精品解析：天津市嘉诚中学2025-2026学年高一上学期第二次质量调查数学试题

天津市嘉诚中学2025－2026学年度第一学期第二次质量调查 高一年级 数学学科 （时长：100分钟 总分：100分） 第Ⅰ卷 一、选择题.本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角的性质即可求. 【详解】，故与的角终边相同，其中在第三象限，故角的终边在第三象限． 故选:C． 2. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将角度转换为弧度后借助扇形面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则， 则. 故选：A. 3. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二分法可得答案. 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间  内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 4. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 5. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式和特殊角的余弦值，根据分段函数解析式求值即可. 【详解】. 故选：C 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题首先可设，即可得出以及，然后根据的单调性即可求出值域. 【详解】设， 则，，， 因为为减函数，所以，即值域为， 故选：A. 7. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用对数的换底公式可将用、表示. 【详解】根据对数的换底公式得， ， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中是题目的一个难点和易错点. 8. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断单调性,再根据零点存在定理将端点值代入,即可判断零点所在区间. 【详解】解:由题知, 由于均为单调递增, 所以随着的增大也增大,故在单调递增, , 根据零点存在定理, 零点在区间内. 故选:C 9. 设函数，若对任意都有，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域，比较和的两个根的大小， 即可讨论得，利用二次函数的性质即可求解最值. 【详解】由于，令，则，令则， 当时，取，则，此时，不符合， 当时，取，则，此时，不符合， 当时，此时，所以， 当，取等号，故的最大值为， 故选：B 第Ⅱ卷 二、填空题.本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 11. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 【答案】 【解析】 【分析】令可求出定点. 【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点. 故答案为：. 12. 已知点位于第二象限，则角是第______象限角． 【答案】四 【解析】 【分析】由点位于第二象限，得到，根据三角函数值得正负判断出所在的象限即可得解. 【详解】点位于第二象限， ，， 满足时，为第三四象限角，满足时，为第一四象限角， 满足条件的为第四象限角， 点位于第二象限，角是第四象限角. 故答案为：四. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求解, 【详解】，，. 故答案为：. 14. 若角的终边经过点（其中且），则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出和，即可得到结果. 【详解】∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 15. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数性质，及二次方程根的分布来求解即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则因为关于 x的方程有6个不同的实根， 所以方程在区间上有2个不同的实根， 设， 则，解得， 故实数a的取值范围是 故答案为：. 三、解答题.本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 求值：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】根据指数以及对数的运算法则即可就得结果 【详解】（1）原式=； （2）原式. 【点睛】本题考查实数的指对幂及其运算，属于基础题. 17. （1）已知，，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出,即可求得的值； (2)把要求的式子利用诱导公式化为,进而而求得结果. 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴ （2）若， 则. 18. 设函数. （1）若，求证：在内存在零点； （2）若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明：由， 即，， ， ， 当时，，由零点存在性定理知在上存在零点； 当时，则，是零点，此时存在零点； 综上在内存在零点. （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，从而，，分和讨论求解； （2）根据题意得到，且，是方程的两根，从而，，再根据时，恒成立，转化为在上恒成立求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意得，且，是方程的两根， 由韦达定理得，，， 所以， 依题意，得在上恒成立， 因为，，所以只需， 令，， 令，则，在上单调递增， 所以时，， . 19. 已知关于的方程的两根为和，其中 （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值 【答案】（1）35 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件利用韦达定理求出，再对左右两边同时平方即可得出答案； （2）利用同角三角函数的基本关系化简已知式可得，再将的值代入即可得出答案. （3）由立方差化简，法一：利用同角三角函数的基本关系求出代入即可得出答案；法二：求出，代入即可得出答案. 【小问1详解】 由得， 方程的两根为和， 于是，进而，即， 由，对左右两边同时平方， 得.解得.经检验符合. 【小问2详解】 原式 原式 【小问3详解】 由得. 由可得. 因此. 另解：原方程即，两根为， 由得，于是， 因此. 20. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围； （3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义取特指解得，并代入检验； （2）根据题意整理可得对于任意实数x恒成立，结合指、对数函数性质分析判断； （3）根据题意整理可得，换元令，可知在内存在零点，结合二次函数性质分析求解. 【小问1详解】 因为，可知函数的定义域为， 若函数为偶函数，则， 即，可得，即， 此时， 则，即函数为偶函数， 所以. 【小问2详解】 因为，即， 可得， 即对于任意实数x恒成立， 因为，则，可得， 所以实数t的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可知：， 若存在，使得成立， 即， 整理可得， 则， 令，当且仅当，即时，等号成立， 可得， 构建，可知在内存在零点， 因为的图象开口向上，对称轴为， 若，可知在内单调递增， 则，解得； 若，可知在内单调递减，在内单调递增， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市嘉诚中学2025－2026学年度第一学期第二次质量调查 高一年级 数学学科 （时长：100分钟 总分：100分） 第Ⅰ卷 一、选择题.本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则 A. B. C. D. 5. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，若对任意都有，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 第Ⅱ卷 二、填空题.本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 函数的单调递增区间是______． 11. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 12. 已知点位于第二象限，则角是第______象限角． 13. 已知，则______． 14. 若角的终边经过点（其中且），则______. 15. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 三、解答题.本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 求值：（1）； （2）. 17. （1）已知，，求的值； （2）若，求的值. 18. 设函数. （1）若，求证：在内存在零点； （2）若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围. 19. 已知关于的方程的两根为和，其中 （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值 20. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围； （3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $