精品解析：河北省秦皇岛市山海关第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

河北省秦皇岛市山海关第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. 【详解】由，得，因此， 由，得或， 所以. 故选：C 2. 复数 满足 ，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法求，再求，确定其虚部即可. 【详解】由题意， 则. 所以的虚部为. 故选：B 3. 函数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 4. 根据表中数据，计算这 100 名学生身高的方差为（ ） 人数 平均身高(单位:cm) 方差 男生 60 170 4 女生 40 165 3 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平均数的计算公式求出这100名学生的平均身高，再根据方差的计算公式求出这100名学生身高的方差 【详解】由图表可得这100名学生的平均身高为. 由方差的计算公式（其中分别为两组数据的个数，分别为两组数据的方差，分别为两组数据的平均数，为总体平均数）可得. 故选：A 5. 记为正项等差数列的前项和，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等差数列的性质求，再根据求和公式求. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以. 又因为，所以. 所以. 故选：D 6. 已知的内角 的对边分别为 .若，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦公式及二倍角的正弦公式求解. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 即，则， 而，于是，即， 又，因此，， 所以. 故选：C 7. 已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过点作直线 交于两点，若是边长为的等边三角形，则圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据的形状和边长确定的值，进而求出准线方程，再确定圆心和半径，根据圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上圆的半径，可得答案. 【详解】如图： 因为是边长为的等边三角形，所以焦点到准线的距离为，即. 所以准线方程为. 又， 所以圆心为，半径为3. 圆心到准线：的距离为7，所以圆上的点到准线距离的最大值为. 故选：D 8. 已知，，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角正切公式，结合同角公式求出，再利用和差角的正弦公式求解即得. 【详解】由，得，解得，而， 则，，由，解得， 由，得，而，则， 所以， ， 所以. 故选：C 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. D. 若 且 ，则 【答案】ABCD 【解析】 【分析】利用组合数的计算公式可判断A的真假；利用排列数公式结合裂项求和法可判断B的真假；利用组合数的性质可判断C的真假，利用排列数公式可判断D的真假/ 【详解】对A：， 又，所以，故A正确. 对B：因为， 所以，故B正确； 对C：因为，，…，，故C正确； 对D：因为，故D正确. 故选：ABCD 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为3 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数值判断A；求出零点判断B；求出极值点个数判断C；作图并求出范围判断D. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， A，，A错误； B，，的零点个数为3，B正确； C，当时，求导得， 由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 由奇函数的性质得在时，取得极大值， 因此的极值点个数为2，C错误； D，在坐标平面内作出函数的图象，如图： 观察图象得当且仅当或时，函数的图象与直线有3个交点， 因此的取值范围是，D正确. 故选：BD 11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“完美曲线”，“完美曲线”与其对称轴的交点叫作“完美曲线”的顶点.已知“完美曲线”，则（ ） A. 曲线有4个顶点 B. 曲线有4条对称轴 C. 曲线与直线有4个交点 D. 曲线上的动点到原点距离的最小值的平方为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用方程确定对称轴判断A；利用顶点的定义确定顶点个数判断B；联立方程确定解的个数判断C；利用基本不等式求最值判断D. 【详解】作出曲线，如图， A、B，将交换方程仍成立，曲线关于对称；用“”代换“”方程不变， 曲线关于轴对称；用“”代换“”方程不变，曲线关于轴对称； 用“”代换“”方程不变，因此曲线关于直线对称， 曲线有轴，直线四条对称轴，每条对称轴都与曲线有两个交点，共有8个顶点，A错误，B正确； C，由消去得， 即，解得或或， 因此曲线与直线有4个交点，C正确； D，由，得， 当且仅当时取等号，则，解得， 因此曲线上的动点到原点距离的最小值的平方为，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算律及投影向量的意义求解. 【详解】由，得，而向量是单位向量，则， 由，得，所以在上的投影向量为. 故答案为： 13. 若关于的不等式有解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将给定不等式分离参数得，令并探讨单调性确定值域，再构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】不等式， 令，而函数在上都为增函数， 则在上单调递增，其值域为R， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 依题意，不等式有解，因此，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球，其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体 的体积为 ，则 9 个球的表面积之和为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为， 故答案为： 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，当时，的最小值为. （1）求函数在区间内的零点个数； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间. 【答案】（1）4； （2）值域为，递增区间为，递减区间为. 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数性质，结合指定区间上最小值列式求出. （2）利用平移变换法则求出，再利用余弦函数的图象性质求出值域及单调区间. 【小问1详解】 函数，当时，， 则当，即时，，即， 解得，故， 当时，，由，得， 则，所以， 因此函数在区间内的零点个数为4. 【小问2详解】 依题意，， 因此函数的值域为； 由，解得， 由，解得， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过作轴的垂线被所截得的弦长为，坐标原点为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于两点，若的面积为，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件可得点在椭圆上，再结合半焦距为2列出方程组求出即得. （2）联立直线与椭圆方程，利用三角形面积建立方程求解. 【小问1详解】 依题意，，由过作轴的垂线被所截得的弦长为， 得点在椭圆上，则， 又，解得， 所以椭圆的方程是. 【小问2详解】 由消去得，， 解得，而，则， 设，则， 所以， 而原点到直线的距离， 则，解得， 所以. 17. 如图，在等腰梯形中，，，是的中点.现将沿翻折，点翻折到点的位置，使得二面角的大小为. （1）求证：； （2）若点为的重心，求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图：连接，交于，再连接，. 因为四边形为等腰梯形，且，， 所以四边形为菱形，所以. 根据翻折的性质，可得，， 又平面，，所以平面. 又平面，所以. 又，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直，再证线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求两个平面所成角的三角函数值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，，所在的射线为，轴的正方向，向上的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，，所以为二面角的平面角，所以. 所以. 又，所以，. 所以，，，. 因为为的重心，所以. 由，得. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，取，则，. 所以. 设平面的法向量为， 则，取，则，. 所以. 所以. 所以. 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 18. 现将红、黄、蓝三色球从左往右放置在一排格子中，要求最左端放红球，且相同颜色球不连续放.若前一格放红球，则下一格放黄球或蓝球的概率相等；若前一格放黄球或蓝球，则下一格放红球的概率为. （1）求从最左端往右数第4个球是红球的概率； （2）求从最左端往右数第个球是红球的概率； （3）已知格子总数为100，设红、黄、蓝三色球放置的个数分别为，判断的大小关系. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）第 4 个球是红球的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，结合概率乘法公式求解. （2）设，由全概率公式得，利用构造法结合等比数列分析求解. （3）根据题意结合全概率公式得，根据数列求和可得，进而可得结果. 【小问1详解】 依题意，第 4 个球是红球的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”， 所以从最左端往右数第 4 个球是红球的概率. 【小问2详解】 设事件表示“第个球是红球”，事件表示“第个球是黄球”，事件表示“第个球是蓝球”， 当时，， 记，则，而， 由，得， 整理得，则，而， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 所以从最左端往右数第个球是红球的概率为. 【小问3详解】 依题意，当时，， ， 则，两式相减得， 由，得，即， 因此对任意恒成立，于是，令的前n项和为，则， 而，因此， 又，则； 所以. 19. 已知函数，. （1）若函数与函数的图象在公共点处有共同的切线，求该切线的方程； （2）若函数，的最小值为，求实数的值； （3）若函数有两个极值点，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明：依题意，定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得方程有两个不相等的正根， 则，，解得， 不妨令， ， 令，则，，要证， 即证 ， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，，即成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）设公共点的横坐标为，分别求出两个函数的导数，再利用导数的几何意义求解即可. （2）求出及其导数，再分类求出函数的最小值列式求解并判断. （3）求出两个极值点满足的关系，变形不等式的左边并令，将所证不等式变形为，构造函数并利用导数证明不等式. 【小问1详解】 设函数与函数的图象公共点的横坐标为，则， 求导得，，依题意， 联立两个方程，解得，公共点为， 所求切线斜率为，切线方程为，即. 【小问2详解】 函数，，求导得， 当时，，在上单调递增，，不符； 当时，，在上单调递减，，不符； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则，即， 令，， 求导得，函数在上单调递减， 由，得， 因此，解得，所以实数的值是. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省秦皇岛市山海关第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 复数 满足 ，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 函数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 根据表中数据，计算这 100 名学生身高的方差为（ ） 人数 平均身高(单位:cm) 方差 男生 60 170 4 女生 40 165 3 A. B. C. D. 5. 记为正项等差数列的前项和，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角 的对边分别为 .若，，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过点作直线 交于两点，若是边长为的等边三角形，则圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，则 （ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. D. 若 且 ，则 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为3 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“完美曲线”，“完美曲线”与其对称轴的交点叫作“完美曲线”的顶点.已知“完美曲线”，则（ ） A. 曲线有4个顶点 B. 曲线有4条对称轴 C. 曲线与直线有4个交点 D. 曲线上的动点到原点距离的最小值的平方为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为______. 13. 若关于的不等式有解，则的取值范围是______. 14. 如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球，其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体 的体积为 ，则 9 个球的表面积之和为______. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，当时，的最小值为. （1）求函数在区间内的零点个数； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过作轴的垂线被所截得的弦长为，坐标原点为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于两点，若的面积为，求实数的值. 17. 如图，在等腰梯形中，，，是的中点.现将沿翻折，点翻折到点的位置，使得二面角的大小为. （1）求证：； （2）若点为的重心，求平面与平面所成二面角的正弦值. 18. 现将红、黄、蓝三色球从左往右放置在一排格子中，要求最左端放红球，且相同颜色球不连续放.若前一格放红球，则下一格放黄球或蓝球的概率相等；若前一格放黄球或蓝球，则下一格放红球的概率为. （1）求从最左端往右数第4个球是红球的概率； （2）求从最左端往右数第个球是红球的概率； （3）已知格子总数为100，设红、黄、蓝三色球放置的个数分别为，判断的大小关系. 19. 已知函数，. （1）若函数与函数的图象在公共点处有共同的切线，求该切线的方程； （2）若函数，的最小值为，求实数的值； （3）若函数有两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $