精品解析：天津市滨海新区大港油田第三中学2025-2026学年高三上学期12月阶段性检测（第二次月考）数学试题

油田三中2025-2026学年度第一学期高三年级12月阶段性检测 数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集的意义与交集的意义可求解. 【详解】因为，，所以， 由，得，又， 所以. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解. 【详解】对于B，当时，，易知，， 则，不满足图象，故B错误； 对于C，，定义域为， 又，则的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项A，满足图中性质，故A正确. 故选：A. 4. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质推理判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；利用线线、面面平行关系判断C；利用面面垂直及线面平行关系判断D. 【详解】对于A，由，，得，而，则，A错误； 对于B，由，得存在过的平面且与不重合，则， 由，得存在过的平面，则， 又，因此，又，则，B正确； 对于C，由，，，得与相交或平行，C错误； 对于D，由，，，得与相交、平行或异面，D错误. 故选：B 5. 下列结论中，错误的是（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B. 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，将数据排序后，根据百分位数的定义得到答案；B选项，由正态分布的对称性得到答案；C选项，将样本中心点代入回归方程，求出；D选项，由得到D错误. 【详解】A选项，数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9， ，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A正确； B选项，因为，根据对称性可知， 故，B正确； C选项，已知经验回归方程为，且，则， 解得，C正确； D选项，，故不能得到此结论，D错误 故选：D 6. 已知等差数列的公差为，记数列的前项和为，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量的计算求得首项，由数列单调递增，可得前3项为负，计算可求得前8项和. 【详解】因为等差数列的公差为，所以，解得， 所以， 因，数列单调递增，所以数列前3项为负， 所以 . 故选：D. 7. 函数 的零点所在区间是（ ） A. （1，2） B. （2，3） C. （3，4） D. （4，5） 【答案】C 【解析】 【分析】函数在上单调递增，计算；；；；，根据零点存在定理得到答案。 【详解】，则；；； ；； 易知函数在上单调递增 根据零点存在定理知：之间有唯一零点 故选： 【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用，计算函数值的正负是解题的关键。 8. 已知函数（）图象的一个对称中心为，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上的值域为 D. 将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 【答案】D 【解析】 【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D. 【详解】由题意可得，解得， 又，故，即； 对A：当时，， 由函数在上不为单调递增， 故在区间上不为单调递增，故A错误； 对B：当时，， 由不是函数的对称轴， 故不是图象的对称轴，故B错误； 对C：当时，， 则，故C错误； 对D：将图象上的所有点向左平移个长度单位后， 可得， 该函数关于y轴对称，故D正确. 故选：D. 9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设在第三象限，与渐近线垂直，写出直线方程，与方程联立求得点坐标，再根据得向量的关系，从而得点坐标，点坐标代入双曲线方程变形可得，得渐近线方程． 【详解】， 不妨设在第三象限，与渐近线垂直，的斜率为，直线方程为， 由，得， 设，由知，即， 所以，，在双曲线上， 所以，化简得，， ，， 所以渐近线方程是． 故选：D． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 已知（为虚数单位），则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的代数运算法则即可解出． 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 11. 设的展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为_________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由二项式系数的性质，可得，解可得，； 的展开式为， 令，可得，则展开式中常数项为15． 故答案为：15. 12. 已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得直线与直线垂直，进而可得出答案. 【详解】， 因为以点为圆心的圆与直线相切于点， 所以直线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 13. 甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球．①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则________；②从甲、乙两罐中分别随机各取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为________． 【答案】 ①. ##0.6 ②. ##0.9 【解析】 【分析】利用条件概率的概率公式可求条件概率，设取得黑球的个数为，利用乘法公式可求的分布列，从而可求其期望. 【详解】， 设取得黑球的个数为，则可取， 又，， ， 故的分布列为： 0 1 2 故 故答案为： 14. 在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为__________；若的面积为，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运算公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据向量的运算法则， 可得， 设，因为的面积为，可得，即， 又由 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：；. 15. 已知函数，若有且仅有不相等的三个正数，使得，则的值为_________，若存在，使得，则的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出函数图象，结合图象分析，可得． 【详解】所画出函数的图象 有且仅有不相等的三个正数使 由图分析可得 令 则，， 若存在，使得，令，则 为的两根，为的两根 ，且 的范围是 故答案为； 【点睛】本题考查分段函数函数图象，数形结合思想，属于一般题． 三、解答题；本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且，，． （1）求的面积； （2）求边的值和的值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）由同角公式求出，再利用三角形面积公式求解即得. （2）利用余弦定理、正弦定理直接求解. （3）由（2）的结论并求出，再利用二倍角公式、差角的余弦公式计算得解. 【小问1详解】 在中，，，则， 所以的面积. 【小问2详解】 由余弦定理有，，则， 由（1）知，，由正弦定理，得. 【小问3详解】 由（2）知，，而，则是锐角，， 又，， 所以． 17. 如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接，交于点，可得是的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）连接交于点，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（2）得平面的法向量为，再由， 结合点面距的向量计算公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为原点，以正方向分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则有， 取，可得，，所以， 又由，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 则， 故平面与平面夹角余弦值为. 【小问3详解】 解：由（2）知：平面的法向量为， 又由， 则， 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的左焦点F与抛物线的焦点相同，且椭圆C的离心率为． （1）求椭圆C方程； （2）直线l与椭圆有唯一的公共点M（点M在第二象限，此直线l与y轴的正半轴交于点N，直线与直线交于点P且，求直线l的斜率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程确定其焦点坐标，可得椭圆中的c值，结合离心率和公式计算即可求解； （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，列出韦达定理，求出点、的坐标，进而求出点的坐标，由已知可得出，可求得，结合可求得的值. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 与椭圆的左焦点F相同，所以，即， 又椭圆的离心率为，即，所以， 则， 故椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且， 联立，消去并整理，得， ，可得， 有，得， 则，则点， 因为点在第二象限，则，则，直线的方程为， 在直线的方程中，令可得，即点，易知点， ，则直线的方程为， 联立，得，即点， 因为，即，即， 可得，则，将代入， 得，则， ，解得. 19. 已知等差数列和等比数列满足：，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比，从而求得通项公式． （2）利用裂项相消法求得． （3）利用错位相减法求得，利用差比较法求得的取值范围． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 则． ． 【小问3详解】 由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． 20. 已知，． （1）求函数在处的切线方程； （2）对一切，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：对一切，有成立． 【答案】（1） （2） （3）证明： 对一切，都有成立， ∴，∴， 由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到． 设，则， ∵时，，时，，∴， 从而对一切，成立． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，求出函数在处的切线斜率，进而求得切线方程. （2）不等式整理为恒成立，只需求出右式的最小值即可，构造函数，利用求导的方法得出函数的最小值； （3）根据不等式的形式可得，只需使的最小值大于右式的最大值即可，构造函数，利用求导得出函数的最大值． 【小问1详解】 ，∴ 所以，所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 因为在上恒成立，∴恒成立， 令，则， 由，得，，时，； 时，．∴时，．∴． ∴实数的取值范围是． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 油田三中2025-2026学年度第一学期高三年级12月阶段性检测 数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 下列结论中，错误的是（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B. 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 6. 已知等差数列的公差为，记数列的前项和为，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 7. 函数 的零点所在区间是（ ） A. （1，2） B. （2，3） C. （3，4） D. （4，5） 8. 已知函数（）图象的一个对称中心为，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上的值域为 D. 将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 已知（为虚数单位），则________． 11. 设的展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为_________. 12. 已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则__________. 13. 甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球．①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则________；②从甲、乙两罐中分别随机各取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为________． 14. 在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为__________；若的面积为，则的最小值为________． 15. 已知函数，若有且仅有不相等的三个正数，使得，则的值为_________，若存在，使得，则的取值范围是_________. 三、解答题；本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且，，． （1）求的面积； （2）求边的值和的值； （3）求的值． 17. 如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的左焦点F与抛物线的焦点相同，且椭圆C的离心率为． （1）求椭圆C方程； （2）直线l与椭圆有唯一的公共点M（点M在第二象限，此直线l与y轴的正半轴交于点N，直线与直线交于点P且，求直线l的斜率． 19. 已知等差数列和等比数列满足：，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知，． （1）求函数在处的切线方程； （2）对一切，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：对一切，有成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $