）证明：若，，则； （3）证明：若，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $