精品解析：甘肃省文县第一中学2026届高三上学期12月月考数学试卷

甘肃省文县第一中学2026届高三12月月考数学试卷 （考试时长:120分钟 总分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】识别出集合表示的是奇数集，然后再找出同时属于两个集合的元素即可. 【详解】因为，集合表示奇数集，即找出同时属于两个集合的元素， 也就是在内的奇数，所以. 故选：A 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过复数的除法运算求出复数,再根据复数的模的计算公式求出. 【详解】复数z满足， 得, . 故选：B 3. 函数的图像关于直线对称，则的一个可能值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，再逐项判断即可． 【详解】函数关于对称，则在该点取得最值， 即，解得， 对于A，令，解得，故A正确； 对于B，令，解得，不为整数，故B错误； 对于C，令，解得，不为整数，故C错误； 对于D，令，解得，不为整数，故D错误 故选：A． 4. 记等差数列的前n项和为,,,则（ ） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质与等差数列前项求和公式计算即可. 【详解】 故选：D. 5. 设向量，，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行、垂直的坐标表示求得，再结合充分、必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】若，则解得：或， 若，则解得：或， 所以“”是“”的不必要条件， “”是“”的不必要条件， “”是“”的不充分条件， “”是“”的充分条件， 故选：D 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】结合角的范围，根据二倍角公式计算出角的正、余弦值及正切值，再利用正切的差角公式计算. 【详解】，. 又，， ，，. . 故选：D. 7. 小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水.若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为，底部边长为，高为，厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱台的体积求出水杯的体积，即可得解. 【详解】因为正四棱台的上口边长为，底部边长为，高为， 所以水杯的体积为， 因为，所以小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是7. 故选：C 8. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】条件可转化为直线与曲线有两个交点，再利用导数研究的单调性及极值，画出函数的大致图象，观察函数图象即可得解. 【详解】因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的根， 因为不是方程的根， 所以方程有两个不同的根， 所以直线与曲线有两个交点． 令，则， 令可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，；当时，， 当时，，当且时，， 当且时，；时，；又， 画出函数的大致图象如下： 所以当时，直线与曲线有两个交点， 即实数的取值范围是． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 若，则数列是递减数列 B. 若，则数列是递减数列 C. 若，则数列是递增数列 D. 若，则数列是递增数列 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项正确. 对于选项，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项错误. 对于选项，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项错误. 对于选项，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项正确. 故选：. 10. 已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据图象，结合函数的单调性与其导函数正负的关系，先判断两个图象 中哪个是的图象，哪个是的图象，进而列出关于的方程组 求解，再结合特殊点求解参数，由此确定函数和的解析式， 再判断各个选项的正误即可． 【详解】因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递增，故，从而． 又，所以，由得， 故，． 选项A：的最小正周期为，故，A正确． 选项B：令，解得， 故函数在上单调递减，B正确． 选项C：由于，， 故的图象不关于点中心对称，故C错误． 选项D：， 其中为锐角，且，（辅助角公式的应用）,所以的最大值为，D错误． 故选：AB 11. 已知函数，则（   ） A. B. 是的极值点 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接求的值可判断选项A，利用导数分析函数的单调性，可判断选项B,C；分析函数的对称性并结合单调性可判断选项D. 【详解】选项A：由题可知：，所以选项A正确； 选项B：由得函数的定义域为， 在上恒成立，所以函数单调递增，没有极值点，所以选项B错误； 选项C：当时，因为，所以，由选项B知，函数单调递增，所以，所以选项C正确； 选项D：因为函数， 所以， 所以，所以. 当时，，即，由选项B知函数单调递增，所以，所以所以选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，的坐标，即可得到， ，再根据求出在上的投影向量； 【详解】因为，，，所以，， 所以， ， 所以， 所以在上的投影向量为， 故答案为： 13. 若函数是周期为2的奇函数，当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性的定义结合对数的运算化简求解即可. 【详解】因为函数是周期为2的奇函数， 所以， 因为， 所以，. 故答案为：. 14. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解. 【详解】对于， 当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则， 且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则， 由，得，即， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）证明：； （2）求的最大值. 【答案】（1）证明：由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明； （2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简，再结合基本不等式求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 16. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 【答案】（1） （2）由题可得，所以， 又，所以， 又也满足上式， 所以， 【解析】 【分析】（1）由与关系结合题意可得答案； （2）由（1）结合累乘法可得，从而可得通项公式，然后由裂项求和法可得答案. 【小问1详解】 当时，可得， 当时，，. 作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列， 所以. 【小问2详解】 略 17. 已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2. （1）求的值； （2）求在上的值域. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果； （2）由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，求出，，的值可得结果. 【小问1详解】 因为，所以，则. 因为，所以切点坐标为， 所以的图象在点处的切线方程为. 令，得，又，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增. 令，解得，所以 在上单调递减， 又，，， 所以在上的值域为. 18. 如图，长方体中，，，，三等分． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）根据题意，六面体为长方体，所以，，， 如图，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 因为，，，为的三等分点， 得各点坐标，，，，， 则，，所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，通过向量的数量积为零，可证明. （2）求解出平面的法向量，再根据空间线面角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以为平面的一个法向量， 结合， 设直线与平面所成角为,，则， 所以直线与平面所成角为. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，，求的取值范围； （3）若，数列的前项积为，求证：. 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） （3）由（2）知，当时， 在成立， 令， 则， 则， 即 所以 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）通过，，三种情况讨论即可； （2）构造，通过求导，分，，三种情况讨论即可； （3）由（2）取得到，在成立，令，得到，进而得到，进而可求证. 【小问1详解】 ，， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递减； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ，， 即 令，且， 而， 令，则 ①当时，，在单调递增； 又，所以当，即； ②当，即时，， ，即在单调递增； 又，所以当，即； ③当时，有两根，. 因为， 所以，. 可得：由，即，得， 由，即，得， 所以单调递增区间为；单调递减区间为. 又，即存在，使得，不符合题意，舍去； 综上所述，的取值范围是 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省文县第一中学2026届高三12月月考数学试卷 （考试时长:120分钟 总分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像关于直线对称，则的一个可能值是（ ） A. B. C. D. 4. 记等差数列的前n项和为,,,则（ ） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 5. 设向量，，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7 7. 小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水.若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为，底部边长为，高为，厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 若，则数列是递减数列 B. 若，则数列是递减数列 C. 若，则数列是递增数列 D. 若，则数列是递增数列 10. 已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 11. 已知函数，则（   ） A. B. 是的极值点 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为________. 13. 若函数是周期为2的奇函数，当时，，则__________. 14. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）证明：； （2）求的最大值. 16. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 17. 已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2. （1）求的值； （2）求在上的值域. 18. 如图，长方体中，，，，三等分． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，，求的取值范围； （3）若，数列的前项积为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $