精品解析：江西省南昌市2025-2026学年高二上学期数学期末教学质量检测题

2025-2026学年高二上学期数学期末教学质量检测卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某学校开设4门球类课程、5门田径类课程和2门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A. 40种 B. 20种 C. 11种 D. 9种 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据分类加法计数原理得答案． 【详解】解析：分类加法计数原理，种． 故选：C． 2. 根据3对数据绘制的散点图呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 9.5 B. 10 C. 10.5 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得样本中心，将其代入回归方程，列出方程，求得的值，得到答案. 【详解】由3对数据，可得， 将代入回归直线方程， 可得，解得. 故选：C. 3. 若曲线表示椭圆，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程即可列不等式求解. 【详解】椭圆需满足，解得且， 故选：B． 4. 已知事件A与事件B相互独立，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式，求得，独立事件的概率公式和条件概率的公式，即可求解. 【详解】因为事件A与事件B相互独立，且，可得，且， 则. 故选：A. 5. 设随机变量，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式，求得，再由，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，因为，所以， 又由，可得其对称轴为， 所以在单调递增，所以当，取得最大值，最大值为. 故选：B. 6. 某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（ ） A. 480种 B. 504种 C. 360种 D. 288种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得全排列数，再求得甲站在最左边，乙站最右边，以及甲站在最左边且乙站在最右边的排法数，结合间接法，即可求解. 【详解】由6名演员站成一排表演，共有种排法， 甲站在最左边，有种排法，乙站在最右边，有种排法， 甲站在最左端且乙站在最右端，有种排法， 所以甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有种排法. 故选：B. 7. 已知点P是双曲线C： 上一点，则点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，然后根据点到直线的距离公式列出点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积的表达式并进行化简，从而得到结果. 【详解】因为双曲线，所以， 所以双曲线的渐近线为， 设，则，化简得， 距离之积为， 故选：A． 8. 已知，直线与的交点在圆：上，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果. 【详解】直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 此时满足，解得. 故选：A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若，则n的值可以是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合组合数性质列式求解即可. 【详解】因为， 由组合数性质可得或，解得或， 检验可知或均符合题意. 故选：AB. 10. 设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用期望和方差的公式求得，结合期望与方差的性质，分别求得的值，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 则， 因为，所以 . 故选：ABC. 11. 已知倾斜角为的直线经过抛物线：()的焦点，且与抛物线交于两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，则（    ） A. 以为直径的圆与准线相切 B. 准线上存在唯一点，使得 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的定义和过焦点的直线确定A；由过焦点的线段的长度和准线确定B；由抛物线与直线的关系解三角形确定CD. 【详解】对于A：设，，， 的中点到准线的距离为， 故以为直径的圆与准线相切，故A正确； 对于B：以为直径的圆与准线相切，故准线上存在唯一点，使得，故B正确； 对于C、D：如图所示，过点作准线的垂线，垂足分别为点，，由倾斜角为， 可得，设，则，因为， 所以，，故C错误； 设，则，因为， 所以，所以，故D正确． 故选：ABD． 12. 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2BC=2，M、N分别为棱A₁D₁、BB₁的中点，则下列结论正确的是（ ） A. MN∥平面ACD₁ B. AC₁⊥平面CMN C. 异面直线CM与AD₁所成角的余弦值为 D. 若P为线段CD₁上的动点，则点P到平面CMN的距离为定值 【答案】C 【解析】 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的数量积，向量垂直和平行的性质，分别判断直线与平面的平行、垂直关系，计算异面直线所成角以及点到平面的距离是否为定值. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 已知，则，，，，， ，，，， ，，，，， 设平面的法向量为，则 ，令，解得，，所以， 因为，且不在平面中，所以MN不平行于平面ACD₁，所以A选项错误， 在B选项中，，所以与不垂直，即AC₁不垂直于平面CMN，所以B选项错误， 在C选项中，设异面直线CM与AD₁所成角为， 则，所以C选项正确， 在D选项中，设平面的法向量为，已知，， 则，令，则，代入方程得，所以， 又因为，所以， 所以不垂直于，即不平行于平面，所以点P到平面CMN的距离不是定值. 故选：C. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的展开式中的常数项为________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】通项，令，解得， 不是整数，所以该展开式的常数项为0. 故答案为：0. 14. 在四棱锥中，底面是平行四边形，且，若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由已知选取为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为E是棱PC上一点，且，即E是棱PC的中点， 所以， 则. 故答案为：1 15. 某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示第一天坐公交，事件表示第一天骑车，事件表示第二天坐公交， 则第一天坐公交和骑车的概率均为， 在第一天坐公交的条件下，第二天坐公交的概率为， 在第一天骑车的条件下，第二天坐公交的概率为， 所以，根据全概率公式，第二天坐公交概率为： ． 故答案为：. 16. 已知点A、B、C是离心率为的椭圆Γ： （a>b>0）上的三点，直线AB、AC、BC的斜率分别为k₁、k₂、k₃，点D、E、F分别是线段AB、AC、BC的中点，O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率分别为k₁'、k₂'、k₃'，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由点差法以及离心率可得，同理，，则可求. 【详解】设，则， ，， 由于点A、B在椭圆上，则， 两式相减得， 同时乘以得， 即， 由于，则， 则，即， 同理，， 由于， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知两点，直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若圆C的圆心在直线上，且两点在圆C上，求圆C的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系可得斜率，根据点斜式即可求解直线方程， （2）根据两点距离公式列方程求解,即可求解. 【小问1详解】 直线l斜率为3，斜率为，且过， 直线的方程为，即； 【小问2详解】 设圆心， 由得，解得， 故圆心的坐标为，半径， 圆的方程为． 18. 从0~7这8个数字中取出4个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】（1）1470 （2）750 【解析】 【分析】（1）根据首位不排0结合排列知识求解即可； （2）分个位为和个位不为的偶数两种情况讨论. 【小问1详解】 首位不排0，共个； 【小问2详解】 个位为0的四位数偶数：； 个位不为0的四位数偶数：， 总计个． 19. 某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． （1）估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； （2）若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解； （2）由，利用正态分布的对称性，求得的值，进而估计出成绩在内的学生的人数. 【小问1详解】 由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例, 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为. 【小问2详解】 解：由， 则 , 因为全市有60000名考生，所以该区间内的人数人， 所以成绩在内的学生人数大约为人. 20. 在菱形中，，，将菱形沿着对角线翻折，得到三棱锥，此时． （1）求证：平面⊥平面； （2）若点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接. 由题意可知，是边长为2的等边三角形， 所以，且. 在中，因为，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以平面⊥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，则需要证明线面垂直，即证明平面. （2）建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，因此以为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 所以. 所以. 设平面的法向量为，则，即. 令，则，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 21. 某调查小组研究短视频播放量与内容类型的关联性，从平台抽取容量为200的样本，整理数据如下： 播放量\内容类型 知识类 娱乐类 合计 高播放 50 70 120 低播放 30 50 80 合计 80 120 200 （1）是否有99%的把握认为短视频播放量与内容类型有关联？ （2）定义似然比R(B|A)=P(B|A)/P(Ā|B)，当R(B|A)≥1.35时，认为事件A条件下B发生有优势．现从200个样本中任选1个，A表示“选到高播放视频”，B表示“选到娱乐类视频”，估计R(B|A)的值，并判断是否有优势； （3）从知识类样本中按播放量分层抽样选出8个视频，再从这8个视频中抽取2个分析内容质量，求抽取的2个视频中高播放视频的个数X的概率分布和数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）没有99%的把握认为短视频播放量与内容类型有关联； （2），有优势； （3） 的分布列为： X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）由题中数据计算出进行判断； （2）根据表中数据计算进行判断； （3）按分层抽样从高播放抽取5个视频，从低播放抽取3个视频，服从超几何分布，得到分布列计算期望. 【小问1详解】 假设短视频播放量与内容类型无关联，由题中数据可得 ， 所以假设成立，即有99%的把握认为短视频播放量与内容类型有关联. 【小问2详解】 由题，，所以有优势. 【小问3详解】 从知识类样本中抽取个视频，则抽样比为, 所以从高播放抽取个视频，从低播放抽取个视频， 可取， ，，， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 22. 已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． （1）求的方程； （2）过点作两条直线、，交于两点，交于两点，且． ① 求证：为定值； ② 求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）① 证明： 由（1）知，设的斜率为，因为，则的斜率为， 则的方程为，联立方程组，整理得， 设，则， 则， 同理可得：， 所以， 所以为定值. ② 【解析】 【分析】（1）由点在曲线上，求得，再由，利用抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可求解； （2）①设的斜率为，得到的斜率为，得到和的方程，联立方程组，利用弦长公式分别求得，代入运算，即可得证； ②由，化简，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由抛物线，可得焦点，准线为， 因为点，可得，解得， 又因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①略； ②因为，所以四边形的面积为， 由①知：，， 所以， 令，则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期数学期末教学质量检测卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某学校开设4门球类课程、5门田径类课程和2门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A. 40种 B. 20种 C. 11种 D. 9种 2. 根据3对数据绘制的散点图呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 9.5 B. 10 C. 10.5 D. 11 3. 若曲线表示椭圆，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件A与事件B相互独立，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设随机变量，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（ ） A. 480种 B. 504种 C. 360种 D. 288种 7. 已知点P是双曲线C： 上一点，则点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，直线与的交点在圆：上，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若，则n的值可以是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 10. 设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知倾斜角为的直线经过抛物线：()的焦点，且与抛物线交于两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，则（    ） A. 以为直径的圆与准线相切 B. 准线上存在唯一点，使得 C. D. 12. 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2BC=2，M、N分别为棱A₁D₁、BB₁的中点，则下列结论正确的是（ ） A. MN∥平面ACD₁ B. AC₁⊥平面CMN C. 异面直线CM与AD₁所成角的余弦值为 D. 若P为线段CD₁上的动点，则点P到平面CMN的距离为定值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的展开式中的常数项为________． 14. 在四棱锥中，底面是平行四边形，且，若，则________． 15. 某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为________． 16. 已知点A、B、C是离心率为的椭圆Γ： （a>b>0）上的三点，直线AB、AC、BC的斜率分别为k₁、k₂、k₃，点D、E、F分别是线段AB、AC、BC的中点，O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率分别为k₁'、k₂'、k₃'，若，则________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知两点，直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若圆C的圆心在直线上，且两点在圆C上，求圆C的方程． 18. 从0~7这8个数字中取出4个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 19. 某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． （1）估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； （2）若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 20. 在菱形中，，，将菱形沿着对角线翻折，得到三棱锥，此时． （1）求证：平面⊥平面； （2）若点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 21. 某调查小组研究短视频播放量与内容类型的关联性，从平台抽取容量为200的样本，整理数据如下： 播放量\内容类型 知识类 娱乐类 合计 高播放 50 70 120 低播放 30 50 80 合计 80 120 200 （1）是否有99%的把握认为短视频播放量与内容类型有关联？ （2）定义似然比R(B|A)=P(B|A)/P(Ā|B)，当R(B|A)≥1.35时，认为事件A条件下B发生有优势．现从200个样本中任选1个，A表示“选到高播放视频”，B表示“选到娱乐类视频”，估计R(B|A)的值，并判断是否有优势； （3）从知识类样本中按播放量分层抽样选出8个视频，再从这8个视频中抽取2个分析内容质量，求抽取的2个视频中高播放视频的个数X的概率分布和数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 22. 已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． （1）求的方程； （2）过点作两条直线、，交于两点，交于两点，且． ① 求证：为定值； ② 求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $