精品解析：福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年高二年段数学期中考 一、单选题 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以. 故选：C 2. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由含有度角的直角三角形中，用焦距表示出与，再根据椭圆的定义建立起与的等式，即可求出离心率. 【详解】 由题可知，， 又因为，，故， 又因为，故. 故选：B. 3. 如图，在空间四边形中，设分别是，的中点，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求得正确结论. 【详解】因为是的中点，所以， 故， 故选：D 4. 如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义求出，再代入回抛物线方程求出其纵坐标，最后计算面积即可. 【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为， 如图：过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义可知，设，则，解得， 将代入可得， 所以的面积为. 故选：B. 5. 若点在平面内，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到平面距离的向量求法直接求解即可. 【详解】，点到平面的距离. 故选：A. 6. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与题目条件得到数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求解. 【详解】由题意：，则公差，得， 又，两式相减得， 易知，所以，所以，故前10项和为 7. 已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，可得，得到，结合直角三角形的性质和勾股定理，求得，，得到最小时，同时取得最小值，即可求解. 【详解】如图所示，连接，可得，且垂足为 要使得取得最小值， 即， 又由， ， 显然，当最小时，同时取得最小值， 所以，当时，且， 所以. 故选：B. 8. 已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据以及抛物线定义可得直线的斜率，则可求，以及坐标，即可得点到直线的距离，最后利用面积公式即可. 【详解】如图，过点作，直线与轴分别交与点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得，解得， 则直线：，，得 故点到直线的距离为， 故的面积为. 故选：A 二、多选题 9. 设是公差d不为0的等差数列，其前n项和存在最小值，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和的性质和等差中项的性质，结合已知条件，分析出数列的首项、公差以及特定项的值，逐一分析各选项即可. 【详解】对于AB：因为存在最小值，且，所以，，故AB正确； 对于C：因为， 所以，所以，故C错误； 对于D：因为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，被圆截得的弦长为 B. 恒过点 C. 当被圆截得的弦长最大时，l的斜率为1 D. 被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与圆相交弦长公式求解圆心到直线的距离从而得弦长，即可判断A；根据含参直线确定定点坐标即可判断B；根据相交弦长的公式可得直线过圆心时截得的弦长最大，从而可得直线方程从而得斜率即可判断C；由几何性质，当当时，可得弦长最小值，即可判断D. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为，当时，直线的方程为， 则圆心到直线的距离为，此时，被圆截得的弦长为，故A错误； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得因此，恒过点，故B正确； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，故C错误； 对于D选项，记点，则， 当时，设直线的斜率为，此时， 即当时，圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值， 且因为，弦长的最小值为，故D正确． 故选：BD． 11. 如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（　　） A. B. 与平面所成角的正弦值为 C. 二面角的余弦值为 D. 平面截正方体所得的截面周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用坐标法，对A，由向量数量积与垂直的关系即可判断；对B，由向量法求线面角；对C，由向量法求面面角；对D，分析得，则平面AEF截正方体所得的截面为四边形，即可根据几何关系求周长， 【详解】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ， 对A， ，，故与不垂直，A错； 对B，，设平面AEF的法向量为，则，令，则有， 设与平面AEF所成角为，则，B对； 对C，平面EFC的一个法向量为，则，∴二面角的余弦值为，C错； 对D，由，，可得，平面AEF截正方体所得的截面为四边形， 则有，故平面AEF截正方体所得的截面周长为，D对. 故选：BD. 三、填空题 12. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数等于_____ 【答案】13 【解析】 【分析】由题意可得存在实数使得则成立，列出方程组求解即可. 【详解】向量，，，，，三个向量共面， 则， 故，解得. 故答案为：13. 13. 数列{an}的前n项和为Sn，若(n∈N*)，，则=___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推关系式列出数列的前几项，即可得数列是以3为周期的数列，从而得解； 【详解】解：因为，，所以，，，所以数列是以3为周期的数列， 所以 故答案为： 14. 已知分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左支交于，若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意可知，所以得到和都为直角三角形，可利用勾股定理计算三边的关系，结合和的勾股定理，可计算得出，再 结合和的勾股定理，即可计算出离心率. 【详解】由题意得： 因为，所以，即，如图所示， 假设，因为，所以， 由双曲线的定义得：，， 所以，， 在中：，所以，化简得，因为，所以，即， 在中：，所以，将代入得：，所以，，即离心率为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值. 【小问1详解】 由题可知：，即，可得， 因为点在椭圆上，则， 联立方程，解得， 所以椭圆. 【小问2详解】 由题可知，，故直线的斜率， 且直线与椭圆必相交，设点， 联立直线与椭圆方程，消去y得， 根据韦达定理：，， 所以. 16. 已知等差数列的公差，前n项和为，且，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2） ， 所以， 所以 ， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算求得公差和首项即得通项公式； （2）利用等差数列的求和公式，结合裂项相消法求和即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故， 【小问2详解】 略 17. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则，     因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以，     因为，，平面，所以平面，     又平面，则； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用面面角的向量求法可求余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 而平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 则 18. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过前n项和的差与已知条件相除，推得是等差数列，求出后利用（）得到通项公式. （2）将恒成立问题转化为恒成立，构造数列，分析其单调性找到最大值，确定的取值范围. （3）先化简的表达式，再利用错位相减法（乘以公比后与原和式相减）计算数列的前项和. 【小问1详解】 在数列中，①， 又因为②，， 所以，得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，． 因为对于任意，恒成立，所以恒成立． 设，则， 当时，，； 当，时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． 【小问3详解】 由（1）知， 所以． 所以．③ ．④ ，得 ． 所以． 19. 已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． （1）求双曲线C的方程； （2）若的中点为，求直线l的方程； （3）若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点，定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解. （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线为，依题意，， 而双曲线C的左顶点为，则， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，双曲线的方程为，设， 由消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. 【小问3详解】 由（2）知，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年段数学期中考 一、单选题 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在空间四边形中，设分别是，的中点，则（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 12 5. 若点在平面内，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 7. 已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题 9. 设是公差d不为0的等差数列，其前n项和存在最小值，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，被圆截得的弦长为 B. 恒过点 C. 当被圆截得的弦长最大时，l的斜率为1 D. 被圆截得的弦长的最小值为 11. 如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（　　） A. B. 与平面所成角的正弦值为 C. 二面角的余弦值为 D. 平面截正方体所得的截面周长为 三、填空题 12. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数等于_____ 13. 数列{an}的前n项和为Sn，若(n∈N*)，，则=___________. 14. 已知分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左支交于，若，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题 15. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长． 16. 已知等差数列的公差，前n项和为，且，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 17. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求数列的前n项和． 19. 已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． （1）求双曲线C的方程； （2）若的中点为，求直线l的方程； （3）若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $