精品解析：天津市武清区天和城实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024-2025 高二年级上学期第一次形成性练习数学试卷 一、单选题 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 2. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线l：，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C. 直线l的斜率可以等于0 D. 若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 二、填空题 10. 点到直线的距离为______． 11. 已知直线与平行，则的值是_____. 12. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 13. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_____ 14. 如图所示，在直四棱柱 中，，点在棱上，且，则点到平面的距离为______. 15. 直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是______． 三、解答题 16. 的三个顶点、、，D为BC中点，求： （1）BC边上的高所在直线的方程； （2）中线AD所在直线的方程． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. （1）求平面； （2）求直线BE与平面所成角的正弦值. 18. （1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 19. 中, , 边上的高所在直线的方程为,边上的中线所在直线的方程为 . （1）求直线的方程; （2）求直线的方程; 20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 高二年级上学期第一次形成性练习数学试卷 一、单选题 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，且，所以，解得， 故选：B. 2. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由空间共面向量可得，代入解方程即可得出答案. 【详解】若空间向量共面， 则，所以， 所以，解得：. 故选：B. 3. 如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 5. 直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：由直线的方向量求出直线斜率，然后利用点斜式可求出直线方程；方法二：由已知可得直线的一个法向量为，则设直线为，再将代入求出，从而可得直线方程. 【详解】方法一 ∵直线的一个方向向量为，∴， ∴直线的方程为，即． 方法二 由题意知直线的一个法向量为， ∴直线的方程可设为，将点代入得， 故所求直线的方程为． 故选：B 6. 如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由与中同号，分类讨论递增与递减，得到结果. 【详解】当时，直线过原点，且单调递增， 直线单调递增，且纵截距为正数， 没有符合的图象． 当时，直线过原点，且单调递减， 直线单调递增，且纵截距为负数， C选项符合． 故选：C 7. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 8. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：以基底，表示，代入向量夹角公式计算即可； 法二：分别以所在的直线为轴，通过向量的坐标运算计算即可； 法三：由，将直线和夹角即为直线和所成角或其补角，通过余弦定理即可求解. 【详解】化为空间向量问题，以作为基底，则 ， 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于.进行向量运算 因为四面体为正四面体，所以且夹角均为， 所以 . 故选：C. 【法二】分别以所在的直线为轴 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2， 得 得. 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于. 进行向量运算得.. 故选：C 【法三】连接，易得， 则直线和夹角即为直线和所成角或其补角， 设正方体的棱长为2， 则中，， 由余弦定理得，. 故选：C 9. 已知直线l：，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C. 直线l的斜率可以等于0 D. 若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 二、填空题 10. 点到直线的距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 11. 已知直线与平行，则的值是_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据两直线平行计算即可，注意排除两直线重合. 【详解】直线与平行， 所以，解得：或, 当时，直线方程为：， 直线方程为：,两条直线平行且不重合，符合条件 当时，直线方程为：， 直线方程为：,两条直线平行且不重合，符合条件； 则的值是或. 故答案为：或 12. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 【答案】 【解析】 【详解】考点：两条平行直线间的距离． 分析：通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可． 解：直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==． 故答案为． 13. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_____ 【答案】或 【解析】 【分析】考虑截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程. 【详解】当截距为0时，设， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 14. 如图所示，在直四棱柱 中，，点在棱上，且，则点到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由距离公式求解即可. 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为，则 令，则. 点到平面的距离. 故答案为：. 15. 直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可. 【详解】因为：与直线：的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为： 三、解答题 16. 的三个顶点、、，D为BC中点，求： （1）BC边上的高所在直线的方程； （2）中线AD所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解. （2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解. 【小问1详解】 解：∵、，BC边斜率k，故BC边上的高线的斜率k＝，故BC边上的高线所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：BC的中点，中线AD所在直线的斜率为，故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. （1）求平面； （2）求直线BE与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，得， 则，设平面的法向量， ，所以，取，得 因为， 所以．所以． 又面． 所以面． （2） 【解析】 【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）利用空间向量求线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正方体中，平面 故是平面的法向量， 因为， 所以， 所以直线和平面所成的角的正弦值为． 18. （1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知所求直线经过两点，求出直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）由题意可设直线的方程为，再利用待定系数法求出即可. 【详解】（1）由题意可知所求直线经过两点， 则直线的斜率， 所以直线方程为，即； （2）由题意可设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 19. 中, , 边上的高所在直线的方程为,边上的中线所在直线的方程为 . （1）求直线的方程; （2）求直线的方程; 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由所在直线的方程，利用直线垂直的充要条件求出直线的斜率，再由点斜式可得出的直线方程； （2）先求出点，点的坐标，再根据两点式写出的直线方程. 【小问1详解】 由已知得直线的斜率为, ∴边所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 由,得. 即直线与直线的交点为. 设, 则由已知条件得, 解得, ∴. ∴边所在直线的方程为, 即. 20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明： ，，, 四边形为矩形， 在中，，，， 则, ，， 平面平面，平面，平面平面， 平面； （2） （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，. 【解析】 【分析】（1）证明出四边形为矩形， 在中，，，，利用余弦定理求出,利用勾股定理的逆定理得到，利用面面垂直的性质定理得到平面，从而得到证明结论； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量的数量积得到， 继而得到二面角的正弦值； （3）设，求的坐标，利用向量法求出直线与平面所成的角的正弦值，得到的等式，解得的值，求出，从而得到结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，. 则，，，，. 设平面的法向量为，，. 由，取. 设平面的法向量为，， 由，取. . 设二面角为，则， ， ， ， ， 二面角的正弦值为. 【小问3详解】 设， 则， 平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为， 解得， 则有. 故在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为， 且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $