精品解析：广东省广州市天河区2025-2026学年高一第一学期学业水平调研数学试题

2025学年第一学期学业水平调研 高一数学 本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解集合的元素，再根据元素与集合、集合与集合的关系逐一分析选项. 【详解】由，得或，因此集合， 选项A，是集合中的元素，所以，选项A正确； 选项B，是一个集合，集合与集合之间的关系应为包含（），而非属于（），选项B错误； 选项C，是集合中的元素，元素与集合的关系是属于（），而非包含（），选项C错误； 选项D，集合，而只包含元素，不包含，选项D错误. 故选：A. 2. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断. 【详解】由得不到，如，故充分性不成立， 反之，由可以得到，故必要性成立， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选:C. 3. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：B. 4. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可． 【详解】函数的定义域为， 函数在上单调递增， 又，， 根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为． 故选：B . 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式，结合齐次化求得，再根据正切和角公式求解即可. 【详解】由题知， 所以，解得， 所以 故选：D 6. 某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年16%的比例降低，要将当前的患病率降低一半，需要的时间约为（ ）（参考数据：，） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列出函数关系，再解对应方程求得对应的时间即可. 【详解】设当前患病率为，需要年降低到原来的一半, 因为疾病的患病率正以每年16%的比例降低， 所以，经过年后，患病率为， 令，即， 所以 故选：B 7. 若命题“，”为假命题，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题该命题的否定为真命题，再根据命题的否定为真命题，结合一元二次不等式恒成立求解即可. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 所以，解得， 所以实数k的取值范围为. 故选：A 8. 已知，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得，再根据同角三角函数关系得，最后结合诱导公式，正弦差角公式求解即可. 【详解】根据三角函数定义，， 因为，，所以 所以 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，则（ ） A. 该函数的最小正周期为π B. 该函数的图象关于点对称 C. 该函数的单调递减区间为 D. 该函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接求解最小正周期判断A；直接求解对称中心判断B；直接求解函数单调递减区间判断C；根据函数图象平移变换求解对应函数解析式判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故正确； 对于B，令，解得，即函数的对称中心为， 故函数的图象关于点对称，B选项正确； 对于C，令，解得， 所以函数的单调递减区间为，C选项正确； 对于D，函数的图象向右平移个单位得到，故D选项错误. 故选：ABC 10. 已知函数，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 为减函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入直接计算判断A；根据奇函数的定义判断B；根据，结合指数函数的单调性判断C；根据的单调性与奇偶性解不等式判断D. 【详解】对于A，因为，故，显然（），故A选项错误； 对于B，由题意函数的定义域为，关于原点对称，，故为奇函数，B选项正确； 对于C，，由于，故为上的单调递减函数，为上的单调递增函数，为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数，C选项正确； 对于D，由于为上的单调递减函数，且为奇函数， 所以， 所以，即，显然恒成立 所以恒成立，D选项正确. 故选：BCD 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 若在上恒成立，其中n为自然数，则n的最小值为2 D. 若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，直接代入求解判断A；根据，特殊值判断B；根据函数解析式依次分析的函数值的情况判断C；根据题意得或，再依次分析对应方程的根即可得答案. 【详解】对于A，由题知，故，A选项正确； 对于B，由题知，，显然不满足增函数的定义，B选项错误； 对于C，由题知，当时，；当时，， 当时，，恒成立， 所以在上恒成立，其中n为自然数，则n的最小值为2，C选项正确； 对于D，方程，即或， 因为当时，；当时，，当时，；当时，，当时， 所以当时，，无解，当时，有1个解，当时，有1个解 所以，共有2个解， 所以有4个实数根， 要使有4个实数根，，解得， 所以实数m的取值范围是，D选项正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为幂函数，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】因为为幂函数，所以，即. 故答案为： 13. 已知函数，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将代入解析式得，再直接求解 【详解】因为函数， 所以，即， 所以. 故答案为： 14. 已知函数在区间上单调，，且在区间上恰有4个零点，则_______，的取值范围为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据，结合函数单调性得为函数的一个对称中心，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合零点的个数，列出不等式求解即可. 【详解】因为函数在区间上单调， 且满足，， 所以的一个对称中心为，故， 因为，函数在区间上单调， 所以函数在区间上单调， 设函数的最小正周期为，则，即， 因为在区间上恰有4个零点，恰好为第一个零点， 所以，即，解得， 综上，的取值范围为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，（且）. （1）设的定义域为集合A，的定义域为集合B，求，； （2）解不等式. 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题知，，再根据集合运算求解即可； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：要使函数有意义，则，即， 要使函数有意义，则，即， 所以的定义域为，的定义域为， 所以，， 【小问2详解】 解：，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 16. 已知函数，，. （1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象； （2）用定义证明函数在区间上单调递减； （3），用表示，中的最小者，记为.例如，当时，.请写出函数的解析式.（直接写出结果，不用说明理由） 【答案】（1） （2） 设， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）直接作图即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数图象，分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 根据函数解析式，直接描点作图，图象如图所示： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数图象可知，当时，， 当时，，； 当时，，， 所以. 17. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. （1）要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? （2）要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，进而根据题意建立方程关系得，此时可建立函数关系，再结合基本不等式求解最值即可得答案； （2）根据题意解即可得答案. 【小问1详解】 解：因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5， 所以，当时， 因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数 所以当时，， 因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，、 所以，解得， 所以两项费用之和为， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，两项费用之和最小，为. 所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处 【小问2详解】 解：由（1）得两项费用之和为， 要使两项费用之和不超过13.5万元，即， 整理得，解得， 所以仓库到车站的距离应该在范围内. 18. 已知函数的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）已知函数. （i）求使成立的的取值范围； （ii）若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据图像确定振幅，利用相邻关键点的距离确定周期，进而求出，再代入特殊点求出相位； （2）（i）先将化简为单一三角函数形式，再解不等式； （ii）分别求出在上的值域，以及在上的值域，根据求的范围. 【小问1详解】 由图像得振幅, 周期，故，因此， 将点代入，得， 结合，解得， 因此； 【小问2详解】 依题意得：， （i）由，得：正弦函数满足该不等式的区间为：， 解得：， 所以的取值范围为； （ii）由，当时，， 所以，所以， 设，则， 令，则函数转化为， 关于的二次函数，开口向上，对称轴为：， 在区间上，当时，取最小值：， 当时，取最大值：， 因此在区间上的值域为：， 的值域的值域即：， 等价于，解得：. 故. 19. 已知函数的定义域为，值域为，且对任意的，均有. （1）若，，求； （2）证明：是增函数； （3）若，求证：对任意（，且），都有. 【答案】（1） （2） 设，则， 因为对任意的，均有， 所以， 因为函数的定义域为，值域为， 所以，，即， 所以在上是增函数 （3） 设，其中且， 令，则，， 因为对任意的，均有， 所以，对任意正整数有，取，得， 因为，所以， 又是增函数且， 所以， 所以，即 另一方面，由得，即， 所以 所以，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，进而得； （2）设，令，进而根据题意，结合函数单调性的定义证明即可； （3），则，，根据得，进而结合和已知条件得，再根据得到即可证明结果. 【小问1详解】 解：因为对任意的，均有，， 所以，即，， ，即， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期学业水平调研 高一数学 本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 3. （ ） A. B. C. D. 1 4. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年16%的比例降低，要将当前的患病率降低一半，需要的时间约为（ ）（参考数据：，） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 7. 若命题“，”为假命题，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，则（ ） A. 该函数的最小正周期为π B. 该函数的图象关于点对称 C. 该函数的单调递减区间为 D. 该函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为 10. 已知函数，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 为减函数 D. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 若在上恒成立，其中n为自然数，则n的最小值为2 D. 若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为幂函数，则实数______. 13. 已知函数，若，则______. 14. 已知函数在区间上单调，，且在区间上恰有4个零点，则_______，的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，（且）. （1）设的定义域为集合A，的定义域为集合B，求，； （2）解不等式. 16. 已知函数，，. （1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象； （2）用定义证明函数在区间上单调递减； （3），用表示，中的最小者，记为.例如，当时，.请写出函数的解析式.（直接写出结果，不用说明理由） 17. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. （1）要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? （2）要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 18. 已知函数的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）已知函数. （i）求使成立的的取值范围； （ii）若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，值域为，且对任意的，均有. （1）若，，求； （2）证明：是增函数； （3）若，求证：对任意（，且），都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $