精品解析：云南省昆明市第一中学2026届高三第六次月考数学试题

昆明市第一中学2026届高三第6次月考 数学学科 本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 校园AI编程创意赛有17位同学参赛，他们的作品评分互不相同，只有评分在前9名的同学能晋级决赛．若某同学知道自己的作品评分后，想判断自己能否晋级，则他只需要知道这17位同学评分的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数，众数，平均数及极差定义判断即可. 【详解】将17位同学的评分从高到低排序，第9名的分数即为这组数据的中位数， 晋级条件为评分在前9名，因此某同学知道自己的分数后，只需和中位数进行比较，即可判断自己能否晋级. 故选：B. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. 3 B. 9 C. 18 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】的展开式中的系数，即为的展开式中的系数， 根据二项式定理可知，的系数为， 故选：D. 3. 已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解集可求得实数的取值范围. 【详解】因为命题为真命题， 所以不等式的解集为， 若，则不等式可化为，满足题意； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：， 解得，综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 4. 已知为两个平面，是两条直线，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，又，可得或与相交，故A错误； 对于B，若，又，可得或与异面，故B错误； 对于C，若，又，则，故C正确； 对于D，若，又，，可得或或与相交，故D错误. 5. 已知双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的其中一条渐近线交于点（除原点外），若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】联立圆的方程与渐近线方程求出点坐标，结合中得到与的关系，代入离心率公式计算即可. 【详解】双曲线右焦点，，渐近线. 以为直径的圆的方程，即. 设点在渐近线上， 由消元整理得，即， 解得或（原点，舍去），此时，所以. 又，即，整理化简得（因，）. 所以. 故选：A. 6. 昆明马拉松活动中，将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法种类数为（ ） A. 12 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】先选后排可得答案. 【详解】将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点， 每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法种类数为. 故选：B. 7. 化简（ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数商的关系，诱导公式，辅助角公式，二倍角公式化简可得. 【详解】解析： 故选：A 8. 已知，以A，B为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，进而结合，求解即可. 【详解】设，， 因为，所以， 令， 该椭圆离心率为 ，解得或， 结合，所以，则的取值范围为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两个复数，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为实数，则 C. 若均为纯虚数，则为实数 D. 若为实数，则均为纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，复数，根据复数的运算法则和复数的概念，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】设复数，则， 对于A中，由，且，可得，所以， 所以，所以A正确； 对于B中，由，可得，即， 但与不一定相等，所以与不一定相等，所以B错误； 对于C中，由均为纯虚数，可得， 此时，所以C正确； 对于D中，由为实数，即， 可得，但不一定为，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，若在区间内不存在对称轴，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，求得对称轴方程，可得存在整数使得且，求解即可. 【详解】， 由，得的对称轴为， 由题意知，存在整数使得且， 即， 又因为，所以或符合题意，从而. 故选：ABC. 11. 已知直线及圆，则下列选项中正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线截圆所得弦长最小值为 C. 存在，使得直线与圆相切 D. 存在，使得圆关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，整理后方程，可求出直线所过定点；B选项，求出圆心和半径，得到当时，直线截圆所得弦长最短，由垂径定理求出弦长最小值；C选项，求出点在圆内，故C错误；D选项，当直线过圆心时，满足题意，代入计算即可. 【详解】对于A，直线，可得，， 可得直线经过定点，A正确； 对于B，圆，圆的圆心，半径为， 圆的圆心到定点的距离为， 当时，直线截圆所得弦长最小值为，B正确； 对于C，因为圆的圆心到定点的距离为（半径）， 所以直线与圆的位置关系是相交，不存在，使得直线与圆相切，C错误； 对于D，当直线经过圆的圆心时， 存在，使得圆关于直线对称，此时，解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件和互斥，且，，则___________． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的性质求解即可. 【详解】解析：由得， 又事件和互斥，所以， 所以. 故答案为：0.3. 13. 在中，角A，B，C的对边分别是，已知，则角___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理进行边化角，再运用二倍角公式，结合特殊三角函数值，即可得解. 【详解】解析：由得， 因为，故， 所以得，即， 因为，，故， 因此可得， 所以，故. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】因为， 所以， 所以函数在区间上单调递增， 即在上恒成立， 显然，所以问题转化为在上恒成立， 设， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 故， 所以的最小值为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 北京冬奥会的成功举办，不仅让世界进一步了解新时代的中国，而且极大促进了全国群众参与冰雪运动，此后每年冬季，全国多地群众都会积极参与冰雪运动．某城市为调查居民对冰雪运动的了解情况，随机抽取了该市男女市民各60人进行统计，统计结果如下表：（单位：人） 性别 冰雪运动 合计 了解 不了解 男 60 女 60 合计 80 40 120 已知从参与调查的男性市民中随机抽取一名，他了解冰雪运动的概率为． （1）求表中m，n，p，q的值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析并判断该市居民对冰雪运动的了解是否与性别有关联． 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7879 【答案】（1）， （2）不能判断该市居民对冰雪运动的了解与性别有关联，详细见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件先求出，进而根据表格数据求出其它参数. （2）根据公式先计算出卡方值，然后利用独立性检验原理判断即可. 【小问1详解】 依题意，，所以． 【小问2详解】 零假设：该市市民对冰雪运动的了解与性别无关联． ， 因此根据小概率值的独立性检验，不能判断该市居民对冰雪运动的了解与性别有关联. 16. 已知数列中，， （1）求； （2）若的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用累加法可求得； （2）由（1）可得，，利用裂项相消法可求得，可证结论. 【小问1详解】 由题意，， 累加得，，则， 经检验时也成立，所以． 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以，所以， ， 因为，所以． 17. 如图，几何体是由两个共底面ABCD的四棱锥拼接而成，共线，且平面ABCD，正方形ABCD的边长为． （1）求证：； （2）求平面PAB与平面的夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）求证，，进而得出平面即可证出； （2）以为原点建系，计算两个平面的法向量，再利用法向量计算两个平面的夹角. 【小问1详解】 因平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为正方形ABCD边长为2，且，所以，且， 所以，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 以为原点，DA，DC，DP分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，则， 设平面PAB的法向量为， 则，取，则， 由（1）可知，为平面SCB的法向量， 则， 所以平面PAB与平面的夹角的大小为． 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，且， （1）若为线段AC的中点， （i）求直线的斜率； （ii）求|AC|； （2）若点在抛物线上，满足，求取值范围． 【答案】（1）（i）；（ii）6 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由题意可求得，可求得，进而求得直线的斜率；（ii）利用求解即可； （2）求得直线BC的斜率为，线BP的斜率为，利用已知可得，进而可得，可求得取值范围． 【小问1详解】 （i）由题意知，焦点，因为为线段AC的中点，所以，即， 所以，即，所以直线的斜率为． （ii）由题意及（1），． 【小问2详解】 由题意知，直线BC的斜率为， 同理直线BP的斜率为， 因为，所以，所以， 又因为直线BC的方程为，所以点在直线BC上， 所以，所以， 所以， 所以，因为，所以， 当且仅当，即满足，所以取值范围为． 19. 已知函数． （1）证明：； （2）证明：； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）令，求导，可得函数的单调性，进而可证不等式； （2）由（1）得，可得，利用累加法即可求解. （3）由题意可得在恒成立，令，利用二次求导可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为函数， 所以， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以恒成立，所以． 小问2详解】 由（1）知恒成立，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以（其中）． 即，则， 所以． 【小问3详解】 恒成立， 即在恒成立， 即在恒成立， 令， 所以， 令，即，整理得： 令，所以在恒成立 所以在上单调递增，因为 所以使得，即 当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，因为， 所以， 令函数，因为在上单调递增， 所以，即 所以， 所以，所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学2026届高三第6次月考 数学学科 本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 校园AI编程创意赛有17位同学参赛，他们的作品评分互不相同，只有评分在前9名的同学能晋级决赛．若某同学知道自己的作品评分后，想判断自己能否晋级，则他只需要知道这17位同学评分的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 极差 2. 的展开式中的系数为（ ） A. 3 B. 9 C. 18 D. 27 3. 已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为两个平面，是两条直线，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的其中一条渐近线交于点（除原点外），若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 昆明马拉松活动中，将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法种类数为（ ） A. 12 B. 36 C. 48 D. 72 7. 化简（ ） A. -1 B. C. D. 1 8. 已知，以A，B为焦点椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两个复数，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为实数，则 C. 若均为纯虚数，则为实数 D. 若为实数，则均为纯虚数 10. 已知函数，若在区间内不存在对称轴，则值可以为（ ） A. B. C. D. 1 11. 已知直线及圆，则下列选项中正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线截圆所得弦长最小值为 C. 存在，使得直线与圆相切 D. 存，使得圆关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件和互斥，且，，则为___________． 13. 在中，角A，B，C的对边分别是，已知，则角___________． 14. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 北京冬奥会的成功举办，不仅让世界进一步了解新时代的中国，而且极大促进了全国群众参与冰雪运动，此后每年冬季，全国多地群众都会积极参与冰雪运动．某城市为调查居民对冰雪运动的了解情况，随机抽取了该市男女市民各60人进行统计，统计结果如下表：（单位：人） 性别 冰雪运动 合计 了解 不了解 男 60 女 60 合计 80 40 120 已知从参与调查的男性市民中随机抽取一名，他了解冰雪运动的概率为． （1）求表中m，n，p，q的值； （2）根据小概率值独立性检验，分析并判断该市居民对冰雪运动的了解是否与性别有关联． 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 16. 已知数列中，， （1）求； （2）若的前项和为，证明：． 17. 如图，几何体是由两个共底面ABCD的四棱锥拼接而成，共线，且平面ABCD，正方形ABCD的边长为． （1）求证：； （2）求平面PAB与平面的夹角的大小． 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，且， （1）若为线段AC的中点， （i）求直线的斜率； （ii）求|AC|； （2）若点在抛物线上，满足，求取值范围． 19. 已知函数． （1）证明：； （2）证明：； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $