精品解析：山东省菏泽市牡丹区菏泽国花学校2025-2026学年高二上学期第二次阶段性教学质量检测（1月）数学试题

菏泽国花学校2025-2026学年高二第一学期第二次阶段性教学质量检测 数学试题 时间：120分钟 2026.1 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知直线经过和两点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 3. 已知数列的一个通项公式为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 26 D. 80 4. 双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 7. 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 8. 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任何一条直线都有唯一的斜率 B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C. 任何一条直线都有唯一的倾斜角 D. 垂直于轴的直线倾斜角为 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（ ） A. F的坐标为 B. C. D. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 在上的投影向量为 D. 二面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，则的值为______. 13. 椭圆的离心率为，则实数的所有可能取值为___． 14. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知点N（0，1），直线l：3x－4y＝0，直线m过点N且与l垂直，直线m交圆x2+y2＝4于两点A，B． （1）求直线m的方程； （2）求弦AB的长． 16. 已知向量， （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 17. 如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点． （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. （1）求椭圆的焦距、短轴长和离心率； （2）若直线的倾斜角为，求的面积. 19. 已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上． （1）求抛物线C的方程； （2）A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菏泽国花学校2025-2026学年高二第一学期第二次阶段性教学质量检测 数学试题 时间：120分钟 2026.1 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知直线经过和两点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，解得. 故选：D 2. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 3. 已知数列的一个通项公式为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 26 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】由，代入通项公式求得，即可求解； 【详解】因为，代入通项公式可得：， 解得，所以， 所以， 故选：D 4. 双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心关于直线对称的点，再利用轴对称的性质求出半径，即得对称圆的方程. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为． 设点关于直线对称的点， 则，解得，． 由轴对称的性质得新圆的半径为， 对称的圆的方程为，故A正确. 故选：A 6. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得， 所以谷雨日影长为（尺）. 故选：C 7. 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】利用斐波那契数列的规律列方程来求得的值. 【详解】由斐波那契数列的定义及递推公式可得： ， 则． 故选：C 8. 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任何一条直线都有唯一的斜率 B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C. 任何一条直线都有唯一的倾斜角 D. 垂直于轴的直线倾斜角为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（ ） A. F的坐标为 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的定义可判断B，求出直线的方程并得到坐标可判断C，分别计算和的面积可判断D. 【详解】对于A，由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上，则焦点，所以A错误； 对于B，由抛物线的方程得，由定义可得，所以B正确； 对于C，直线的方程分别为，，分别与联立得，，所以，所以C正确； 对于D，联立，得，解得， 所以，由，所以D错误． 故选：BC. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 在上的投影向量为 D. 二面角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出求出法向量和直线方向向量，根据向量关系即可判断AB；由投影向量公式可判断C；求出两个平面法向量，根据向量夹角公式可判断D. 【详解】以为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则令，则，. 因为，所以平面，A正确. ，所以EO不与平面平行，B错误. 在上的投影向量为，C错误． 易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 则，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 椭圆的离心率为，则实数的所有可能取值为___． 【答案】 【解析】 【分析】按照焦点在轴上或焦点在轴上讨论求解即可. 【详解】由题可知，当焦点在轴上时，，，而，所以， 因为，所以，即：，解得. 当焦点在轴上时，得， ，，， ， 又因为，所以， 即：，解得满足，成立. 故答案为：. 14. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设与渐近线交于，则，利用点到直线的距离公式求得，利用勾股定理可得出，利用中位线的性质可求出的值，进而可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设与渐近线交于，则， 点到直线的距离为， 因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点， 又因为为的中点，则，且， 由勾股定理可得， 由双曲线的离心率为，则， 所以，， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知点N（0，1），直线l：3x－4y＝0，直线m过点N且与l垂直，直线m交圆x2+y2＝4于两点A，B． （1）求直线m的方程； （2）求弦AB的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系得直线m的斜率，写点斜式方程 （2）由直线与圆相交弦长公式计算 【小问1详解】 ∵直线l：3x－4y＝0，直线m与l垂直， ∴直线m的斜率为 ∴直线m的方程为，即 【小问2详解】 圆x2+y2＝4的圆心坐标为O（0，0），半径r＝2， 圆心O到直线的距离 弦长 16. 已知向量， （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； 【小问2详解】 因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 17. 如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点． （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，且，所以平面， 因为平面，平面平面，且平面， 所以，又， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形中的推出平面，再由线面平行的性质定理，结论即可得证； （2）建立空间直角坐标系，得点坐标，再求两个平面的法向量，再由公式求解平面与平面夹角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系． 由（1）知且，则， 则，，，，， ，所以，，， ，设平面的一个法向量为， 则，得， 设平面的一个法向量为，则，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. （1）求椭圆的焦距、短轴长和离心率； （2）若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】（1）焦距为，短轴长为6，离心率为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【小问1详解】 由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. 【小问2详解】 由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 19. 已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上． （1）求抛物线C的方程； （2）A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． 【答案】（1）y2＝4x （2）证明： 设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t， 所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0， ，同理：， 由题意：， ∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)， ∴y1y2＝4， ∴﹣4t＝4， ∴t＝﹣1， 故直线AB恒过定点(﹣1，0)． 【解析】 【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数，即得抛物线方程； (2)设AB：x＝my+t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，代入得参数值，从而可得定点坐标． 【小问1详解】 P点坐标代入抛物线方程得4＝2p， ∴p＝2， ∴抛物线方程为y2＝4x． 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $