8.1为什么要证明讲义2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

七年级寒假预习讲义——平行线的有关证明学生版 第一节 为什么要证明 【考点梳理】 考点一 定义与命题的概念 1、定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语意义的语句称为定义。 【例】“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。”这一简短的语句既说明了等腰三角形是三角形的一类，又指出了等腰三角形区别于其他三角形的本质特征。我们把它叫做等腰三角形的定义。 【注意】定义实际上就是一种规定。例如，“大于直角而小于平角的角叫做钝角。”这个定义规定了凡是大于直角而小于平角的角都是钝角，反过来，凡是钝角都大于直角而小于平角。这个定义既可以作为钝角的一种判定方法——凡是大于直角而小于平角的角都可“判定”为钝角，又可以作为钝角的性质——钝角都大于直角而小于平角。 2、过去我们还学习过数、式和图形的一些性质。例如：（1）如果，那么；（2）对顶角相等； （3）如果是三角形的三条边的长，并且，那么这个三角形是直角三角形；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 上面给出的语句都是对某件事情进行判断的句子。判断一件事情的句子，叫做命题。 反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。 【例】下列句子都不是命题：（1）平行用符号“”表示；（2）作线段；（3）吗？ 3、命题通常由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。 一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 4、正确的命题叫做真命题。对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立。 不正确的命题叫做假命题。对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论一定成立。 5、要判断一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例。 6、每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题。但是原命题正确，它的逆命题未必正确。例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题。 【重点题型】 题型一 判断是否为命题   【典例1】下列语句中，属于命题的是（ ）。 A．直线和垂直吗？ B．过线段的中点画的垂线 C．同旁内角互补，两直线平行 D．连接，两点 【变式1-1】下列语句是命题的是（ ）。 A．画出两个相等的角 B．所有的直角都相等吗 C．延长线段到C，使得 D．两直线平行，内错角相等 【变式1-2】下列语句不是命题的是（ ）。 A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【变式1-3】下列语句中，属于命题的是（ ）。 A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 【变式1-4】下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③对顶角不相等；④内错角相等吗？⑤同角的余角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 判断命题真假 【典例2】下列命题中，属于真命题的是（ ）。 A．直角都相等 B．是有理数 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】下列命题中，属于假命题的是（ ）。 A．三角形三个内角的和等于180° B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．如果，则 【变式2-2】下列命题：（1）立方根等于本身的数是0和；（2）带根号的数都是无理数；（3）一定有平方根；（4）两个无理数的和一定是无理数．其中是真命题的有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】命题：①质数都是奇数；②如果、，那么；③多边形的外角和小于内角和；④如果，那么．其中假命题的个数有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 判断逆命题真假 【典例3】下列命题的逆命题是真命题的是（ ）。 A．钝角三角形中有两个锐角 B．如果，那么 C．若，则，， D．若，则 【变式3-1】给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】下列命题的逆命题是真命题的是（ ）。 A．如果，，则 B．两直线平行，同旁内角互补 C．四边形是多边形 D．若，则 【变式3-3】下列命题的逆命题成立的是（ ）。 A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．全等三角形的对应边相等 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．等边三角形是锐角三角形 【变式3-4】下列命题中，其逆命题成立的是（ ）。 ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④直角三角形的两个锐角互余． A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 题型四 举反例说明假命题 【典例4】能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）。 A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）。 A． B． C． D． 【变式4-2】对于命题“如果，那么．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）。 A． B． C． D． 【变式4-4】对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（ ）。 A．， B．， C．， D．， 题型五 写出命题的题设与结论 【典例5】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（ ）。 A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【变式5-1】把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【变式5-2】把下列命题改成“如果……，那么……”的形式． （1）不相交的两条直线是平行线 （2）相等的两个角是对顶角 （3）经过一点有且只有一条垂线 （4）直角都相等 【变式5-3】命题“对顶角相等”的题设是 ，结论是 ． 【变式5-4】“两直线平行，同位角相等”这个命题的题设是 ． 【基础训练】 1、下列语句中命题的个数为（ ）。 ①两直线相交，只有一个交点；②过点画直线的垂线；③延长线段到；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 2、下列四个选项中不是命题的是（ ）。 A．对顶角相等 B．作一个角等于已知角 C．三角形任意两边之差小于第三边 D．如果，，那么 3、下列命题是真命题的为（ ）。 A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 4、下列命题中，是真命题的有（ ）。 ①对顶角相等；②不相交的两条直线一定平行；③等角的补角相等； ④如果，那么 A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 5、下列命题中真命题的个数有（ ）。 ①直线外一点与直线上各点所连接的线段中，垂线段最短； ②无理数都是无限小数； ③平方根等于本身的数是0和1； ④一个正数的算术平方根一定大于它的立方根； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6、下列选项中，能够说明“若是有理数，则”是假命题的是（ ）。 A． B． C． D． 7、下列命题中，是假命题的是（ ）。 A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等 8、下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）。 A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 9、下列命题的逆命题是假命题的是（ ）。 A．全等三角形的对应角相等 B．等腰三角形的两底角相等 C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 10、下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②偶数一定能被整除；③末位数是的数，能被整除；④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【巩固训练】 1、下列语句中，是命题的是（ ）。 A．延长线段到 B．两点之间线段最短 C．画 D．等角的余角相等吗 2、下列句子中不是命题的是（ ）。 A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 3、下列命题中，是真命题的是（ ）。 A．若一个数的倒数等于它本身，则这个数是 B．互补的两个角一定有一个锐角，一个钝角 C．偶数都能被整除 D．画出一个角的平分线 4、给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5、现有下列四个命题：①三角形的外角和是；②三角形的三个内角中至少有两个锐角；③若，则；④已知直线，，，若，则．其中是真命题的是（ ）。 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 6、下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题的是（ ）。 A． B． C． D． 7、下列命题是假命题的是（ ）。 A．8的立方根是2 B．2是8的立方根 C．4的平方根是2 D．2是4的平方根 8、有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 9、下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）。 A． B． C． D． 10、有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线不相交，那么与平行吗？其中是命题的有 ，是真命题的有 ．（填序号） 【拔高训练】 1、下列语句是命题的是（ ）。 A．延长线段到C B．用量角器画 C．三角形的内角和是 D．任意数的平方都不小于0吗？ 2、下列语句中，不是命题的是（ ）。 A．如果，那么 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线 3、下列命题是真命题的是（ ）。 A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．若，则且 4、下列命题中，真命题的个数是（ ）。 （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A． B． C． D． 5、某班有36位同学参加羽毛球，乒乓球比赛，每人必须选择一项或两项参赛，关于参赛人数有以下三个说法，甲说：“只参加一项的人数不少于25人．”乙说：“参加两项的人数小于10人．”丙说：“参加两项的人数是参加一项人数的一半”，对于甲、乙、丙三人的说法，有下列四个命题，其中是真命题的是（ ）。 A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则丙对 C．若丙对，则甲错 D．若甲对，则丙对 6、以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（ ）。 A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 7、下列图形中，能用来说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的是（ ）。 A． B． C． D． 8、下列命题中，其逆命题成立的是（ ）。 ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④直角三角形的两个锐角互余． A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 9、对于命题“如果与互补，那么”，能说明这是假命题的反例是（ ）。 A．， B．， C．， D．， 10、关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法不正确的是（ ）。 A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．原命题是真命题 C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题是真命题 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级寒假预习讲义——平行线的有关证明解析版 第一节 为什么要证明 【考点梳理】 考点一 定义与命题的概念 1、定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语意义的语句称为定义。 【例】“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。”这一简短的语句既说明了等腰三角形是三角形的一类，又指出了等腰三角形区别于其他三角形的本质特征。我们把它叫做等腰三角形的定义。 【注意】定义实际上就是一种规定。例如，“大于直角而小于平角的角叫做钝角。”这个定义规定了凡是大于直角而小于平角的角都是钝角，反过来，凡是钝角都大于直角而小于平角。这个定义既可以作为钝角的一种判定方法——凡是大于直角而小于平角的角都可“判定”为钝角，又可以作为钝角的性质——钝角都大于直角而小于平角。 2、过去我们还学习过数、式和图形的一些性质。例如：（1）如果，那么；（2）对顶角相等； （3）如果是三角形的三条边的长，并且，那么这个三角形是直角三角形；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 上面给出的语句都是对某件事情进行判断的句子。判断一件事情的句子，叫做命题。 反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。 【例】下列句子都不是命题：（1）平行用符号“”表示；（2）作线段；（3）吗？ 3、命题通常由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。 一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 4、正确的命题叫做真命题。对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立。 不正确的命题叫做假命题。对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论一定成立。 5、要判断一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例。 6、每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题。但是原命题正确，它的逆命题未必正确。例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题。 【重点题型】 题型一 判断是否为命题   【典例1】下列语句中，属于命题的是（ ）。 A．直线和垂直吗？ B．过线段的中点画的垂线 C．同旁内角互补，两直线平行 D．连接，两点 【答案】 【分析】分别根据命题的定义进行判断． 【详解】、直线和垂直吗？这是疑问句，不是命题，所以选项错误； 、过线段的中点画的垂线，这是描叙性语言，不是命题，所以选项错误； 、同旁内角互补，两直线平行是命题，所以选项正确； 、连接、两点，这是描叙性语言，不是命题，所以选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 【变式1-1】下列语句是命题的是（ ）。 A．画出两个相等的角 B．所有的直角都相等吗 C．延长线段到C，使得 D．两直线平行，内错角相等 【答案】 【分析】根据命题的概念判断即可． 【详解】、画出两个相等的角，没有做错判断，不是命题； 、所有的直角都相等吗，没有做错判断，不是命题； 、延长线段到C，使得，没有做错判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题； 故选：． 【点睛】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题，是解题的关键． 【变式1-2】下列语句不是命题的是（ ）。 A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【答案】 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．根据命题的定义分别进行判断即可． 【详解】、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； 、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； 、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； 、在线段上取点，使为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选：． 【变式1-3】下列语句中，属于命题的是（ ）。 A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 【答案】 【分析】本题主要考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 【详解】、没有对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； 、是问句，未做判断，故本选项不符合； 、符合命题的概念，故本选项符合； 、没有对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； 故选：． 【变式1-4】下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③对顶角不相等；④内错角相等吗？⑤同角的余角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】本题考查命题的定义：判断一件事情的语句称为命题，据此逐个判断即可解答． 【详解】解：①全等三角形对应边相等，是命题；②过一点画已知直线的平行线，不是命题； ③对顶角不相等，是命题；；④内错角相等吗？不是命题；⑤同角的余角相等，是命题； 综上，不是命题的是②④，共2个． 故选： 题型二 判断命题真假 【典例2】下列命题中，属于真命题的是（ ）。 A．直角都相等 B．是有理数 C．若，则 D．若，则 【答案】 【分析】本题主要考查真假命题，根据直角定义，实数的分类，绝对值的性质逐项判断即可，掌握基本的事实和定理是解题的关键． 【详解】、直角都相等，原命题是真命题，符合题意； 、是无理数，原命题是假命题，不符合题意； 、若，则，原命题是假命题，不符合题意； 、若，则，原命题是假命题，不符合题意； 故选：． 【变式2-1】下列命题中，属于假命题的是（ ）。 A．三角形三个内角的和等于180° B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．如果，则 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角的性质，平方的意义逐项判断． 【详解】三角形三个内角的和等于，故是真命题，不符合题意； 两直线平行，同位角相等，故是真命题，不符合题意； 对顶角相等，故是真命题，不符合题意； 如果，则，故是假命题，符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查真假命题的判定，三角形的内角和定理的理解，平行线的性质，对顶角的性质，乘方的含义，解题的关键是掌握并理解相关的概念和定理． 【变式2-2】下列命题：（1）立方根等于本身的数是0和；（2）带根号的数都是无理数；（3）一定有平方根；（4）两个无理数的和一定是无理数．其中是真命题的有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】本题主要考查了真假命题、平方根、立方根、无理数等知识．根据平方根、立方根、无理数等知识进行判断即可． 【详解】（1）立方根等于本身的数是0和，是真命题； （2）带根号的数不一定是无理数，例如，是有理数，故原命题是假命题； （3）只有当时，一定有平方根，当时，没有平方根，故原命题是假命题； （4）两个无理数的和可能是有理数，例如与都是无理数，，而0是有理数，故原命题是假命题． 综上可知，真命题有1个，故选：． 【变式2-3】命题：①质数都是奇数；②如果、，那么；③多边形的外角和小于内角和；④如果，那么．其中假命题的个数有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据质数的定义、完全平方公式的变式、多边形内角与外角、不等式的判定，即可一一判定． 【详解】①质数都是奇数，错误，2是质数，但是偶数，故该命题是假例题； ②如果、，那么，故该命题是假例题； ③多边形的外角和小于内角和，错误，如三角形的外角和为，内角和为，故该命题是假例题； ④如果，那么不一定成立，如，，，故该命题是假例题； 故共有4个假命题，故选：． 【点睛】本题考查了质数的定义、完全平方公式的变式、多边形内角与外角、不等式的判定，熟练掌握和运用真假命题的判定方法是解决本题的关键． 题型三 判断逆命题真假 【典例3】下列命题的逆命题是真命题的是（ ）。 A．钝角三角形中有两个锐角 B．如果，那么 C．若，则，， D．若，则 【答案】 【分析】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键．先写出逆命题，后逐一判断正误即可． 【详解】．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故不符合题意； ．选项逆命题为：如果，那么，根据还可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故不符合题意； ．选项逆命题为：，，，那么，根据条件，无法判定，可得该逆命题是假命题，故不符合题意； ．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故符合题意； 故选：． 【变式3-1】给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】本题主要考查了命题与逆命题，不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质等知识点，用不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握解不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】①若，则的逆命题为：若，则，正确，是真命题，不符合题意； ②锐角都相等的逆命题为：相等的角都为锐角，错误，是假命题，符合题意； ③一个角的补角大于这个角的逆命题为：大于一个角的角是它的补角，错误，是假命题，符合题意； ④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：． 【变式3-2】下列命题的逆命题是真命题的是（ ）。 A．如果，，则 B．两直线平行，同旁内角互补 C．四边形是多边形 D．若，则 【答案】 【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假，先写出逆命题，再判断真假即可得解． 【详解】解：、逆命题为：如果，则，，此命题为假命题，故不符合题意； 、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，此命题为真命题，故符合题意； 、逆命题为：多边形为四边形，此命题为假命题，故不符合题意； 、逆命题为：若，则，此命题为假命题，故不符合题意； 故选：． 【变式3-3】下列命题的逆命题成立的是（ ）。 A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．全等三角形的对应边相等 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】 【分析】本题考查了命题，分别写出原命题的逆命题，再进行判断真假即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：、原命题的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，是假命题； 、原命题的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，是真命题； 、原命题的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，是假命题； 、原命题的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题； 故选：． 【变式3-4】下列命题中，其逆命题成立的是（ ）。 ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④直角三角形的两个锐角互余． A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 【答案】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题； ④直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余三角形是直角三角形，是真命题； 故选：． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中． 题型四 举反例说明假命题 【典例4】能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）。 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】本题考查举反例，根据题意举出一个反例为一个钝角与一个锐角的差不是锐角，进行判断即可． 【详解】解：、，差是锐角，不符合题意； 、不是钝角，不符合题意； 、，差是锐角，不符合题意； 、，差是钝角，符合题意； 故选． 【变式4-1】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】 【分析】考查了命题与定理的知识，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子． 【详解】解：、满足条件，也满足结论，故不符合题意； 、不满足条件，故不符合题意； 、不满足条件，也不满足结论，故不符合题意； 、满足条件，不满足结论，故符合题意． 故选：． 【变式4-2】对于命题“如果，那么．”能够说明它是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查命题，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．当时，满足条件，但不能得出的结论，即可判断答案． 【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， 故能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是． 故选：． 【变式4-3】对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了用举反例说明命题是假命题，要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论；根据这一特点判断即可． 【详解】解：、例子符合命题的条件，也符合命题的结论，故不是举反例； 、例子不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故不是举反例； 、例子不符合命题的条件，但符合命题的结论，故不是举反例； 、例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，故是举反例； 故选：． 【变式4-4】对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（ ）。 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】本题考查了举反例说明一个命题是假命题，所举的反例要满足命题的条件，但是不能满足命题的结论，解决本题的关键是判断每一个例子是否满足命题的条件，并且不满足命题的结论． 【详解】解：选项：当，时，，，，可以说明“若，则．”是假命题，故选项符合题意； 选项：当，时，，，，不能说明“若，则．”是假命题，故选项不符合题意； 选项：当，时，，，，不能说明“若，则．”是假命题，故选项不符合题意； 选项：当，时，，，，不能说明“若，则．”是假命题，故选项不符合题意． 故选：． 题型五 写出命题的题设与结论 【典例5】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（ ）。 A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】 【分析】把命题改写成如果那么的形式，如果后面跟的即为条件，那么后面跟的是结论． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是两条直线垂直于同一条直线，故选． 【点睛】本题考查了命题条件的判断，属于简单题，熟悉命题的构成是解题关键． 【变式5-1】把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行 【分析】本题主要考查了命题与定理，根据命题的构成，如果后面是条件，那么后面是结论，解答即可； 【详解】同位角相等，两直线平行改写成“如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行”． 故答案为：如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行 【变式5-2】把下列命题改成“如果……，那么……”的形式． （1）不相交的两条直线是平行线 （2）相等的两个角是对顶角 （3）经过一点有且只有一条垂线 （4）直角都相等 【答案】（1）如果两条直线不相交，那么这两条直线平行； （2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； （3）如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）如果所有的角是直角，那么它们都相等 【分析】（1）根据命题及其组成即可写得；（2）根据命题及其组成即可写得； （3）根据命题及其组成即可写得；（4）根据命题及其组成即可写得． 【详解】（1）不相交的两条直线是平行线， ∵原命题的条件是：“两条直线不相交”，结论是：“这两条直线平行”， ∴命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两条直线不相交，那么这两条直线平行”； （2）相等的两个角是对顶角， ∵原命题的条件是：“两个角相等”，结论是：“这两个角是对顶角”， ∴命题“相等的两个角是对顶角”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”； （3）经过一点有且只有一条垂线， ∵原命题的条件是：“经过一点”，结论是：“有且只有一条垂线”， ∴命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直”； （4）直角都相等． ∵原命题的条件是：“所有的直角”，结论是：“都相等”， ∴命题“直角都相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果所有的角是直角，那么它们都相等”． 【点睛】本题考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成，把命题写成“如果…，那么…”的形式时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论． 【变式5-3】命题“对顶角相等”的题设是 ，结论是 ． 【答案】两个角是对顶角；这两个角相等 【分析】判断一件事情的语句叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，由此即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：命题“对顶角相等”的题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等， 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 【点睛】本题考查了写出命题的题设和结论，熟练掌握题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，是解题的关键． 【变式5-4】“两直线平行，同位角相等”这个命题的题设是 ． 【答案】两直线平行 【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两直线平行”，由已知事项推出的事项是“同位角相等”， 所以“两直线平行”是命题的题设部分，“同位角相等”是命题的结论部分． 故答案为：两直线平行． 【点睛】本题主要考查了命题，命题有题设和结论两部分组成，命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 【基础训练】 1、下列语句中命题的个数为（ ）。 ①两直线相交，只有一个交点；②过点画直线的垂线；③延长线段到；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】本题考查命题的定义，命题是指判断一件事情的语句，根据命题的定义依次判断即可． 【详解】解：命题是指判断一件事情的语句， ∴①④是命题，②③不是命题， 故选：． 2、下列四个选项中不是命题的是（ ）。 A．对顶角相等 B．作一个角等于已知角 C．三角形任意两边之差小于第三边 D．如果，，那么 【答案】 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：、对顶角相等，是命题，不符合题意； 、作一个角等于已知角，不是命题，符合题意； 、三角形任意两边之差小于第三边，是命题，不符合题意； 、如果，，那么，是命题，不符合题意； 故选：． 3、下列命题是真命题的为（ ）。 A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 【答案】 【分析】本题考查判断命题的真假，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断； 利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】．两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为3、4、5的三角形和一个边长为4、4、4的三角形，它们的周长都是12，但它们不是全等三角形，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．若，两边同时平方可得，该命题是真命题，故该选项符合题意； ．若，则x可以是大于0的数，也可以是小于0的数（例如时，），所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意． 故选：． 4、下列命题中，是真命题的有（ ）。 ①对顶角相等；②不相交的两条直线一定平行；③等角的补角相等； ④如果，那么 A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 【答案】 【分析】本题考查命题的判断，对顶角性质，平行线定义，补角性质，绝对值性质等．根据题意利用对顶角性质，平行线定义，补角性质等逐一分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵对顶角相等，故①是真命题， ∵在同一平面内不相交的两条直线一定平行，故②不是真命题， ∵如果这两个角相等，那么他们的补角也相等，即等角的补角相等，故③是真命题， ∵如果，那么，假设，即，但，故④不是真命题， 故选：． 5、下列命题中真命题的个数有（ ）。 ①直线外一点与直线上各点所连接的线段中，垂线段最短； ②无理数都是无限小数； ③平方根等于本身的数是0和1； ④一个正数的算术平方根一定大于它的立方根； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】本题考查了垂线段的性质，无理数的定义，平方根，立方根；①由垂线段的性质，即可判断；②由无理数的定义，即可判断；③举反例：平方根，即可判断；④举反例：的算术平方根和立方根都是，即可判断；理解垂线段的性质，无理数的定义，会举反例是解题的关键． 【详解】解：①直线外一点与直线上各点所连结的线段中，垂线段最短；结论正确； ②无限不循环小数是无理数，所以无理数都是无限小数；结论正确； ③因为平方根是；结论错误； ④的算术平方根和立方根都是；结论错误； 故选：． 6、下列选项中，能够说明“若是有理数，则”是假命题的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握要说明一个命题的正确性，一般要推理、谁，而判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的除法法则，逐项代入计算判定即可． 【详解】解：、当时，，∴说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项符合题意； 、当时，无意义，∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； 、当时，，∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； 、当时，，∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； 故选：． 7、下列命题中，是假命题的是（ ）。 A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等 【答案】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，对顶角的性质，两点之间，线段最短，垂线的定义，平行线的性质等等，根据对顶角的性质，两点之间，线段最短，垂线的定义，平行线的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； 、两点之间，线段最短，原命题是真命题，不符合题意； 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，不符合题意； 、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：． 8、下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）。 A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【答案】 【分析】本题主要考查了逆命题的真假性，正确掌握逆命题的真假性是解题的关键．写出各个选项的逆命题，再判断真假． 【详解】解：、原命题的逆命题是：如果三角形的三个角对应相等，则这两个三角形是全等三角形，是假命题，不合题意； 、原命题的逆命题是：同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； 、原命题的逆命题是：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题，不合题意； 、原命题的逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角，是假命题，不合题意． 故选． 9、下列命题的逆命题是假命题的是（ ）。 A．全等三角形的对应角相等 B．等腰三角形的两底角相等 C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】 【分析】本题考查真假命题的判断、逆命题的概念，正确写出各命题的逆命题，并掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定和等边三角形的性质是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定和等边三角形的性质判断即可． 【详解】“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，是假命题，故选项符合题意； “等腰三角形的两底角相等”的逆命题为“底角相等的三角形为等腰三角形”是真命题，故选项不符合题意； “三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题为“等边三角形的三个角都相等”是真命题，故选项不符合题意； “线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上”是真命题，故选项不符合题意． 故选． 10、下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②偶数一定能被整除；③末位数是的数，能被整除；④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】 【分析】本题考查了命题与逆命题，命题的真假，先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可，正确写出命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②偶数一定能被整除的逆命题是能被整除的是偶数，是真命题； ③末位数字是的数，能被整除的逆命题是能被整除的数，末位数字是，是假命题，因为末尾数也可以是； ④对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； ∴逆命题是假命题的个数是个， 故选：． 【巩固训练】 1、下列语句中，是命题的是（ ）。 A．延长线段到 B．两点之间线段最短 C．画 D．等角的余角相等吗 【答案】 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题．根据命题的定义解答即可． 【详解】解：、延长线段到，不是命题；、两点之间线段最短，是命题； 、画，不是命题；、等角的余角相等吗，不是命题； 故选：． 2、下列句子中不是命题的是（ ）。 A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】 【分析】本题主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．判断一件事情的语句叫做命题，据此判断． 【详解】解：、是命题，故不合题意； 、直线和直线不一定垂直，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，故符合题意； 、是命题，故不合题意； 、是命题，故不合题意； 故选：． 3、下列命题中，是真命题的是（ ）。 A．若一个数的倒数等于它本身，则这个数是 B．互补的两个角一定有一个锐角，一个钝角 C．偶数都能被整除 D．画出一个角的平分线 【答案】 【分析】本题考查了命题的真假，根据倒数的定义、互补的定义、偶数的定义及命题的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、若一个数的倒数等于它本身，则这个数是或，原命题是假命题，不合题意； 、互补的两个角可能有一个锐角，一个钝角，也能两个角都是直角，原命题是假命题，不合题意； 、偶数都能被整除，原命题是真命题，符合题意； 、画出一个角的平分线，不是命题，该选项不符合题意； 故选：． 4、给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正确对命题进行判断是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意； ④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意； 故选：． 5、现有下列四个命题：①三角形的外角和是；②三角形的三个内角中至少有两个锐角；③若，则；④已知直线，，，若，则．其中是真命题的是（ ）。 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．掌握真命题的概念是解答本题的关键．根据三角形外角和定义对①进行判断；根据三角形内角和定理对②进行判断；根据有理数的性质对③进行判断；根据平行线的性质对④进行判断． 【详解】解：三角形的外角和是，所以①错误； 根据三角形内角和定理得到三角形的三个内角中至少有两个锐角，②正确； 如果，而，则，所以③正确； 直线，，，如果，那么，所以④错误． 故选． 6、下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了举例说明假（真）命题，熟练掌握说明一个命题是假命题的方法是解题的关键：满足命题条件，但不能得到命题的结论． 根据举例说明假（真）命题的方法逐项分析判断即可． 【详解】解：、是偶数，不是4的倍数，所以能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项符合题意； 、不是偶数，所以不能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项不符合题意； 、是偶数，也是4的倍数，所以不能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项不符合题意； 、是偶数，也是4的倍数，所以不能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项不符合题意； 故选：． 7、下列命题是假命题的是（ ）。 A．8的立方根是2 B．2是8的立方根 C．4的平方根是2 D．2是4的平方根 【答案】 【分析】本题考查了命题的真假，立方根，平方根，错误的命题是假命题，正确的命题是真命题，据此即可作答． 【详解】解：、8的立方根是2，故该选项是不符合题意； 、2是8的立方根，故该选项是不符合题意； 、4的平方根是，故该选项是符合题意； 、2是4的平方根，故该选项是不符合题意； 故选：． 8、有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，先把原命题的结论和条件互换写出对应命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：①原命题的逆命题为两直线平行，同位角相等，是真命题； ②原命题的逆命题为如果两个角相等，那么它们都是直角，是假命题； ③原命题的逆命题为如果，，那么，是真命题； ④原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，如，则，故命题的逆命题是假命题， 故选：． 9、下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：、满足，但不满足，故该选项符合题意； 、既不满足也不满足，故该选项不符合题意； 、既不满足也不满足，故该选项不符合题意； 、既满足也满足，故该选项不符合题意； 故选： 10、有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线不相交，那么与平行吗？其中是命题的有 ，是真命题的有 ．（填序号） 【答案】②③；③ 【分析】本题考查了命题的定义、判断命题真假，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据命题的定义，对语句逐一分析判断即可． 【详解】解：①画线段不是命题； ②两个负数的差一定是负数是命题，是假命题； ③同角的余角相等是命题，是真命题； ④如果直线不相交，那么与平行吗？不是命题； 其中是命题的有②③，是真命题的有③． 故答案为：②③；③． 【拔高训练】 1、下列语句是命题的是（ ）。 A．延长线段到C B．用量角器画 C．三角形的内角和是 D．任意数的平方都不小于0吗？ 【答案】 【分析】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：、延长线段到，没有做出判断，不是命题； 、用量角器画，没有做出判断，不是命题； 、三角形的内角和是，做出了判断，是命题； 、任意数的平方都不小于0吗？没有做出判断，不是命题； 故选：． 2、下列语句中，不是命题的是（ ）。 A．如果，那么 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线 【答案】 【分析】本题考查了命题，根据命题的概念逐项判断即可得出答案，熟练掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解此题的关键． 【详解】解：、如果，那么，是命题，不符合题意； 、对顶角相等，是命题，不符合题意； 、两点之间，线段最短，是命题，不符合题意； 、过一点作已知直线的垂线，不是命题，符合题意； 故选：． 3、下列命题是真命题的是（ ）。 A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．若，则且 【答案】 【分析】根据两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质逐一判断即可． 【详解】解：、两点之间线段最短，原选项是假命题，不符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则且，原选项是真命题，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质，真假命题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 4、下列命题中，真命题的个数是（ ）。 （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了命题，根据垂线的性质、点到直线的距离、三角形外角性质、平行公理和三角形全等的判定方法逐一判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，符合题意； （）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题，不合题意； （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角，该命题是真命题，符合题意； （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题，符合题意； （）两条边相等及其夹角相等的两个三角形一定全等，原命题是假命题，不合题意； ∴真命题有个， 故选：． 5、某班有36位同学参加羽毛球，乒乓球比赛，每人必须选择一项或两项参赛，关于参赛人数有以下三个说法，甲说：“只参加一项的人数不少于25人．”乙说：“参加两项的人数小于10人．”丙说：“参加两项的人数是参加一项人数的一半”，对于甲、乙、丙三人的说法，有下列四个命题，其中是真命题的是（ ）。 A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则丙对 C．若丙对，则甲错 D．若甲对，则丙对 【答案】 【分析】此题主要考查了真假命题的判断，熟练运用举反例来判断命题的真假是关键，分别对选项中的题设假设正确，判断结论，进而得出答案． 【详解】解：选项，若甲对，设只参加一项的人数为25人，可知两项都参加的人数为11人，则乙错，所以选项不符合题意； 选项，若乙对，设两项都参加的人数为6人，可知只参加一项的人数为30人，则丙错，所以选项不符合题意； 选项，若丙对，设两项都参加的人数为12人，可知只参加一项的人数为24人，则甲错，所以选项符合题意； 选项，若甲对，设只参加一项的人数为25人，可知两项都参加的人数为11人，则参加两项的人数不是参加一项人数的一半，丙错，所以选项不符合题意． 故选：． 6、以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（ ）。 A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 【答案】 【分析】本题主要考查了反例的含义、判断命题的真假．反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子；由此可判断出正确的选项． 【详解】解：、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故选项符合题意； 、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故选项不符合题意； 、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故选项不符合题意； 、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故选项不符合题意． 故选：． 7、下列图形中，能用来说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查命题的真假判断，三角形内角和定理，判断“两个锐角的和是锐角”什么情况下不成立，即找出两个锐角的和即可．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假的关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：．该图中第三个角是钝角，则，故此选项不符合题意； ．该图中第三个角是钝角，则，故此选项不符合题意； ．该图中第三个角是锐角，则，故此选项符合题意； ．如图，延长锐角的一边与锐角的两边构成钝角三角形，根据对顶角相等，则，故此选项不符合题意． 故选：． 8、下列命题中，其逆命题成立的是（ ）。 ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④直角三角形的两个锐角互余． A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 【答案】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题； ④直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余三角形是直角三角形，是真命题； 故选：． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中． 9、对于命题“如果与互补，那么”，能说明这是假命题的反例是（ ）。 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】此题考查的知识点是命题与定理，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论．再根据选项解答即可． 【详解】解：、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故不符合题意； 、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故不符合题意； 、满足条件“与互补”，不满足结论“”，故符合题意； 、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故不符合题意； 故选：． 10、关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法不正确的是（ ）。 A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．原命题是真命题 C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题是真命题 【答案】 【分析】本题考查了写命题的逆命题，命题真假判断，把命题的条件与结论互换得到逆命题；写出命题的逆命题，判断出真假即可判断． 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题为：“两直线平行，同旁内角互补”，原命题与逆命题都是真命题，故选项错误； 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $