8.1为什么要证明导学案 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

8.1为什么要证明 【自主探究】 知识点一：观察、实验、归纳的局限性 1.观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段，但通过这些方式得到的结论________（填 “一定” 或 “不一定”）正确，因为________可能会欺骗我们。 2.要判断一个结论是否正确，仅靠观察、实验、归纳是不够的，还需要通过________进行严谨的验证。 针对训练一 8-1 1.如图 8-1，仅凭观察，你认为线段 a 与 b 的长度相等吗？； 请用直尺测量验证，实际长度（填 “相等” 或 “不相等”）， 这说明观察有时会产生误差。 8-2 2.如图 8-2，观察该四边形，你认为它是正方形吗？；请用直尺和量 角器检验，实际该图形（填 “是” 或 “不是”）正方形，由此可 知________不能作为判断结论的唯一依据。 请你用尺子将它的四个角，四条边测量出来并写在下面. _________________________________________________________. 3.如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，和你的感觉一样吗？大家一起算一算： 图3 设赤道周长为c，则赤道的半径为 . 铁丝围成的圆的半径为 . 所以铁丝与地球赤道之间的间隙为 ： . 结论 . 知识点二：证明的必要性 1.证明是判断结论正确性的________方法，它要求推理过程________、________。 2.当面对直观感受与实际结果可能不一致的问题时，________是解决矛盾、得出正确结论的关键。 针对训练二 1.小明猜想(a+b)2=a2+3ab+b2，请举一个具体的数值例子（如a=1，b=2），计算验证该猜想是否正确：计算过程：________________________________________________________________结论：该猜想________（填 “正确” 或 “不正确”），这说明归纳得到的结论需要________。 2.判断 “当 n 为正整数时，n2-n+11的值一定是质数” 这一结论是否正确，若不正确，请举一个反例：反例：当n= 时，n2-n+11 = ，该数是________（填 “质数” 或 “合数”）。 【素养提优】 1. 下列说法中，不能通过观察直接得出且需要证明的是（ ） A. 图 8-1 中线段 a 与 b 的位置关系 B. 三角形的内角和是180∘ C. 图 8-3 中铁丝与地球赤道的形状 D. 两条平行直线的外观特征 2.对于 “用一根比地球赤道长 1m 的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗？” 这一问题：（1）你的直观感受是________；（2）实际计算验证（提示：设地球赤道半径为 R，铁丝围成的圆半径为 r，利用圆的周长公式计算r−R）：计算过程：________________________________________________________________结果：r−R≈ m，这一结果与直观感受 （填 “一致” 或 “不一致”），说明________的重要性。 3.有人说 “两条直线相交，最多可以把一个平面分为 4 部分；三条直线相交，最多可以把一个平面分为7 部分”，请你通过画图验证该说法是否正确： 画图验证： 结论：该说法________（填 “正确” 或 “不正确”），验证过程中你用到了________和________的方法。 能力提优 1.已知：教材p39如图（1）中有三条线段 a，b，c，其中一条与线段 d 在同一条直线上。 （1） 先观察，你认为是哪一条？； （2）用直尺验证你的结论，实际与 d 在同一条直线上的是， 这一过程说明观察到的结论需要________来确认。 2.请举例说明 “观察、实验、归纳得到的结论可能不正确” 例子：________________________________________________________________ 结论：________________________________________________________________ 思考并回答：为什么需要证明？结合本节课的例子谈谈你的理解： 【中考链接】 1. （中考题改编）下列结论中，不能仅通过观察得到，必须通过证明才能确认的是（ ） A. 图中两条线段的长短 B. 一个三角形的形状 C. 多边形的内角和公式 D. 两点之间线段最短 2.（中考题改编）判断 “所有连接两点的线段中，最长的线段是过这两点的直线” 这一说法是假命题，只需举出一个反例： 反例：________________________________________________________________ 【达标测评】 教师寄语：自信源于实力！（共 10 分) 总得分:__________ 1.（2 分）观察、实验、归纳得到的结论________（填 “一定” 或 “不一定”）正确，因此需要通过________来判断结论的正确性。 2.（3 分）如图，观察该四边形后猜想它是正方形，用直尺和量角 器验证后发现它不是正方形，这说明（ ） A. 验证方法不正确 B. 观察不可靠，无需观察 C. 观察需要与验证相结合 D. 正方形的特征无法通过观察判断 3.（5 分）小明通过计算12+3×1+1=5（质数），22+3×2+1=11（质数），32+3×3+1=19（质数），归纳出 “当 n 为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数”，请你判断该归纳结论是否正确，若不正确，举一个反例说明。 解：________________________________________________________________ 答案： 【自主探究】 知识点一 1.观察、实验、归纳的局限性 不一定；眼睛（或直觉） 2.严谨的证明（或推理） 针对训练一 1.认为相等（或不相等）均可；相等； 2.认为是（或不是）均可；不是；观察（或直觉） 3.， ，，能放进一个拳头 知识点二：证明的必要性 1. 可靠（或根本）；有理；有据 2. 证明（或计算、推理） 针对训练二 1. 当a=1，b=2时，左边(1+2)2=9，右边12+3×1×2+22=1+6+4=11，9≠11； 不正确；证明（或验证） 反例：当n=3时，32+3×3+1=19（质数，不符合）； 当n=4时，42+3×4+1=29（质数，不符合）； 当n=5时，52+3×5+1=41（质数，不符合）； 当n=6时，62+3×6+1=55，55=5×11（合数）；故n=6，值为55，是合数（答案不唯一，n=6、n=−1等均符合） 【素养提优】 1.B 2.（1）答案示例：间隙很小，不能放进拳头； （2）计算过程：设地球赤道半径为r，周长C=2πr,r=； 铁丝周长C′=C+1=2πr+1，铁丝半径R= ​；间隙R-r=-≈0.16m；0.16；不一致；证明（或计算） 画图验证：两条直线相交，平面被分为 4 部分；三条直线中每两条都相交且不共点时，平面被分为 7 部分；正确；画图（实验）；观察 能力提优 1.(1)线段 a（或 b、c，根据直观判断）； （2）假设为线段 b；验证（或测量） 2.例子：计算n=0时，n2−n+11=11（质数）；n=1时，1−1+11=11（质数）；n=2时，4−2+11=13（质数）；归纳 “所有自然数n，n2−n+11是质数”，但n=11时，121−11+11=121=112（合数）； 结论：观察、归纳的结论可能不正确，需证明 思考：因为观察、直觉可能出错（如图 8-1 线段长短误判），归纳可能存在例外（如n2+3n+1并非全为质数），只有通过严谨证明，才能确保结论的可靠性，避免因直观误差或特例遗漏导致错误。 【中考链接】 1. C 2. 反例：连接 A、B 两点，线段 AB 是连接两点的线段，而过 A、B 的直线是无限延伸的，不存在 “最长线段”，且任意连接 A、B 的线段长度都等于 AB，不存在比 AB 更长的连接线段（解析：直线无长度，“最长线段” 说法错误，举具体两点的线段即可） 【达标测评】 1.不一定；证明（或推理、验证） 2.C 3.解：该结论不正确；反例：当n=6时，62+3×6+1=36+18+1=55，55=5×11，是合数，说明归纳结论不成立（反例合理即可） 学科网（北京）股份有限公司 $