10.3分式的乘除寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学.（知识点归纳+题型精讲+巩固测试）

10.3分式的乘除寒假预习讲义(苏科版) ★预习内容速览 1.课前预习*目标 2.重点知识*梳理归纳 3.聚焦考点*举一反三 4强化巩固*单元闯关 ✔课前预习*目标 ◆理解分式乘法、除法的运算法则，明确法则的推导依据（分数乘除法则类比+分式基本性质）； ◆牢记分式乘除运算的核心要点，知道运算结果需化为最简分式或整式； ◆掌握分式与分式、分式与整式相乘除的计算方法，能区分与分数乘除的异同点； ◆感受数学知识的连贯性，体会“类比—推导—应用”的学习思路，激发预习兴趣. ☘重点知识*梳理归纳 【知识点1分式的乘法】 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用字母表示为：，其中是整式，． 【知识点2分式的除法】 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用字母表示为：，其中是整式，． 【知识点3分式的乘方】 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）． 【知识点4分式乘除运算的步骤】 （1）因式分解：将分式的分子和分母分别进行因式分解，把多项式化为几个整式的积的形式．这一步有助于简化计算，找出分子分母的公因式． （2）约分：约去分子分母的公因式，将分式化为最简分式．约分的依据是分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变． 【知识点5分式乘除的混合运算】 分式乘除混合运算与分数乘除混合运算类似，一般是按照从左到右的顺序进行计算．如果有括号，先算括号里面的．在计算过程中，要注意将除法转化为乘法，然后按照分式乘法的法则进行计算． 【重点提醒】分式乘除运算的注意事项 （1）运算结果要化为最简分式或整式； （2）要注意分母不能为0，在进行分式乘除运算前，需要确定每个分式的分母都不为0，否则分式无意义； （3）当分子分母是多项式时，一般先进行因式分解，再约分，这样可以使计算更加简便． ✏聚焦考点*举一反三 【题型1分式的乘法】 【例1】．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法运算，需将分子与分母分别相乘后约分简化． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1】．设实数、、满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，求代数式的值；由条件得，，再代入中即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法与加法运算，掌握这两种运算的法则是关键； （1）把各个分式的分子与分母能分解因式的进行因式分解，再约分即可； （2）直接把分子相加，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2） 解：． 【题型2分式除法】 【例2】．若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能是（　　） A． B． C．b D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法运算转化为乘法，并利用平方差公式化简，得到结果为，要求结果为整式，则分子必须能被分母整除，即必须包含因子，即可求解． 【详解】解： 要求结果为整式，即为整式， ∴必须能被整除. 只有选项C符合题意， 故选：C． 【变式1】．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握分式除法运算法则． 将除法转化为乘法，并利用完全平方公式因式分解后约分． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式2】．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)丰收2号 (2) 【分析】本题考查分式的运算应用，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是 “丰收2号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是 ， ，，， ∴ ∴， ∵， 所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （2） 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍． 【题型3分式乘除混合运算】 【例3】．下列各计算过程中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键．分式乘除运算时，除法需转化为乘法并注意约分，根据分式的乘除运算依次计算判断即可． 【详解】解：对于A：，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：，故D正确； 故选：D． 【变式1】．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除混合运算，原式先计算，再把除法转换为乘法，约分后即可得到答案． 【详解】解： ． 【题型4分式乘方】 【例4】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘方运算；将分式的分子、分母分别乘方，并注意负数的奇次幂为负． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】．（1）( )；( )； （2）( )；( )． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方，即可得到答案． 【详解】解：（1）；； （2）；． 故答案为：；；；． 【变式2】．已知非零实数，满足求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，正确的计算是解题的关键． 先将分式约分，然后将变形后的式子代入求值即可． 【详解】解：，． 原式． 【题型5含乘方的分式乘除混合运算】 【例5】．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】．①函数中自变量的取值范围是 ． ②计算的结果是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，分式和二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． ①根据二次根式和分式有意义的条件进行求解即可； ②根据分式除法和乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：①∵函数要有意义， ∴， ∴且． 故答案为：且． ② ． 故答案为：． 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，掌握好分式运算的法则是关键． 根据含乘方的分式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 【题型6分式加减乘除混合运算】 【例6】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否正确，即可求解． 【详解】解：A、，，故选项A错误，不符合题目要求； B、，故选项B错误，不符合题目要求； C、，故选项C错误，不符合题目要求； D、，计算正确.，故选项D正确，符合题目要求． 故选：D． 【变式1】．如图，长方形与长方形的面积都是1，过点作直线平行于，其与交于点，与的延长线交于点，且长方形与长方形面积相等．若，则 ．（用含m，n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，分式乘法，加法，如图，过点作平行线交于点，则，，求出，设，则，，根据长方形与长方形面积相等，建立方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作平行线交于点，则，， ∵，长方形与长方形的面积都是1， ∴， ∴， 设，则，， ∵长方形与长方形面积相等， ∴，即， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据同分母分式加减运算计算，再约分即可； （2）根据异分母分式的加减运算法则先算括号，再算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7分式化简求值】 【例7】．如果，那么的值等于（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式，由已知条件化简得到的值，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 故选：D 【变式1】．已知，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式化简求值，掌握知识点是解题的关键． 由已知比例，可设，（），代入所求表达式化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， 则 故答案为：5． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【题型8分式最值】 【例8】．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 【变式1】．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式 ； ②若，则交换对称式的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 【变式2】．阅读下面内容：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为________；当时，的最大值为________． (2)当时，求的最小值． (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的值、三角形的高与面积的关系及完全平方公式，熟练掌握分式的求值及完全平方公式是解题的关键； （1）根据题中所给公式可直接进行求解； （2）由题意可把所求分式进行变形，然后再利用公式进行求解最值即可； （3）设，由题意易得，则有，然后根据题中所给公式可进行求解． 【详解】（1）解：当时，； ∴当且仅当时，即当时，有最小值2； 当时，， ∵， ∴，即． ∴当且仅当时，即当时，有最大值； 故答案为：2，； （2）解：当时， ， ∴当时，当且仅当时，即当时，y的最小值为11； （3）解：设， ∵， ∴由等高三角形可得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：，当且仅当，即时取等号， 即四边形面积的最小值为25． ✍强化巩固单元闯关 一、单选题 1．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除运算，通过直接计算每个选项的左边表达式，与右边结果比较，只有D选项正确利用了相反数的性质进行简化，即可求解． 【详解】解：A：∵ ，∴ A错误； B：∵ ，∴ B错误； C：∵ ，∴ C错误； D：∵ ，∴ ，与右边相等，∴ D正确． 故选：D． 3．如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 4．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项式子不成立，不符合题意； B、，故此选项式子不成立，不符合题意； C、，故此选项式子成立，符合题意； D、，故此选项式子不成立，不符合题意； 故选：C． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算知识点，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、转化和约分计算，得到最终的化简结果，即可解决分式的乘方与乘除混合运算问题． 【详解】解：原式 故选：A． 6．计算的结果是（   ） A． B．x C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘除法， 根据除法运算顺序从左到右进行计算，先将第一个除法转化为乘法，再计算第二个除法． 【详解】解：． 故选：B． 7．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、等式的基本性质、分式的代入求值——整体换元思想．掌握完全平方公式的应用及整体换元思想是解题关键．由已知等式变形得到 ，进而求 的平方，再逐步计算 和 即可． 【详解】解：∵ 且 ， ∴ 等式两边除以 得 ． ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 8．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 二、填空题 9．计算： ．（在分式有意义的条件下） 【答案】 【分析】该题考查了分式乘法，通过观察分式乘法，直接约分，简化表达式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 且 且 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0时，分式有意义是解题关键； 找出分式中的分母以及除数部分，然后当其不为0时，即可求解． 【详解】解：原式中作分母，作除数， ∴要使原分式有意义，故 ，，， ∴ ，，， ∴ 且 且 ， 故答案为： 且 且 ． 11．化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，先将除法运算转化为乘法运算，再约分化简． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ 故答案为： 12．计算： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 1 / / 【分析】本题考查零指数幂，积的乘方，单项式乘以多项式，分式的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据任何非零数的0次幂等于1，即可求解； （2）根据积的乘方法则计算即可； （3）根据单项式乘多项式运算法则计算即可； （4）根据分式的乘方法则，分子和分母分别乘方计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 13．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即  ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的除法运算法则计算即可求解，被除数等于商乘以除数． 【详解】解：， 故答案为： ． 14．一个长方形的长增加，宽减少，那么它的面积是原来的 ． 【答案】 【分析】本题考查分数混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，列出算式．设原长方形的长为，宽为，则原面积为；长增加后为，宽减少后为，新面积为，计算比值即可. 【详解】解：设原长方形的长为，宽为， ， ， ， ． 故答案为：． 15．当时，式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，先对式子进行化简，然后将的值代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 16．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算法则、熟练掌握运算法则是解题的关键，注意运算顺序，分子分母先约分再通分可以简便运算，属于中考常考题型． （1）根据分式的混合运算法则先分解各分子分母，再将除法转化为乘法，约分计算． （2）根据先通分再做同分母分式减法． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘除运算法则计算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．分式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘方和四则混合运算，熟练掌握分式的乘方和四则混合运算的法则是解题的关键， （1）先计算分式的乘方，再根据乘除运算法则逐步化简即可得到答案； （2）先利用完全平方公式和提公因式分解因式，再利用分式乘除进行约分即可得到答案； （3）先利用分式的加减运算化简括号里的式子，再利用分式乘除化简即可得到答案； （4）先利用分式的加减运算化简括号里的式子，再利用分式乘除化简即可得到答案； 【详解】（1）解：； • •• ； （2）解： • ； （3）解： = = = =． （4）解： = = = =． 20．解答下列各题． (1)计算：； (2)先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1) (2)，当时，原式；当时，原式（选一个即可） 【分析】本题考查了分式的运算及化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）先将括号内的分式通分，计算减法，再把除法化为乘法，化简约分即可解答； （2）小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，根据分式有意义的条件得到a的取值，代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵当或3时，原分式无意义， ∴只能取1或0， 当时，原式； 当时，原式． （写一种情况即可） 21．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3分式的乘除寒假预习讲义(苏科版) ★预习内容速览 1.课前预习*目标 2.重点知识*梳理归纳 3.聚焦考点*举一反三 4强化巩固*单元闯关 ✔课前预习*目标 ◆理解分式乘法、除法的运算法则，明确法则的推导依据（分数乘除法则类比+分式基本性质）； ◆牢记分式乘除运算的核心要点，知道运算结果需化为最简分式或整式； ◆掌握分式与分式、分式与整式相乘除的计算方法，能区分与分数乘除的异同点； ◆感受数学知识的连贯性，体会“类比—推导—应用”的学习思路，激发预习兴趣. ☘重点知识*梳理归纳 【知识点1分式的乘法】 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用字母表示为：，其中是整式，． 【知识点2分式的除法】 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用字母表示为：，其中是整式，． 【知识点3分式的乘方】 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）． 【知识点4分式乘除运算的步骤】 （1）因式分解：将分式的分子和分母分别进行因式分解，把多项式化为几个整式的积的形式．这一步有助于简化计算，找出分子分母的公因式． （2）约分：约去分子分母的公因式，将分式化为最简分式．约分的依据是分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变． 【知识点5分式乘除的混合运算】 分式乘除混合运算与分数乘除混合运算类似，一般是按照从左到右的顺序进行计算．如果有括号，先算括号里面的．在计算过程中，要注意将除法转化为乘法，然后按照分式乘法的法则进行计算． 【重点提醒】分式乘除运算的注意事项 （1）运算结果要化为最简分式或整式； （2）要注意分母不能为0，在进行分式乘除运算前，需要确定每个分式的分母都不为0，否则分式无意义； （3）当分子分母是多项式时，一般先进行因式分解，再约分，这样可以使计算更加简便． ✏聚焦考点*举一反三 【题型1分式的乘法】 【例1】．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D． 、【变式1】．设实数、、满足，，则的值为 ． 、【变式2】．计算 (1)； (2)． 【题型2分式除法】 【例2】．若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能是（　　） A． B． C．b D． 【变式1】．化简： ． 【变式2】．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【题型3分式乘除混合运算】 【例3】．下列各计算过程中，正确的是（） A． B． C． D． 【变式1】．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【变式2】．计算：． 【题型4分式乘方】 【例4】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（1）( )；( )； （2）( )；( )． 【变式2】．已知非零实数，满足求的值． 【题型5含乘方的分式乘除混合运算】 【例5】．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．①函数中自变量的取值范围是 ． ②计算的结果是 ． 【变式2】．计算：． 【题型6分式加减乘除混合运算】 【例6】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，长方形与长方形的面积都是1，过点作直线平行于，其与交于点，与的延长线交于点，且长方形与长方形面积相等．若，则 ．（用含m，n的代数式表示） 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【题型7分式化简求值】 【例7】．如果，那么的值等于（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式1】．已知，则的值为 ． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 【题型8分式最值】 【例8】．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【变式1】．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式 ； ②若，则交换对称式的最小值为 ． 【变式2】．阅读下面内容：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为________；当时，的最大值为________． (2)当时，求的最小值． (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． ✍强化巩固单元闯关 一、单选题 1．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（   ） A． B．x C． D． 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 二、填空题 9．计算： ．（在分式有意义的条件下） 10．若分式有意义，则的取值范围是 ． 11．化简：＝ ． 12．计算： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 13．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即  ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 14．一个长方形的长增加，宽减少，那么它的面积是原来的 ． 15．当时，式子的值是 ． 三、解答题 16．计算： 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1) (2) 19．分式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．解答下列各题． (1)计算：； (2)先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 21．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $