精品解析：山东省济宁市嘉祥一中2025-2026学年高二上学期期末数学查缺补漏卷试题

嘉祥一中期末数学查缺补漏卷 2026.01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理依次判断各选项中的向量是否与向量，共面即可，不共面的则可作为平面的一个基底. 【详解】对于A，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即A错误； 对于B，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即B错误； 对于C，不妨设， 则有，方程组无解，即与向量，不共面，故可构成基底，故C正确； 对于D，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即D错误. 故选：C. 2. 下列求导正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D. 【详解】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D 3. 如图，三棱柱中，平面平面，且，，求异面直线与所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,由异面直线所成角的空间向量进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设所求的角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 4. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 5. 下列说法不正确的是（   ） A. 若数列是等比数列，则数列也是等比数列 B. 若是公差为负的等差数列，是其前n项和，若，则和是的最大值 C. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D. 直线不过第四象限，则或 【答案】C 【解析】 【分析】对于A项，由等比数列的定义进行判断；对于B项，由等差数列的各项的正负及单调性进行求解；对于C，D两项，由直线方程的性质进行求解. 【详解】对于A：若公比为，且，则，故， 显然是首项为，公比为的等比数列，对； 对于B：若公差为，则，且数列单调递减， 由，即，则时，时， 综上，和是的最大值，对； 对于C：截距相等包含直线过原点的情况，此时直线为，错； 对于D：由直线不过第四象限，则，可得或，对. 故选：C 6. 斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算. 【详解】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A 7. 已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】先令求出，当时，利用和两式相除，经过适当的变形得出数列是公差为的等差数列，进而求出，最后解不等式即可得出答案. 【详解】由题意，当时，则， 当时，①可得②，①②得：， 所以数列是公差为的等差数列，故， 令，又，所以的最小值为. 故选：B 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理列式，再结合求解出离心率的值. 【详解】如图，由点关于的对称点恰好在椭圆上，得，， 由椭圆定义，得， 在中，由余弦定理得 ， 则， 又，整理得，又椭圆的离心率， 于是，而，解得，所以的离心率. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（ ） A. B. 若与互斥，则 C. D. 若与相互独立，则和至少有一个发生的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率公式分别判断各选项. 【详解】由，， A选项：，A选项正确； B选项：由与互斥，即事件与不能同时发生，即，B选项错误； C选项：， 当时，，此时取得最小值为， 当与互斥时，，此时取得最大值为，C选项正确； D选项：与相互独立，则，， 即，D选项错误； 故选：AC. 10. 已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 两圆的公切线有2条 B. 直线的方程为 C. 若两点到直线的距离相等，则 D. 当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得圆心距，可判断A；两圆方程相减求得得公共弦的方程可判断B；求得两交点坐标，可得，求解可判断C；由题意有4个公共点时，求解可判断D. 【详解】由圆，可得圆，所以圆心，半径， 由圆，可得圆， 所以，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，故A正确； 因为圆与圆， 所以两圆的方程相减可得公共弦的方程：，即，故B正确； 由，得，代入圆，可得， 整理得，解得或，所以，， 由两点到直线的距离相等，所以， 解得或，故C错误； 由圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则，解得， 所以当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长为为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确为（ ） A. 若与平面所成的角为，则动点所在的轨迹为直线 B. 若三棱柱的侧面积为定值，则动点在椭圆上 C. 若与所成的角为，则动点所在的轨迹为双曲线 D. 若点到直线与直线的距离相等，则动点所在的轨迹为抛物线 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间中直线与平面的位置关系，结合圆锥曲线的定义求解即可. 【详解】 对于A，若与平面所成的角为，则，故动点所在的轨迹为圆，故A错误， 对于B，若三棱柱的侧面积为定值，且高为，可得为定值， 即为定值，且必有成立，故动点在椭圆上，故B正确， 对于C，由题意得//，//，故//，故运动成圆锥面，又面，面，故//面， 故该圆锥面与面交线为双曲线，故C正确， 对于D，由题意得点到直线与直线的距离相等，故点到点与到直线的距离相等， 可得动点所在的轨迹为抛物线，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与，若，则_____ 【答案】0或 【解析】 【分析】由两直线垂直的等价条件进行求解. 【详解】由,得, 解得或, 故答案为：0或 13. 已知数列满足，，则______，数列的前99项和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据递推公式列举出前几项，进而可求出及数列的周期，进而可得出答案. 【详解】由，， 得，，，，， ，， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以数列的前99项和为. 故答案为：；. 14. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是__________，的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】利用焦半径公式表示，利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可得到答案. 【详解】 ①由题意得，，设，，，  则，，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，解得， ∴. ②∵，∴， ∵，∴，即， ∵，当且仅当时等号成立， ∴，即， ∴，即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线综合问题，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； （2）不公平，理由若下： 由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个， 用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球， 表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间，． 可得， 记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则，所以， 所以， 因为，所以此游戏不公平． 【解析】 【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出. （2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平. 【小问1详解】 设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B， 则， 由已知得，解得， 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； 【小问2详解】 此游戏不公平，理由略. 16. 已知数列满足，数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），等式两边同时除以构造等差数列，即可求解； （2）当为偶数时，采用并项求和求得；当为奇数时，则为偶数，，而，代入即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴， 即数列为首项为公差为1的等差数列， ∴，∴； 【小问2详解】 ， 当为偶数时， 当为奇数时，则为偶数， ； 综上所述． 17. 在平面直角坐标系中，圆心为的圆C与y轴相切，动直线过点. （1）当时，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程； （2）圆C上存在点满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用弦长公式求得圆心到直线的距离，然后根据直线的斜率存在与不存在分类讨论，利用点到直线距离公式列出关于k的方程，求解即可； （2）设，由题意利用数量积的坐标运算求得M的轨迹方程，然后利用两圆有公共点列不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，圆心为，圆的方程， 则圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在时，则，此时直线与圆相切，不符合题意； 若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即. 则，得，解得， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 记圆的半径为，因为，则， 设，由得， 化简得：，即， 所以的轨迹为圆，记圆心为，半径为， 圆上存在点满足，即圆和圆有公共点， 所以，所以， 所以， 所以，解得，因为，所以， 所以实数的取值范围为. 18. 如图，在三棱锥中、底面ABD，．动点C在平面ABD内、且点A，C在直线BD两侧． （1）若四边形ABCD为正方形，求直线PC与平面PAB所成角的大小； （2）若点C到平面PBD的距离为、求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，设点，求得平面的法向量，利用点面距得到，设C点到直线PB的距离为，表达出，求出的最小值，进而求出三角形面积最小值. 【小问1详解】 底面ABD，平面， 所以，， 因为，四边形ABCD为正方形，所以， 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，，， 设平面PAB的一个法向量为，则， 所以，解得，令，则，故， 直线PC与平面PAB的所成角为， 所以， 所以直线PC与平面PAB的所成角的大小为； 【小问2详解】 过A作直线平面ABCD，又， 以A为原点，AB，AD，AW所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，设点， 可得，，， 设平面PBD的一个法向量为，则， 所以，解得，令，则，得， 设点C到平面PBD的距离为d， 则， 所以或， 因为点A，C在直线BD两侧，故，故舍去， 直线PB的单位方向向量为， 设C点到直线PB的距离为， 其中 则 ， 当且仅当时取等号， 综上，的面积 19. 已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求三角形面积的最大值； （3）设直线，的斜率为，，若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 证明：下面先说明：椭圆的弦的斜率（存在的情况下）为，为弦中点的坐标， 设弦的端点为，，则， 由，两式相减得， 则， 所以弦的斜率（存在的情况下）为. 设，，，， 根据，有，则， 两式相减得， 对比直线方程，即， 知直线过． 【解析】 【分析】（1）由题意得，再根据椭圆的定义求出，进而根据求出即可求解； （2）设，，设方程为，联立直线与椭圆方程，令，，结合韦达定理表示出，进而结合对勾函数的性质求解即可； （3）先说明：椭圆的弦的斜率（存在的情况下）为，为弦中点的坐标，进而设，，可得，，进而得到，再对比直线方程即可求证. 【小问1详解】 由题意得，，， 则，即， 所以，即所求椭圆方程为. 【小问2详解】 设，，设方程为， 由，得， 则，， 所以 ， 令，，则， 因为函数在上单调递增，且时，， 则，即的最大值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥一中期末数学查缺补漏卷 2026.01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导正确的（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三棱柱中，平面平面，且，，求异面直线与所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 4. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 5. 下列说法不正确的是（   ） A. 若数列是等比数列，则数列也是等比数列 B. 若是公差为负的等差数列，是其前n项和，若，则和是的最大值 C. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D. 直线不过第四象限，则或 6. 斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（ ） A. B. 若与互斥，则 C. D. 若与相互独立，则和至少有一个发生的概率为 10. 已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 两圆的公切线有2条 B. 直线的方程为 C. 若两点到直线的距离相等，则 D. 当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 11. 已知正方体的棱长为为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确为（ ） A. 若与平面所成的角为，则动点所在的轨迹为直线 B. 若三棱柱的侧面积为定值，则动点在椭圆上 C. 若与所成的角为，则动点所在的轨迹为双曲线 D. 若点到直线与直线的距离相等，则动点所在的轨迹为抛物线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与，若，则_____ 13. 已知数列满足，，则______，数列的前99项和为______． 14. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是__________，的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 16. 已知数列满足，数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 在平面直角坐标系中，圆心为的圆C与y轴相切，动直线过点. （1）当时，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程； （2）圆C上存在点满足，求实数的取值范围. 18. 如图，在三棱锥中、底面ABD，．动点C在平面ABD内、且点A，C在直线BD两侧． （1）若四边形ABCD为正方形，求直线PC与平面PAB所成角的大小； （2）若点C到平面PBD的距离为、求的面积的最小值． 19. 已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求三角形面积的最大值； （3）设直线，的斜率为，，若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $