精品解析：江西吉安市2025-2026学年上学期2023级1月学业调研 数学试卷

2025-2026学年上学期2023级1月学业调研 数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 　 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 3. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 4. 如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 6. 如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 8. 小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1，2，3，4四张牌，小杰手里有2，4，6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等，那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用小杰手中卡牌上的数字与小明手中卡牌上的数字相同的卡牌数除以小杰的卡牌总数即可得到答案． 【详解】解：∵小杰一共有4种卡牌，其中有2张卡牌上的数字与小明手中卡片的数字相同， ∴小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为， 故答案为：． 9. “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 【详解】解：当时，，解得， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∴， 解得， 故答案为： 11. 某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 12. 取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可； （2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 15. 《防震减灾基本知识与技能大纲》于2025年5月12日发布，这是全国层面首次编制的防震减灾基本知识与行为技能规范，大纲含第一部分的基本知识和理念与第二部分的基本行为和技能，共18条内容．某次班会课上，班主任挑选了与我们生活息息相关的8条内容（分别为图中第一部分的和第二部分的供全班学习，学习委员先从第一部分的4条内容中随机选择一条进行讲解，纪律委员再从第二部分的4条内容中随机选择一条进行讲解．（每条内容被选择的可能性均相同） （1）“学习委员讲解的是B．地震观测”是___________事件；（选填“随机”或“必然”或“不可能”） （2）请用列表法或画树状图的方法求学习委员讲解的不是．震害防御，且纪律委员讲解的是．做好应急准备的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，树状图法求概率： （1）根据事件的分类，进行作答即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解“学习委员讲解的是．地震观测”这个事件可能发生也可能不发生． 故为随机事件； 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中学习委员讲解的不是．震害防御，且纪律委员讲解的是．做好应急准备的结果有3种， （学习委员讲解的不是．震害防御，且纪律委员讲解的是．做好应急准备）． 16. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且． （1）若，求线段，的长． （2）若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】（1）， （2）125 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，，，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 四边形的面积为48， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 17. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，点A，B，C在上，，以，为边作． （1）当经过圆心O时（如图1），求的度数； （2）当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出； （2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出， 说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵经过圆心O， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：连接、，如图所示： ∵与相切， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 19. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为： （2） 【解析】 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 20. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）过C作于点D，解直角三角形即可； （2）由已知条件可知，求得，勾股定理求得， 解即可求得的长 【详解】（1）如图，过C作于点D , 即 （2），，, 在中，设，则 在中， 即: 解得：（不符题意，舍） 【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． （2）求纪念碑的高度． （3）小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）4； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由折叠的性质得：，再根据，可得，即可求解； （3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期2023级1月学业调研 数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 　 2. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 8. 小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1，2，3，4四张牌，小杰手里有2，4，6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等，那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为_____． 9. “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 11. 某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 12. 取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）． （2） 14. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 15. 《防震减灾基本知识与技能大纲》于2025年5月12日发布，这是全国层面首次编制的防震减灾基本知识与行为技能规范，大纲含第一部分的基本知识和理念与第二部分的基本行为和技能，共18条内容．某次班会课上，班主任挑选了与我们生活息息相关的8条内容（分别为图中第一部分的和第二部分的供全班学习，学习委员先从第一部分的4条内容中随机选择一条进行讲解，纪律委员再从第二部分的4条内容中随机选择一条进行讲解．（每条内容被选择的可能性均相同） （1）“学习委员讲解的是B．地震观测”是___________事件；（选填“随机”或“必然”或“不可能”） （2）请用列表法或画树状图的方法求学习委员讲解的不是．震害防御，且纪律委员讲解的是．做好应急准备的概率． 16. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且． （1）若，求线段，的长． （2）若四边形的面积为48，求的面积． 17. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，点A，B，C在上，，以，为边作． （1）当经过圆心O时（如图1），求的度数； （2）当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 19. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 20. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． （2）求纪念碑的高度． （3）小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 22. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $