精品解析：天津市西青区当城中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

西青当城中学数学12月月考试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共48分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，，函数已知，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．当人体长时间处于高原、高空或深海环境中，容易引发血氧饱和度降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为76．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）（结果精确到0.1，，，） A. 0.4小时 B. 0.5小时 C. 0.6小时 D. 0.7小时 6. 已知函数，其中，若，使得关于x的不等式成立，则正实数a的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛应用．在的定义为：当（，且p、q为互质的正整数）时，：当或或x为内的无理数时，，下列说法错误的是（ ） （注：p、q为互质的正整数（），即为已约分的最简真分数）（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 当时，的图象关于直线对称 D. 存在大于1的实数m，使方程（）有实根 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在区间上单调递增 C. ，均有 D. 函数与的图象有9个交点 9. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式的解集为，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，函数在上的最大值为，最小值为，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 13. 已知集合，，若成立，则的取值范围为_______________； 14. 满足不等式的x取值范围是________． 15. 函数的单调递增区间为__________. 16. “至少有一个不为”是“”的______________条件.（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填空） 17. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“完美旋转点”．已知函数，若函数的图象存在“完美旋转点”，则实数的取值范围是_______． 三、解答题（共37分） 18. 已知全集，非空集合 (1)当时，求； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 19. 已知集合，． （1）当实数在什么范围内取值时，？ （2）当实数在什么范围内取值时，中只有一个元素？ 20. （1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 21. 设k为实数，若函数在区间上无零点，求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西青当城中学数学12月月考试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共48分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集定义计算即可得. 【详解】由，则. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 【详解】根据特称命题的否定是全称命题， 命题“，”的否定是：“，”. 故选：A 3. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的定义域为全体实数，说明分母不为零，对讨论，结合二次方程的知识可求答案. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 当时，显然符合题意； 当时，，即， 综上可得实数的取值范围是. 故选：B. 4. 设集合，，函数已知，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，求的范围，判断其与集合的关系即可． 【详解】结合函数图象， 当时，则， 又因为，所以结合图象得， 故选：C． 5. 血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．当人体长时间处于高原、高空或深海环境中，容易引发血氧饱和度降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为76．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）（结果精确到0.1，，，） A. 0.4小时 B. 0.5小时 C. 0.6小时 D. 0.7小时 【答案】D 【解析】 【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，两边同时取自然对数并整理， 得，， 则，则给氧时间至少还需要小时 故选： D 6. 已知函数，其中，若，使得关于x的不等式成立，则正实数a的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出分段函数，若，使得关于x的不等式成立，则在上的最小值，即，即可分类求解得出答案. 【详解】由题意可知， 若，使得关于x的不等式成立， 则在上的最小值， ， 为正实数， 则当时，，解得； 当时，，解得， 综上，正实数a的取值范围为或， 故选：B. 7. 黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛应用．在的定义为：当（，且p、q为互质的正整数）时，：当或或x为内的无理数时，，下列说法错误的是（ ） （注：p、q为互质的正整数（），即为已约分的最简真分数）（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 当时，的图象关于直线对称 D. 存在大于1的实数m，使方程（）有实根 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，或或x为内的无理数时，，当为内的有理数时，也满足；B选项，分别考虑分别为0，1，内的有理数或无理数时，讨论得到；C选项，考虑，1或内的无理数，，为内的有理数，也满足，故C正确；D选项，求出的值域，从而得到方程无根. 【详解】A选项，当或或x为内的无理数时，， 故，此时； 当（且p、q为互质的正整数）时，（且p为正整数）， 则，此时， 当时，，A正确； B选项，若或，此时，， 又，故满足； 若或，不妨设，此时，， 又，故满足； 若为内的无理数时，为内的无理数或（且p、q为互质的正整数）， 此时，又，故； 若中一个为内的无理数，另一个为（且p、q为互质的正整数）， 此时为内的无理数，故，又， 故； 若均为（且p、q为互质的正整数），设， ，故，B正确； C选项，，1或内的无理数，则，，， 若为内的有理数，设（且p、q为互质的正整数）， 则， 综上，当时，的图象关于直线对称，C正确； D选项，的值域为，其中为大于等于2的正整数， 若，因为，所以， 此时方程（）无实根，D错误. 故选：D 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在区间上单调递增 C. ，均有 D. 函数与的图象有9个交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义求出函数值域，判断A，结合单调性的定义判断B，根据函数的定义判断C，作出函数与的图象，结合对数函数性质判断D． 【详解】由取整函数的定义知，，所以，∴，故函数的值域为∴A正确； ∵时，∴时，∴在区间上单调递增，∴B正确； ∵均有，均有，∴C正确； 对于D，结合函数与的图象可知，如图，函数与的图象有8个交点，∴D错误， 故选：D． 9. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式，放缩法可比较数的大小. 【详解】当时，有， 则，所以， 所以，所以. 故选：C. 10. 若不等式的解集为，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次不等式解集的性质，结合韦达定理将不等式化简为，从而得解. 【详解】因为由不等式的解集为， 所以，方程的两根为1和3， 由根与系数的关系得，则， 所以不等式可化为，即， 所以且，解得或， 所以解集为. 故选：B． 11. 对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的零点为的零点为0，3，再根据“零点相邻函数”的定义来进行求解. 【详解】令，解得，令，解得或， 所以的零点为的零点为0，3. 因为与互为“零点相邻函数”， 所以或， 则或， 解得或. 故选：D 12. 已知，函数在上的最大值为，最小值为，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要解决这道题，我们可以先对函数进行化简，再分析其对称性，进而得出最大值和最小值的关系. 【详解】 所以函数关于点对称， 又在上单调递增，且，所以在上单调递减， 则在上单调递增 由，则这个区间关于点对称，所以最值关于点对称， 那么最值和为，即 故选：D 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 13. 已知集合，，若成立，则的取值范围为_______________； 【答案】 【解析】 【分析】由题意，若，且，列出不等式组，即得解 【详解】由题意，若，由于，故 则 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算能力，为基础题 14. 满足不等式的x取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接解不等式即可得到答案. 【详解】由不等式，可得x－2＞2或x－2＜－2， ∴x＞4或x＜0， 故不等式的解集为， 故答案为：． 15. 函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性可得答案. 【详解】，令，则； 因为为增函数，的增区间为，所以的单调递增区间为. 故答案为： 16. “至少有一个不为”是“”的______________条件.（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填空） 【答案】充要条件 【解析】 【分析】利用充要条件的定义判断. 【详解】至少有一个不为，说明或或均不能为，则， 即“至少有一个不为”“”； ,说明或或均不能为，即至少有一个不为， 即“” “至少有一个不为”； 则“至少有一个不为”是“”的充要条件， 故答案为：充要条件. 17. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“完美旋转点”．已知函数，若函数的图象存在“完美旋转点”，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据“完美旋转点”的定义知在有解，转化为求最值的问题，利用基本不等式求解即可. 【详解】设，则，，， 若函数的图象存在“完美旋转点”， 则根据“完美旋转点”的定义知在有解， 即在有解， 将上式整理得， 当且仅当，即时等号成立， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（共37分） 18. 已知全集，非空集合 (1)当时，求； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），，（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）当a=时，求出集合B，根据集合的基本运算即可求 （2）根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a的取值范围 试题解析： （1），， （2） ∵是的充分条件，∴ ①当，即时，，不符合非空集合题意； ②当，即时，要使需要 ∴ ③当，即时，要使需要 ∴ 综上所述，实数的范围是. 19. 已知集合，． （1）当实数在什么范围内取值时，？ （2）当实数在什么范围内取值时，中只有一个元素？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出集合，依题意，，即可得到不等式组，解得即可； （2）由中只有一个元素，得到，只有一个在内，再列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：对于方程，即，解得或， 所以， 又， ，，， 或， 或， 实数的取值范围为． 【小问2详解】 解：中只有一个元素， ，只有一个在内， 或， 或， 实数的取值范围为． 20. （1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）； （2）证明：因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 【解析】 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 21. 设k为实数，若函数在区间上无零点，求k的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，利用判别式、对称轴及区间端点值的符号列不等式组，求k的取值范围. 【详解】由题设，的开口向上且对称轴为，， 当时，在上无零点，此时； 当时，要使在上无零点，则或，无解； 当时，要使在上无零点，则或，无解； 综上，在上无零点k的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $