精品解析：广东省珠海市广东实验中学金湾学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

珠海市广东实验中学金湾学校高一年级12月月考 数学试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 5. 已知函数的图象恒过点，若点也在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 为了解决大尺度问题的压缩，物理学家、地震学家里克特设计了一种度量方式：里克特震级，简称里氏震级，后来经同行古登堡的改进和完善，得到了震级的计算公式，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，并通过研究得出了地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，.请问10.0级地震释放的能量是6.0级地震的约多少倍？（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 11. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法正确的有（    ） A. 定义域为 B. 当时，的值域为 C. 为偶函数 D. 在实数集上不具有单调性 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数，则__________. 13. 已知半径为的扇形面积为，则该扇形圆心角的弧度为________． 14. 已知函数，当，时，，则的最小值为_____________ 15. 化简与求值： （1）计算： ①；②． （2）已知，若，求下列各式的值： ①；②． 16. 角顶点为原点，始边在轴非负半轴，终边上的一点， （1）若，求，的值； （2）若 ①求中的值； ②求的值. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）求使成立的实数a的取值范围. 18. 已知是定义在R上的奇函数，当时， （1）求的解析式和单调区间，并画出简图； （2）讨论方程的根的个数． 19. 已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市广东实验中学金湾学校高一年级12月月考 数学试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据并集的运算求解即可. 【详解】， 因为，所以. 故选:B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可直接写出答案. 【详解】的否定为 故答案为：A. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【详解】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论. 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 5. 已知函数的图象恒过点，若点也在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过对数函数的性质求出定点的坐标，再将点坐标代入函数求出的值即可. 【详解】对于函数，由恒成立. 故令，解得，把代入函数，解得. 所以函数过定点. 将代入得，解得. 故选：C 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数、指数函数的单调性比较大小. 【详解】函数在上单调递增，； 函数在上单调递减，， 所以. 故选：A 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域，是由和复合而成，求出二次函数的单调性以及对数函数的单调性，由复合函数的单调性即可求解. 【详解】由可得或， 所以的定义域为， 设， 则是由和复合而成， 因为对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是. 故选:B. 8. 为了解决大尺度问题的压缩，物理学家、地震学家里克特设计了一种度量方式：里克特震级，简称里氏震级，后来经同行古登堡的改进和完善，得到了震级的计算公式，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，并通过研究得出了地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，.请问10.0级地震释放的能量是6.0级地震的约多少倍？（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际问题分别计算10.0级地震释放的能量和6.0级地震释放的能量，结合对数运算性质即可求解． 【详解】解：10.0级地震释放的能量为，则， 6.0级地震释放的能量为，则， 所以，，则． 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义与常见函数的单调性逐一判断. 【详解】A选项，在上单调递减， 且，故是奇函数，满足要求，A正确； B选项，定义域为， 且，故为偶函数，B错误； C选项，定义域为， 且，故为偶函数，C错误； D选项，定义域是，关于原点对称， 且，故是奇函数， 且在上单调递减，D正确. 故选：AD 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的解集得出选项A，利用根与系数的关系得出的值，即可判断选项B、C，然后将的值代入选项D中，利用一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】由不等式的解集为， 由题意得不等式对应的方程的根为：， 由根与系数的关系得：， 解得：，所以A选项正确， 由，所以B选项正确， 由，故C选项不正确， 不等式为：， 解得：，即所求不等式的解集为，故D选项正确， 故选：ABD 11. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法正确的有（    ） A. 定义域为 B. 当时，的值域为 C. 为偶函数 D. 在实数集上不具有单调性 【答案】ACD 【解析】 【分析】由狄利克雷函数定义，奇偶性和单调性的定义逐项判断即可. 【详解】选项A，因为（其中，且），而， 所以的定义域为，所以A的说法正确； 选项B，根据函数的对应法则，是有理数时，是无理数时，所以的值域为，所以B的说法错误； 选项C，若，则，； 若，则，，综合可得，所以为偶函数，所以C的说法正确； 选项D，由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在和之间无间隙转换， 所以在实数集上不具有单调性，所以D的说法正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据分段函数解析式计算即可. 【详解】由于， 所以, 故答案为： 13. 已知半径为的扇形面积为，则该扇形圆心角的弧度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式直接求解即可. 【详解】设扇形圆心角的弧度为， 扇形面积，. 故答案为：. 14. 已知函数，当，时，，则的最小值为_____________ 【答案】8 【解析】 【分析】由函数的单调性和奇偶性得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】∵，∴恒成立， ∴定义域为R关于原点对称， 又∵， ∴为奇函数， 又当，单调递增，单调递增， 所以在单调递增， 又为奇函数，且函数图象不间断， 所以在R上为增函数， 所以由，可得， 即， 即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为8， 故答案为：8 15. 化简与求值： （1）计算： ①；②． （2）已知，若，求下列各式的值： ①；②． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据幂运算方法即可求解；②根据对数运算法则运算即可； （2）①将已知等式两边同时平方即可；②先求，再开方即可． 【小问1详解】 ① ． ② ． 【小问2详解】 ①， ∴； ②，且， ∴． 16. 角顶点为原点，始边在轴非负半轴，终边上的一点， （1）若，求，的值； （2）若 ①求中的值； ②求的值. 【答案】（1），； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用角与终边上点的坐标的关系即可求解； （2）利用齐次式，将弦化切即可求解. 【小问1详解】 因为，，则点在第一象限，角为第一象限角，且， 由且，解得，. 【小问2详解】 ①因为，且由题可知， 所以左右两边同时除以，得到， 因为，所以，即. ② . 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）求使成立的实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 18. 已知是定义在R上的奇函数，当时， （1）求的解析式和单调区间，并画出简图； （2）讨论方程的根的个数． 【答案】（1），增区间为，；无减区间， （2）当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的对称性可求解析式，结合解析式可得单调区间，描点作图即可； （2）结合图象，分类讨论，根据交点个数得出方程根的个数. 【小问1详解】 因为是定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，，所以当时，，， 因为，所以，综上. 由于为增函数，所以的单调增区间为，；无减区间. 其简图如图， 【小问2详解】 由可得， 由图可知，当时，即时，方程仅有一个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程有三个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程仅有一个根； 综上，当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 19. 已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）函数是奇函数，证明： 令得，令，得， 所以函数是奇函数． （2） 【解析】 【分析】（1）合理赋值即可证明是奇函数； （2）结合（1），先说明的单调性，再求出其最大值，最后对于关于的一次函数恒成立问题，列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $