精品解析：陕西省神木市第四中学2025-2026学年高三上学期第九次模拟考试数学试卷

神木四中2025-2026学年度第一学期 高三年级第九次模拟考试・数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工垫、笔迹清楚． 4、考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数运算法则计算可得，再利用共轭复数定义计算即可得解. 【详解】，则， 故， 故. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的定义域求得集合，进而求得. 【详解】对于函数，，所以， 所以. 故选：B 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，则， 由， 两边平方可得， 即，则. 故选：D 4. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得出的值，进而利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】由等差中项的性质可得，解得， 所以. 故选：C 5. 幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C. 6. 已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为．若，则双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以，解得，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 7. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 8. 设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（　　） A. 的最大值是5 B. 的最小值是5 C. 的最大值是7 D. 的最小值是7 【答案】D 【解析】 【分析】作出图象，根据图象利用两边之和、差与第三边的关系分析最大值与最小值即可得解. 【详解】如图， 由点是抛物线的焦点，故， 由双曲线知，， 故，右焦点， 所以，又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线右支无交点，故，故AC错误； 由双曲线的定义，， 所以， 即点运动到点，三点共线时，有最小值7，故B错误D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上为减函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可． 【详解】由已知，则， 图象过， 又， 显然的图象关于点对称，A正确； 令，得的对称轴为， 令，得，故B错误； 时，令在上递增，因此C错误； 把的图象向右平移个单位长度， 得函数表达式为，它是偶函数，D正确． 故选：AD． 11. 如图，正方体的棱长为1，且点分别为的中点，则下列说法正确的是（　　） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法证明线面、线线的位置关系，求点面距离判断A、B、D，由棱锥的体积公式及求三棱锥的体积判断C. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， A：，易知平面的一个法向量为， 所以，故， 又平面，所以平面，正确； B：，故，可得，正确； C：由于点分别为的中点，其中， 所以，正确； D：设平面的一个法向量为，， 故，令，即， 而，点到平面的距离为，错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，求得，进而求得. 【详解】. 因，故，即， 化简得，解得. 则. 故答案为： 13. 若，则______（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】应用赋值法求得、，作差即可得. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故答案为： 14. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】整理不等式，构造函数，由导数得到函数的单调性，由单调性解不等式得，再由函数的导数求得函数在上的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】原式可化为在上恒成立， 令， 易得在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 即在上恒成立，即在上恒成立， 可得在上恒成立，所以， 令，则，由，解得； 由，解得．所以在上单调递增， 在上单调递减，所以， 即，故实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求的周长； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求出； （2）由（1）知，又，可求出边，进而求出周长； 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得，， 即，     所以.         因为，所以. 【小问2详解】 由，，得， 整理得， 解得或（舍去）， 所以的周长为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，，求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1） 证明：取的中点，连接，， 又是的中点，则且， 由是的中点，底面为矩形，则， 故，，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，不在平面内，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）构造三角形的中位线，得到线线平行，根据线线平行，可证线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面为矩形，可得， 平面平面，平面平面，，平面PAB， 所以平面，则，， 可以以，，分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， 所以， 设平面EFD的一个法向量为， 则，令，则， 依题意，可得平面PAB的一个法向量为， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故平面与平面夹角为： 17. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. 【小问2详解】 的可能取值为. ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 18. 在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． （1）求的标准方程； （2）设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 【答案】（1） （2）设方程为，， ，消去x得， 则，，， 又， 由两点距离公式得， ， 所以 ，即证. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义即可确定C的方程； （2）设方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和两点距离公式表示，化简计算即可证明. 【小问1详解】 由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以C的方程为； 【小问2详解】 略 19. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，且，证明：． 【答案】（1） 若，则在上单调递增； 若，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时在上单调递增； 若，则当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. （2） （3） （证法一）当时，，因， 若，，则，，与矛盾，，， 由（2）可知，则，则， 所以， 又， 所以. （证法二）当时，．由，得， 显然，不同时为负数，由可得，都为正数， 因为， 所以，所以， 又 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导后分、及讨论即可得； （2）由题意可得，构造函数后利用导数研究函数单调性，则可得该函数最小值，即可得解； （3）法一：通过讨论的正负可得，，结合（2）中所得可得，则可得，再得到即可得证；法二：由题意可得，则可得，，又，则可得，计算可得，，即可得证. 【小问1详解】 ，令，解得或， 若，则，则在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，由，得，即， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 又， 则当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增； 所以， 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 神木四中2025-2026学年度第一学期 高三年级第九次模拟考试・数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工垫、笔迹清楚． 4、考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 5. 幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为．若，则双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 7. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 8. 设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（　　） A. 的最大值是5 B. 的最小值是5 C. 的最大值是7 D. 的最小值是7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上为减函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 11. 如图，正方体的棱长为1，且点分别为的中点，则下列说法正确的是（　　） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则为_______． 13. 若，则______（用数字作答） 14. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求的周长； 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，，求平面与平面夹角的大小． 17. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． （1）求的标准方程； （2）设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 19. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $