精品解析：陕西咸阳市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

初三第一学期期末素质调研 数学 考试时间：120分钟 满分，120分 说明：请将所有答案填写在答题纸上． 第I卷（选择题，共24分） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 2cos 30°的值等于(　　) A. 1 B. C. D. 2 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱 3. 一个扇形的圆心角为，扇形的弧长等于，则该扇形的面积等于（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 5. 如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（ ） A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 6. 关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　 　) A. B. C. D. 7. 如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 5 8 9 8 … 下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集是 C. 对于任意的常数m，一定存在 D. 若点，点，点在该函数图象上，则 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 已知，则___________． 10. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接交的延长线于点，若，，则的长为___________ 11. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为_____m． 12. 已知点在二次函数的图象上，则___________．（填“”“”或“”）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 14. 如图在中，，，．是上一动点，以为斜边向右侧作等腰，使，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（共12小题，满分78分） 15. 计算： 16. 解方程：． 17. 化简 ，然后从－1，0，1，2 中选取一个你喜欢的数作为x 的值代入求值． 18. 如图，在中，请你在线段上找一点，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，是⊙O的直径，弦与交于点，过点作交⊙O于点，若为的中点． （1）求证：； （2）连接，，若，求的度数． 20. 数学学科周开展“讲数学家故事”的活动．主持人准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面印有四位中国数学家纪念邮票的图案（分别记作A，B，C，D），卡片背面保持完全相同．将四张卡片背面朝上，洗匀，同学们从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______； （2）甲同学从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记下卡片内容后，放回，背面朝上，洗匀，然后乙同学随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 21. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）求的面积（结果保留根号）． 22. 有一块锐角三角形余料，它的边，高，现要用它裁出一个矩形工件PQMN，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在上．设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S并求S的最大值． 23. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 24. 青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长． 25. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 26. 【问题提出】 （1）如图①，内接于，过点作的切线，在上任取一点（不与点重合）连接、，则___________（填“>”“<”或“=”）； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点为边上一点，当最大时，求的值； 【问题解决】 （3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大，已知：米，米，问在OD边上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三第一学期期末素质调研 数学 考试时间：120分钟 满分，120分 说明：请将所有答案填写在答题纸上． 第I卷（选择题，共24分） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 2cos 30°的值等于(　　) A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据30°角的三角函数值代入计算即可. 详解：2cos30°=2×=． 故选C． 点睛：此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键. 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：根据主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体．故选B． 3. 一个扇形的圆心角为，扇形的弧长等于，则该扇形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再利用扇形的面积公式计算面积． 本题考查了弧长计算，扇形面积计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径为， ∵ ，，， ∴ ， 化简得 ，即， ∴ ， ∴ 扇形的面积， 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的根，方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值． 【详解】解：把代入方程得到：， 解得：， ， ， 故选：B． 5. 如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（ ） A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠ACB=∠APC=65°，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵△ABC∽△ACP， ∴∠ACB=∠APC=65°， ∵∠A=70°， ∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理． 6. 关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：当k＞0时，函数y=的图像在一三象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过一二三象限，所以选项A、C错误；当k＜0时，函数y=的图像在二四象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过二三四象限，所以选项B错误，选项D正确，故选D. 考点：1.一次函数图像；2.反比例函数的图像. 7. 如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，根据圆周角定理得到，圆内接四边形的性质，得到，结合，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是内接四边形，是的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8. 已知二次函数的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 5 8 9 8 … 下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集是 C. 对于任意的常数m，一定存在 D. 若点，点，点在该函数图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据表格中的数据，确定顶点坐标，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．解题的关键是掌握二次函数图象的对称性． 【详解】解：由表格可知：和时的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 由表格可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∵， ∴， 当时，，即：， ∴，故选项A错误； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴的解集是；故选项B错误； ∵时，函数有最大值9， ∴， ∴；故选项C正确； ∵点，点，点在该函数图象上，图象上点到对称轴的距离越远，函数值越小， 又， ∴；故选项D错误； 故选C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知比例关系设参数表示变量，代入所求分式化简． 本题考查了分式的求值，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】解：设，（）， 则 ， 所以． 故答案为：． 10. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接交的延长线于点，若，，则的长为___________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据正方形的性质，证明，解答即可． 本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：6． 11. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为_____m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，本题先表示，求得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设半径为，由题意可得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 直径． 故答案为：． 12. 已知点在二次函数的图象上，则___________．（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质；确定对称轴，理解对称性是解题的关键． 根据二次函数的图象性质，得对称轴，结合对称性判断． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为， ∵， ∴离函数对称轴距离越远则函数值越大， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． 14. 如图在中，，，．是上一动点，以为斜边向右侧作等腰，使，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为直角边向左构造以为直角的等腰直角三角形，先证明∽，得到，当取最小值时，边为最小值，当时，最小即图中，根据含30°的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】以为直角边向左构造以为直角的等腰直角三角形， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴∽， ∴， ∴当取最小值时，边为最小值， 当时，最小即图中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明∽是解题关键． 三、解答题（共12小题，满分78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的化简以及实数的混合运算．先依次计算特殊角的三角函数值、乘方、二次根式的化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解方程是解题的关键．利用公式法求解即可． 【详解】解：∵, ∴，其中， ∴ ∴， 解得，． 17. 化简 ，然后从－1，0，1，2 中选取一个你喜欢的数作为x 的值代入求值． 【答案】化简后为，当x=2时，代数式的值为2 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式=， =， =. 当x=2时，原式==2. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 18. 如图，在中，请你在线段上找一点，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点为所求， 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和三角形外角的性质来找到满足的点．本题主要考查了垂直平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：∵线段的垂直平分线与的交点为， ∴ 是的外角 故点即为所求． 19. 如图，是⊙O的直径，弦与交于点，过点作交⊙O于点，若为的中点． （1）求证：； （2）连接，，若，求的度数． 【答案】（1）证明：是直径，， ， ， ， ． （2）60° 【解析】 【分析】（1）利用同位角相等两直线平行，证明即可． （2）证明△AOD是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1） 略 （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题考查垂径定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 数学学科周开展“讲数学家故事”的活动．主持人准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面印有四位中国数学家纪念邮票的图案（分别记作A，B，C，D），卡片背面保持完全相同．将四张卡片背面朝上，洗匀，同学们从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______； （2）甲同学从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记下卡片内容后，放回，背面朝上，洗匀，然后乙同学随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是数学家刘徽邮票图案的结果有1种，结合概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果以及抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的结果，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：有A，B，C，D四张卡片， 卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中他们抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的结果共有7种， 抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 21. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）求的面积（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； 【小问2详解】 ∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 22. 有一块锐角三角形余料，它的边，高，现要用它裁出一个矩形工件PQMN，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在上．设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S并求S的最大值． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，利用矩形的面积公式得到S关于x的关系式并正确配方是解题关键．设的长度是厘米时，根据四边形为矩形，得出,进而证得，列出比例式证得与之间的函数关系式为，求出矩形面积，把，配方即可. 【详解】解：设的长度是厘米时， 四边形为矩形， ， ， ， ， 与之间的函数关系式为， 矩形面积 ， 故当的长度是6厘米时，矩形工件的面积最大，最大面积为24平方厘米 23. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【小问1详解】 解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，为的中点， 米， （米； 【小问2详解】 解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 24. 青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为 【解析】 【分析】（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由题意得第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 令，则， 解得，（舍去）， ∴起跳点P与落地点Q的水平距离的长为． 25. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：所对的弧是同弧， ， ， ，即， 为直径， ， ， ， ， ， ， 与相切． （2）． 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 26. 【问题提出】 （1）如图①，内接于，过点作的切线，在上任取一点（不与点重合）连接、，则___________（填“>”“<”或“=”）； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点为边上一点，当最大时，求的值； 【问题解决】 （3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大，已知：米，米，问在OD边上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）， 【解析】 【分析】（1）设与的交点为E，连接，根据圆周角定理，得，根据，得到，解答即可． （2）根据（1）证明可得当点E是的外接圆与直线的切点时，最大，设的外接圆圆心为点N，连接并延长交于点O，则，,过点C作于点M，，,根据余弦函数的定义，得． （3）当经过A，B的与相切于点P时，最大；连接，过点T作于点H，交于点Q，设，又，故，解答即可． 本题考查了圆的综合问题，掌握矩形的性质、切线的性质以及判定定理、含的直角三角形的性质、圆周角定理、勾股定理，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的交点为E，连接，根据圆周角定理，得， 又是的一个外角， 故， 故 故答案为：． （2）解：根据（1）证明可得当点E是的外接圆与直线的切点时，最大， 设的外接圆圆心为点N，连接并延长交于点O，则， 由矩形， 故，， 故, ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 过点C作于点M， ∴， ∴， ∴, ∴． （3）解：当经过A，B的与相切于点P时，最大； 连接，过点T作于点H，交于点Q， 根据垂径定理，得； 故， 又， 故，， 故， 设， 又， 故， 又， 故， 整理，得 ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $