江西萍乡市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满 分150分，考试时间120分钟. 第卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.经过两点A(0,4),B(V3,1)的直线的倾斜角为 A君 B: 3 C. 3 ·D. 2.（1-x)'的展开式中，x2项的系数为 A.-21 B.-35 C.21 D.35 3.已知空间中三个向量AB=Q,2,3),AC=(2,-1,-1),AD=(9,x,-1)共面，则实数x的值为 A.1 B.2 C.-1 D.-2 4已知双自线导茶=0>06>0的一条新进线的锁解角是另一条新近镜的候系角的两信，则 其离心率为 A,2 B.√2 C.2√2 D.25 3 5.设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X,若X-NQO0,neN,),为使零件的尺寸在 (99.5,100.5)内的概率不小于0.9974，则n的值至少是 【注：若X-N(μ，o2),则P(μ-3o<X<μ+3o)=0.9974】 A.16 B.25 C.36 D.49 6.已知某正四棱柱的底面边长为2，高为2√2，MN为其一条体对角线，点P在该正四棱柱底面 上运动，则PM.PN的取值范围为 A.[-3,1] B.[-3,0] c.[-2,1 D.[-2,0] 7.设点M(x。,yo)为抛物线C:y2=4x上任意一点，P为直线1：x-2√2y+8=0上一动点，则 x+|MP|的最小值为 A.3 B.2W2 C.2 D.2√5-1 8.满足W3a-5b+1=25a-4b+1=va2+b2的实数对(a,b)共有 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 高二数学第1页（共4页） 流只 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 二、多项选择题：本大题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题正确的是 A.已知C2=C-5,则x=7 B若0<P(A)<1,0<P(B)<1;且P(A)=1-P(AB),则A,B相互独立 C.若随机变量5-B4,日，则PG≤)=80 81 D.二项展开式(x+2y)°的所有项的系数和为2 .x2y2 0.已知RE是双曲线C1Q>0,b>0)与椭圆C:名+，=1的公共焦点，点A是 C,C2在第一象限的公共点，则 A.a2+b2=34 B.若A51A,则C的方程为号-父=】 79 C.若1M5H5R,则C的渐近线方程为y= 3+ D.若△4RB的内切圆面积为元，则C,的离心率为4W 7 11.已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，点M为CC,的中点，点P为正方形AB,CD上的动 点，则 A.满足MP∥平面BDA的点P的轨迹长度为√ B.满足MP LAM的点P的轨迹长度为互 2 C.存在点P满足PA+PM=4 D.存在唯一的点P满足∠APM= 2 高二数学第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 第川卷 注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答，答题无效， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a=(3,3,-2),b=1,1,3),则a(a-2b)= 13.已知箱圆C:兰+兰=1心>0)的左、右焦点分别为5，B,M是精圆C上一点，直线s与 4 y轴负半轴交于点N,若而两=0，且丽=+R,则椭圆C的焦距为 14.有5个相同的球分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记随机 变量X为取出的3次球所对应的数字的极差，则X的数学期望E(X)= 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在平面直角坐标系x0y中，A(2,0),B(0,2),C(-√2，-√2). (1)求△ABC的外接圆的标准方程； (2)已知P为线段AB上异于A,B的点，Q为线段CP的延长线上一点，若C0.C2=1C西P, 请判断点2与△ABC的外接圆的位置关系，并求点2到直线AB的距离的最大值. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且 两两夹角为60°，设AB=a,AD=b,A=c.M为AC的中点. (1)用a,b,c表示向量AM,并求线段AM的长： D M 9 (2)求异面直线AM与BD,所成角的余弦值， 0 高二数学第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(本小题满分15分) 某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5位同学去A,B,C三家不同的公司实习，每位同学只去一家公司， 每家公司至少去1人： (1)若已知甲、乙在同一家公司实习，则丙、丁也在同一家公司实习的概率是多少？ (2)记在A公司实习的同学人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望. 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,ADIIBC,PA=AD=2AB=2BC=2. (1)证明：CD⊥平面PAC: (2)动点M在△PAD所在的平面内，且BM⊥DM. ①求动点M的轨迹的长度： ②设直线CM与平面PBD所成的角为日，求sin0的最大值 19.(本小题满分17分) 已知双曲线c:y F存尔=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为，5，直线1：y=V3x是C的一条渐 近线，以FE为直径的圆与l相交于M,N两点，四边形MENE的面积为16√5. (1)求C的标准方程； (2)过点H1,0)的直线与双曲线的右支交于A,B两点，过点A,B分别作直线m:x=4的垂线（点 A,B分别位于m的左、右两侧)，垂足分别为P,2,分别记△APH,△BQH,△PQH的面积为 1,S2,S3 ①求证：直线OA过定点： ②试问：是否存在常数1，使得2S2=S,S,？若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由. 高二数学第4页（共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描AP 萍乡市2025—2026学年度第一学期期末考试 高二数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题（8×5=40分）：CBDAC；DCB． 【8解析】由题知，，即点与点到直线的距离均为．以为圆心作半径的圆，以为圆心作半径的圆，则，即两圆外切，共有三条公切线（如图），其中有一条经过原点（），另外两条不过原点．又因为不过原点，所以有对这样的实数对，使得点与点到直线的距离均为． 二、多项选择题（3×6=18分）：BC；BCD；ABD． 【说明：第9题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分；第10，11题全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分．】 三、填空题（3×5=15分）：12．； 13．； 14．． 四、解答题（共77分） 15．（1）【方法一】依题意：的中垂线方程为，的中垂线方程为，联立，得，故的外接圆的圆心为，半径， 3分 所以的外接圆的标准方程为； 5分 【方法二】设的外接圆的一般方程为，代入，，，得，解得， 3分 所以的外接圆的标准方程为； 5分 （2）设，由得：， 7分 化简得，所以点在的外接圆上； 9分 直线的方程为，点到直线的距离， 11分 故点到直线的距离的最大值． 13分 16．（1）由题知，， 2分 因为， 4分 所以， 6分 所以，即线段的长为； 7分 （2），，故， 9分 则， 12分 则， 14分 故异面直线与所成角的余弦值为． 15分 17．（1）记“甲、乙在同一家公司实习”为事件，“丙、丁在同一家公司实习”为事件，“甲、乙、丙、丁、戊5位同学去三家不同的公司实习”的所有情形共有种， 2分 则，， 4分 则； 6分 （2）的取值可以为1，2，3， 7分 ，，， 13分 所以的分布列为： 1 2 3 14分 数学期望． 15分 18．（1）证明：因为平面，平面，所以， 2分 因为，，，所以， 3分 则，所以， 4分 又平面，平面，故平面； 5分 （2）以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，设， 6分 ①，由得， 7分 故动点的轨迹是平面内以为圆心，为半径的圆，轨迹的长度为； 9分 ②，，， 10分 设平面的法向量，则，取，则， 12分 ， 14分 设，在平面内，直线与圆有公共点，联立方程并化简得：，则，解得， 16分 则当时，取得最大值为． 17分 19．（1）依题意：，即，设焦距为，由得， 2分 因为，所以四边形为矩形，其面积为， 3分 由题知，为等边三角形，则，在直角中，有，则，解得，则，， 4分 故双曲线的标准方程为； 5分 （2）如图，设直线交直线于点，连接并延长交轴于点． ①设，，则，，设直线的方程为：，则，直线的方程为：，化简得：（*），联立直线与双曲线的方程并化简得，则（由和解得），则， 9分 故（*）式可化简，即直线过定点； 12分 ②存在，使得，证明如下： ，，， 14分 则，又， 则，又由得，， 则， 16分 故存在实数，使得． 17分 命题：欧阳丽（芦溪中学） 曾 星（芦溪中学） 张 斐（芦溪中学） 审核：胡 斌（市教研室） 学科网（北京）股份有限公司 $