8.1为什么要证明随堂练2025-2026学年鲁教版 （五四制）七年级数学下册

第八章证明 1 为什么要证明 列清单·划重点 知识点● 证明 证明的必要性；观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明. 明考点·识方法 考点① 证明的必要性 典例1 先观察图中的两个图形，再用直尺验证一下： l (1)图1中小棒的中间部分比两端宽吗? (2)图2中直线l 与m 平行吗? 思路导析根据题干提示解答即可，注意观察得到的结论不一定正确. 变式先观察再验证(如图). (1)图1中实线是直的还是弯曲的? (2)图2 中左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大? 考点② 生活或数学中的推理 典例2七年级 2 班小明、小华、小强三位同学玩“谁是卧底”游戏(规则：卧底提供的信息是完全相反的)，关于本班级篮球队本周年段小组赛的得分，他们三人的说法如下：小明：得分不少于 75分；小华：得分不少于 72 分；小强：得分为奇数.若小明是卧底，通过三人的对话分析可知该班篮球队本周年段小组赛的得分为( ) A.71分 B.72分 C.73分 D.74分 思路导析根据题干信息，给出得分的取值范围，然后对各选项逐一进行排除即可. 变式1 某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是( ) A.甲 B.甲与丁 C.丙 D.丙与丁 变式2 说明：两个奇数之和是偶数. 2 认识证明 第1课时 定义与命题 列清单·划重点 知识点① 定义 的句子叫作定义. 知识点② 命题 叫作命题. 注意命题不仅是一个完整的陈述句，而且还必须是判断句，通过句子可以对事物作出肯定或否定的判断. 知识点③ 命题的组成 一般地，每个命题都由 和 两部分组成. 命题通常可以写成“ ”的形式，其中“如果”引出的部分是 ，“那么”引出的部分是 知识点④ 真命题与假命题 1. 叫作真命题. 2. 叫作假命题. 知识点⑤ 反例 要判断一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使之具备命题的 ，而不具有命题的 ，就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例. 明考点·识方法 考点① 定义与命题的概念 典例1 下列语句中，是命题的是 ( ) A.连接A,B 两点 B.画一条线段等于已知线段 C.过点 M 画直线 PQ 的垂线 D.同旁内角不互补，两直线不平行 思路导析根据命题的定义逐一判断即可。 变式1 下面各个命题中，定义为 ( ) A.两点之间，线段最短 B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.在正数前加上符号“一”的数叫作负数 D.今天的天气很好 变式2下列语句是命题的有 ( ) ①你喜欢数学吗? ②熊猫没有翅膀 ③任何一个三角形一定有直角 ④作线段AB=CD ⑤无论 n是怎样的自然数，式子 的值都是质数 ⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 考点② 命题的组成 典例2 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式: (1)内错角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； (3)直角三角形两个锐角互余； (4)同角的余角相等. 变式请将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，再指出命题的条件和结论. (1)同号两数的和一定不是负数； (2)若x=2,则1-5x=0; (3)互为倒数的两个数的积为1. 考点③ 命题的真假 典例3下列命题是假命题的是 ( ) A.到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上 B.有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 C.如果 ab>0,那么a>0,b>0 D.三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 思路导析对各选项进行逐一判断即可. 变式有下列语句： ①画线段 AB ②两个负数的差一定是负数 ③同角的余角相等 ④如果直线a，b不相交，那么a 与b平行吗?其中是命题的有 ，是真命题的有 .(填序号) 考点④ 反例 典例4 举反例说明下列命题是假命题. (1)若 则x=0.4; (2)如果∠1+∠2=88°,那么∠1≠∠2. 思路导析根据反例的定义，举出一个例子，令其满足命题的条件，而不具有命题的结论即可. 变式举例说明命题“两个无理数a，b的和一定是无理数”是假命题，a= ，b= . 第2课时 基本事实与定理 列清单·划重点 知识点① 公理与定理 1. 称为公理. 2. 称为证明. 3. 称为定理. 注意公理与定理的联系：都是真命题.区别：公理不需证明，定理必须证明. 知识点② 常用的公理 1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线 . 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6. 的两个三角形全等. 7. 的两个三角形全等. 8. 的两个三角形全等. 知识点③ 证明一个命题的主要步骤 证明一个命题的正确性，要按“ ”“ ”“ ”的顺序和格式写出.其中“ ”是命题的条件，“ ”是命题的结论，而“证明”则是由条件(已知)出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步地推理，最后证实结论(求证)的过程. 明考点·识方法 考点① 基本事实和定理 典例1 下列语句中，属于基本事实的是( ) A.在直线 AB 上任取一点 E B.两点确定一条直线 C.有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 D.内错角相等，两直线平行 思路导析根据课本给出的常用基本事实判断即可. 变式 下面关于基本事实和定理的联系的说法不正确的是 ( ) A.基本事实和定理都是真命题 B.基本事实就是定理，定理就是基本事实 C.基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D.基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明 考点②命题的证明 典例2 命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，还是假命题?如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举一反例. 思路导析先判断该命题为真命题，然后可画出图示，将该命题的条件和结论分别转化为数学语言，进而利用已学知识证明即可. 变式 命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式; (2)证明该命题.(要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程) 1 为什么要证明 【明考点·识方法】 典例1 解：观察两个图形得到：(1)图1中间部分比两端宽；(2)图2 中直线l与m 不平行； 用直尺验证发现：(1)图1中间部分和两端一样宽；(2)图2中直线l与m平行. 变式 解：观察可能得出的结论是： (1)的实线是弯曲的； (2)右图中间的圆圈大. 用科学的方法验证可发现： (1)中的实线是直的： (2)左右两个中间圆一样大， 典例2 C 变式1 B 解析：因为甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数， 所以甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平, 因为甲、乙都没有输球，所以甲一定与乙平，因为丙得分3分，1胜0平，乙得分5分，1胜2平，所以与乙打平的球队是甲与丁. 变式2 解：设两个奇数分别为2m+1，2n+1,其中m,n为整数, 则(2m+1)+(2n+1)=2m+1+2n+1=2m+2n+2=2(m+n+1). 因为m，n，1都为整数， 所以m+n+1为整数, 所以2(m+n+1)是偶数, 所以两个奇数之和是偶数. 2 认识证明 第1课时 定义与命题 【列清单·划重点】 知识点1 对名称和术语的含义加以描述，作出明确规定 知识点2 判断一件事情的句子 知识点3 条件 结论 如果⋯⋯，那么⋯⋯条件 结论 知识点4 1.正确的命题 2.不正确的命题 知识点5 条件 结论 【明考点·识方法】 典例1D 变式1C 变式2 B 典例2 解：(1)如果内错角相等，那么两直线平行； (2)如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； (3)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； (4)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等. 变式 解：(1)如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数. 条件是两个数是同号，结论是这两个数的和一定不是负数； (2)如果x=2,那么1-5x=0. 条件是x=2,结论是1-5x=0; (3)如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1. 条件是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为1. 典例3C 变式 ②③ ③ 典例4 解:(1)当x=-0.4时, ∴x不一定等于0.4，∴命题为假命题； (2)当∠1=∠2=44°时,∠1+∠2=88°,此时∠1=∠2,∴命题为假命题. 变式 (答案不唯一) 第2课时 基本事实与定理 【列清单·划重点】 知识点I 1.公认的真命题 2.演绎推理的过程 3.经过证明的真命题 知识点 2 4.平行 6.两边及其夹角分别相等 7.两角及其夹边分别相等 8.三边分别相等 知识点3 已知 求证 证明 已知 求证 【明考点·识方法】 典例1 B 变式 B 典例2 解：真命题. 已知：如图，点P 在∠AOB 的平分线上，且PD⊥OA 于点 D,PE⊥OB 于点E. 求证:PD=PE. 证明:∵OP 平分∠AOB(已知), ∴∠AOP=∠BOP(角平分线的定义). 又∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知), ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义). 在△POD 和△POE 中, ∴△POD≌△POE(AAS), ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). 变式 解：(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； (2)已知：如图，a，b，c是同一平面内的三条直线,且a⊥c,b⊥c. 求证:a∥b. 证明:∵a⊥c,b⊥c, ∴∠1=90°,∠2=90°,∴∠1=∠2. 又∵∠1和∠2是同位角,∴a∥b. 学科网（北京）股份有限公司 $