精品解析：天津市耀华中学红桥学校2025-2026学年高三上学期12月学情调研数学试题

耀华中学红桥学校高三年级12月学情调研 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： 柱体体积公式：，其中S表示柱体底面积，h表示柱体的高． 锥体体积公式：，其中S表示锥体底面积，h表示锥体的高． 球体表面积公式：，其中R表示球体的半径． 球体体积公式：，其中R表示球体的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 设是定义在上的奇函数,当时，,则（ ） A. B. C. 4 D. -4 5. 已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E∶相切，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，若，则数列的通项 A. B. C. D. 9. 已知定义在上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：①；②函数在上有且仅有3个最值点；③函数在上单调递增；④函数的最小正周期是2；⑤函数右移个单位是奇函数，则.其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2.本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 是虚数单位，复数满足，则__________. 11. 在二项式的展开式中常数项为___________． 12. 由五个数字任取三个数字，组成能被整除的没有重复数字的三位自然数，共有_________个． 13. 已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为______． 14. 《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 15. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是________． 三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角所对的边分别是.已知，，. （1）求的值； （2）求c的值； （3）求的值. 17. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 18. 设椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为．已知点是椭圆上一点，当直线经过点时，原点到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值． 19. 已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求； （3）证明：. 20. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求的范围； （3）若在内有两个不同零点、，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 耀华中学红桥学校高三年级12月学情调研 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： 柱体体积公式：，其中S表示柱体底面积，h表示柱体的高． 锥体体积公式：，其中S表示锥体底面积，h表示锥体的高． 球体表面积公式：，其中R表示球体的半径． 球体体积公式：，其中R表示球体的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义即可求解． 【详解】由题可知，，， 所以， 故选：D． 2. 已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由直线垂直得到，求得，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】，解得或1， 故甲不能推出乙，乙能推出甲， 故甲是乙的必要不充分条件． 故选：B 3. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算及对数函数的性质即可求解． 【详解】因为，，， 所以， 所以，即， 所以， 故选：D． 4. 设是定义在上的奇函数,当时，,则（ ） A. B. C. 4 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质将转化为即可. 【详解】是定义在上的奇函数， . 故选：D. 5. 已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行性质判断AB；利用线面垂直、面面垂直的判定性质判断CD. 【详解】对于A，由，得或，A错误； 对于B，由，得或，B错误； 对于C，由，得，而，则或，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：D 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E∶相切，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设直线与圆E∶相切于点，根据题意，得到，从而得到，利用相似比求出，根据勾股定理求出与的关系式，从而可得渐近线方程. 【详解】如图所示， 设直线与圆相切于点，且圆心，半径=． 因为以为直径的圆过点P，所以， 又圆E与直线的切点为M，所以，从而． 由，得=，所以===b． 又，所以，解得， 因此该双曲线的渐近线方程为． 故选：C 7. 如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用外接球定义求得三棱锥外接球的球心位置即可计算出球的半径，可得其体积. 【详解】因为为直角三角形，其外接圆圆心为的中点， 设的中点为，过作平面的垂线与交于点， 为三棱锥外接球的球心，， 三棱锥外接球的体积为. 故选：D 8. 已知数列满足，，若，则数列的通项 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 , ,, 则 ,数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，利用叠加法， ， ，则.选B. 9. 已知定义在上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：①；②函数在上有且仅有3个最值点；③函数在上单调递增；④函数的最小正周期是2；⑤函数右移个单位是奇函数，则.其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定性质求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象性质逐一判断得解. 【详解】由函数的图象关于点对称，得， 由函数的图象关于直线对称，得， 则，即， 由函数在上有且仅有3个零点，得，即， 于是，，由，得， 而，因此，， 对于①，，①错误； 对于②，令，得，令，得， 因此函数在上有且仅有3个最值点，②正确； 对于③，由，得， 因此在上单调递增，③正确； 对于④，函数的最小正周期，④错误； 对于⑤，函数右移个单位，得， 由是奇函数，得，解得，⑤错误， 所以所有正确的结论个数为2. 故选：B 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2.本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 是虚数单位，复数满足，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简可得，代入求模公式，即可得答案. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为： 11. 在二项式的展开式中常数项为___________． 【答案】135 【解析】 【分析】依题意，先写出并化简二项展开式的通项公式，再由求出，代入通项即可求得常数项. 【详解】二项式的通项公式为：， 使，解得， 故二项式的展开式中常数项为. 故答案为为：135. 12. 由五个数字任取三个数字，组成能被整除的没有重复数字的三位自然数，共有_________个． 【答案】20 【解析】 【分析】百位数为1,2,3,4，分四种情况讨论得解. 【详解】当百位是1时，有102,120,123,132，共4个；当百位为2时，有201,204,210,213,231,234,240,243，共8个；当百位为3时，有312,321,324,342，共4个；当百位为4时，有402,420,423,432，共4个，一共20个. 共答案为：20 【点睛】（1）本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法. 13. 已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点以及圆心的坐标，分析可知当时，圆心到直线的距离最大时，求出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程. 【详解】对于抛物线，则，，所以，故其焦点为， 圆的标准方程为，圆心为， 当时，圆心到直线的距离最大时， 因为，此时直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故答案为：. 14. 《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果. 【详解】 如图所示,连接，因为三点共线，且 ，解得， 则， 与夹角为,与夹角为, . 设,可知, , , , , ,当或时, 有最小值,最小值为0. 故答案为: ； 0. 15. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数解析式进行因式分解，分类讨论函数恒成立的成立条件，解出两个参数之间的等量关系，再构造函数，根据函数导数求出构造函数单调性，求出值域，求出结果. 【详解】由，则定义域为，通分得， 恒成立，即恒成立， 当时，，解得， ，解得， 要使恒成立，有相同的单调性，且零点相同，即，即， 令，， 当，解得， 可知，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，在取得最大值， ，当时，， 所以此时的取值范围是， 当时，，可知在单调递减，时，，不符合题意， 所以的取值范围是， 故答案为：. 三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角所对的边分别是.已知，，. （1）求的值； （2）求c的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理即可求解； （3）由得，进而利用二倍角公式求，最后利用两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理有：， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理有：， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 由（1）有，所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以. 17. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由（1）知平面； 故点到平面的距离即为到平面的距离； ，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 设椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为．已知点是椭圆上一点，当直线经过点时，原点到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点到直线距离可得，结合离心率列式求解即可得方程； （2）设直线为，联立方程结合韦达定理分别求，再利用基本不等式分析最值即可. 【小问1详解】 因为离心率为 由题意可知：， 则直线，即， 可得原点到直线的距离为，即， 由题意得：，解得：， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：，且直线与椭圆必相交，且斜率不为0， 可设直线为， 联立椭圆方程，消去x可得， 则， 可得， 其中， 可得， 因为直线PQ为线段MN的垂直平分线， 则直线PQ：， 令得：，即， 所以， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 19. 已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求； （3）证明：. 【答案】（1）； （2） （3）证：由（1）得：， . 【解析】 【分析】（1）结合等差、等比数列通项公式可构造方程求得公比和公差，由此可得； （2）由（1）可得，分别讨论为奇数和为偶数的情况，采用分组求和的方式，结合错位相减法可求得； （3）采用放缩法可得，采用裂项相消法求和即可证得结论. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， ，， ，，又，； ，，，解得：， . 【小问2详解】 由（1）知：， 当为奇数时，；当为偶数时，； ； 令， 则， ， ； 令， 则， ， ； . 【小问3详解】 略 20. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求的范围； （3）若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， 【小问2详解】 因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $