精品解析：河北石家庄市2025-2026学年 第一学期期末阶段性练习九年级数学

2025-2026学年度第一学期阶段性练习 九年级数学 注意事项： 1．答题的，考生务必使用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、所在学校填写清楚．并在指定区域粘贴好条形码． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔将所选答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．请在各试题指定的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上作答无效． 4．试卷不能折叠，试卷边角上的三角标志不得污损，涂改． 一、选择题（本大题共12个小题．每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、两个图形不相似，故不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个图形是相似图形，故是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，故不是位似图形，不符合题意； D、两个图形不是相似图形，故不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 2. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 3. 如图，五线谱中的五条直线相互平行且等距，直线与直线分别交于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 作交于E，交于D，根据平行线分线段成比例定理作答即可． 【详解】解：作交于E，交于D， ∵五线谱中的五条直线相互平行且等距， ∴，， ∴， 即， ∴． 故选：C． 4. 如图，点，点是抛物线上关于抛物线的对称轴对称的两个点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的轴对称性，熟练掌握抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标到对称轴的距离相等、纵坐标相等是解题的关键． 利用抛物线的轴对称性，已知点的坐标和对称轴方程，计算点到对称轴的水平距离，再根据对称关系求出点的横坐标，纵坐标保持不变． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点与点关于该对称轴对称， ∴点到对称轴的水平距离为， ∴点的横坐标为， ∵对称点的纵坐标相等， ∴点的坐标为， 故选：C． 5. 如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 长方体 D. 圆柱体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据三视图判断几何体． 根据主视图和左视图可知几何体是柱体，根据俯视图可知底面为三角形，进而判断即可． 【详解】解：根据主视图和左视图可知几何体是柱体，根据俯视图可知底面为三角形， 即这个几何体是三棱柱． 故选：B． 6. 已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（ ） A. B. C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，根据两根之和求出k的值，再求两根之积即可． 【详解】解：设方程的两根为和． ∴两根之和． ∵两根的和是6， ∴， ∴， ∴． ∴两根之积． 故选：A． 7. 如图，一块含角的直角三角板内接于，其中，，若是上的一点（不与点重合），则的度数是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 随着点的变化一直在变 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理及分类讨论点的位置是解题的关键． 先利用“直角三角形的斜边为外接圆直径”确定是的直径，再结合已知条件求出的度数．接着分点在上方和下方两种情况，根据“同弧所对的圆周角相等”及“圆内接四边形对角互补”分别计算的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 当点在下方时， ∵弧所对的圆周角与相等， ∴ 当点在上方时， ∵四边形为圆内接四边形 ∴ ∴ 综上，的度数为或 故选：． 8. 由甲、乙、丙、丁和小强共五位同学组成的小组，在国学知识竞赛中的成绩如图所示，赛后发现图中小强的成绩少加了10分，在小强的成绩加上这10分后，与加分前相比，关于这五位同学的成绩所组成的一组数据，下列说法正确的是（ ） A. 小强的成绩一直位于组内中等水平 B. 小强的成绩一直是这组数据的中位数 C. 方差变小，小组成绩的稳定性增加 D. 方差变大，小组成绩的稳定性降低 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数、方差的概念及性质，解题的关键是分别分析每个选项中涉及的统计量在小强成绩加分前后的变化情况． 根据中位数、方差，逐一分析选项，即可． 【详解】解：从图表可以看出由图可知，除小强外其他4名同学成绩最低高于80分， 小强的成绩加10分后成绩低于80分，此时小强成绩最低，不位于组内中等水平，故A，B选项错误，不符合题意； 小强的成绩加10分后，这5位同学成绩的波动性变小， ∴方差变小，小组成绩的稳定性增加，故C选项正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 9. 一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 根据传播模型，初始1人会做，第一节课后增加x人，第二节课后每个会做的人教会x人，总人数为． 【详解】解：初始会做人数为1， 第一节课后，会做人数变为， 第二节课，新教会人数为， ∴会做的总人数为． 故选：B． 10. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 由题意可知，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 故树的高度为， 故选：C． 11. 某种商品每件的进价为30元，若以每件x元售出，可卖出件，下列说法中正确的是（） A. 这种商品的销售利润可表示为 B. 这种商品的销售利润随x的增大而增大 C. 每件商品售价定为40元或50元，销售这种商品可获得相同的利润 D. 若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数的应用，掌握知识点是解题的关键． 利润为售价减进价后乘以销量，即利润．该二次函数开口向下，有最大值，通过求顶点或代入值验证选项即可． 【详解】解：∵这种商品的销售利润可表示为 ， ∴选项A错误， ∵这种商品的销售利润为 ，二次项系数为负， ∴函数开口向下，利润随x增大先增后减，选项B错误． 当0时，利润为； 当时，利润为； ∵， ∴选项C错误． ∵二次函数顶点横坐标， ∴当时，利润最大，选项D正确． 故选D． 12. 如图，在等腰直角三角形纸片中，分别是边上的动点，将沿着翻折，使点的对应点F落在内（包括边上），对于结论I和II，下列判断正确的是（ ） 结论I：当时，； 结论II：当与相似时，的值为或． A. 结论I和II都对 B. 结论I和II都不对 C. 结论I不对，II对 D. 结论I对，II不对 【答案】D 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，翻折变换，平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 结论I先由折叠得到，再由平行线的性质和判定即可得出结论；结论II分两种情形：若，如图1中，若，如图2中，分别求解即可． 【详解】解：是等腰直角三角形，且， ， ∵折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ，故结论I正确； ∵点F在内部或边上， ∴， ∵与相似， ∴，即F在上， 若，且由折叠可知， ∴点F在点C处，如图1中， ∵， ∴； 若，如图2中， ∵折叠得到， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，当与相似时，的值为或，故结论II不对， 故选：D ． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则的值为___________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，从而确定参数m和n的值． 【详解】解：将移项得：， 两边同时加上一次项系数一半的平方得：， 配方得：， ∴， 故答案为：21． 14. 在中，，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，正切值的计算，利用正切定义求出，再应用勾股定理求． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：10． 15. 如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，设与相交于点，则，，由正六边形的性质得是等边三角形，即得，，利用勾股定理求出即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点，则，， ∵多边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，双曲线经过点，以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段．若在线段上总有在反比例函数图象上的点，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，位似变换，解答本题的关键要明确：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 利用反比例函数图象上点的坐标特征计算的值，利用关于原点为位似中心的点的坐标变换规律得到，由于点落在反比例函数上时，的值最大，所以把点的坐标代入反比例函数解析式可得到的最大值． 【详解】解：把代入得； 以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段， ， 当点落在反比例函数上时，的值最大， ， 解得，（舍去）， 的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题． （1）解方程：． （2）计算： 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算． （1）根据公式法求解即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ． ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：原式． ． 18. 某水果生产基地为了解同一批苹果装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的苹果中任意选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量他们的重量（单位：），并分别测算出各组苹果重量的平均数，结果如下表： 小组编号 A B C D E 箱数（单位：箱） 15 15 25 20 25 平均重量（单位：kg） 20 18 30 25 32 根据以上信息，解决下面的问题： （1）下面是晓红同学求这100箱苹果的平均重量的做法： 这100箱苹果的平均重量为． 请你判断她的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱苹果的平均重量． （2）现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱这批苹果，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批苹果运送完？通过计算进行说明． （3）若该水果生产基地对这五组苹果随机抽出两组，再次检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和组的概率． 【答案】（1）晓红的做法不正确，这100箱苹果的平均重量是 （2）需要载重量为5吨的卡车6辆 （3） 【解析】 【分析】（）利用加权平均数即可求解； （）估计这批苹果的重量为（吨），则，从而求解； （）根据题意列表，一共有20种等可能的结果，同时抽到组和组有2种等可能的结果，然后通过概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：晓红的做法不正确． 这100箱苹果的平均重量为： 答：这100箱苹果的平均重量是． 【小问2详解】 估计这批苹果的重量为（吨）． ， 需要载重量为5吨的卡车6辆； 【小问3详解】 解：列表如下： 一共有20种等可能的结果，同时抽到组和组有2种等可能的结果， （同时抽到组和组）． 19. 一节综合实践活动课上，刘老师给每一位同学发了一张正方形纸片，并提出问题：“对折如图1所示的正方形纸片，或用尺规作边的垂直平分线，都可以确定边上的中点．那么如何利用折纸或尺规作图的方法确定正方形某条边上的一个三等分点？” 【操作1】嘉嘉通过下面折叠的方法确定正方形一边的一个三等分点．如图2， 第一步：将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第二步：将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为； 第三步：连接，交于点； 第四步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 结论：点为边的一个三等分点． （1）嘉嘉为了说明上述结论是正确的，提出了这样的证明思路：“先证明，再证明，即可证得点是边的一个三等分点”请按照嘉嘉的证明思路写出证明过程． 【操作2】淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法在图3中进行如下作图： 第一步；将正方形纸片对折，使点和点重合，然后展开铺平，确定的中点，连接； 第二步：利用尺规作图的方法，在正方形内作； 第三步：延长，交边于点． 淇淇认为点为边的一个三等分点． （2）请利用尺规作图，在图3中，补充完成上述过程中的“第二步和第三步”，确定点的位置，（不写作法，保留作图痕迹）并直接判断淇淇作图所得点是否是边的一个三等分点．（不需证明） 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为， ∴，， ∴， ∴， ∵过点折叠正方形纸片，使折痕， ∴， ， ∴点为边的一个三等分点； （2）如图所示， 点是边的一个三等分点． 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据题意证明，得，再证明，得，即可求解； （2）根据题意，证明，得，再证明，得，设，，则，，由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图所示，正方形， 分别以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接并延长交于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 设，，则，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴点是边的一个三等分点． 20. 如图，抛物线（为常数，）与轴交于点（点在点左侧），点的横坐标是，抛物线的顶点为．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右运动，同时将抛物线绕点旋转后得到抛物线，设点的运动时间为秒． （1）求的值及顶点的坐标； （2）当点与点重合时，求的表达式； （3）如图，在中，，，，则 ①求顶点的横坐标（用含的式子表示）； ②若落在内部（不含边界）图象的函数值随自变量的增大而减小，直接写出的取值范围． 【答案】（1），顶点的坐标为 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求出的值；再将解析式化为顶点式，直接得到顶点的坐标． （2）点与点重合时，以为旋转中心，将原抛物线顶点旋转得到新顶点；根据旋转后抛物线开口方向相反、形状不变，写出新抛物线的表达式． （3）①先确定点的坐标为；根据中心对称的性质，原顶点与新顶点关于点对称，用中点坐标公式求出的横坐标．②结合的开口方向和对称轴，确定其“函数值随自变量增大而减小”的取值范围；再结合的边界范围，列出不等式组求解的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴顶点； 【小问2详解】 解：∵点与重合， ∴旋转中心为， 设旋转后顶点为， ∵与关于对称， ∴，， ∴，， ∵抛物线旋转，开口方向相反， ∴的解析式为，即； 【小问3详解】 解：①∵点从出发，速度为1单位/秒，运动时间秒， ∴， 设的顶点为， ∵与关于对称， ∴， ∴； ②,,， ,， 点从出发，速度为个单位秒，运动时间秒 ， 关于的对称点为， ∴的解析式为， 如图，当的解析式为的对称轴左侧过点时， 把代入得， 解得或（此时，不符合题意，舍去）， 如图，当的解析式为的对称轴过点时，有 ， 解得， 抛物开口向下在对称轴右侧，随增大而减小，落在内部不含边界随增大而减小， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、图形的旋转变换、坐标变换以及不等式的应用，熟练掌握二次函数的顶点式、旋转的坐标变换规律，以及结合图形边界分析函数增减性的方法是解题的关键． 21. 如图1和图2，在中，，．点是线段延长线上一点，以点为圆心，以为半径，在的左侧作半圆，交于点，交于点． （1）如图1，点是半圆上一点（可与点，重合），当时，求线段长的最大值和最小值； （2）将线段绕点顺时针旋转得到线段． ①如图2，当点恰好落在上时，求的长； ②在①的条件下，求半圆与线段所围成的封闭图形的面积． （3）在（2）的条件下，若半圆与的边相切于点，直接写出弧的长． 【答案】（1）；； （2）①；②； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，点与圆的位置关系得到当点与点重合时，取得最大值，当点与点重合时，取得最小值，结合勾股定理即可求解； （2）①根据题意，．在中，，，代入计算即可求解； ②如图2，当点刚好落在上时，设半圆与的另一个交点为，连接，根据扇形面积的计算即可求解； （3）根据半圆与相切点的位置，分类讨论，结合弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 在中，， ∴, 如图1， 当点与点重合时，取得最大值，； 当点与点重合时，取得最小值，； 【小问2详解】 解：①如图2， 当点刚好落在上时，， ， 在中，，， ， ②如图2，当点刚好落在上时，设半圆与的另一个交点为，连接， 由①的解答可知，，， 为等边三角形， ， ∴． 【小问3详解】 解：或． 如图3，半圆与相切于点，连接， ， ， 弧长． 如图4，半圆与相切于点，连接， ， ， 弧长． 综上，所求弧的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，点与圆的位置关系，弧长公式的计算，切线的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性练习 九年级数学 注意事项： 1．答题的，考生务必使用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、所在学校填写清楚．并在指定区域粘贴好条形码． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔将所选答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．请在各试题指定的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上作答无效． 4．试卷不能折叠，试卷边角上的三角标志不得污损，涂改． 一、选择题（本大题共12个小题．每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，五线谱中的五条直线相互平行且等距，直线与直线分别交于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 如图，点，点是抛物线上关于抛物线的对称轴对称的两个点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 长方体 D. 圆柱体 6. 已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（ ） A. B. C. 7 D. 5 7. 如图，一块含角的直角三角板内接于，其中，，若是上的一点（不与点重合），则的度数是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 随着点的变化一直在变 8. 由甲、乙、丙、丁和小强共五位同学组成的小组，在国学知识竞赛中的成绩如图所示，赛后发现图中小强的成绩少加了10分，在小强的成绩加上这10分后，与加分前相比，关于这五位同学的成绩所组成的一组数据，下列说法正确的是（ ） A. 小强的成绩一直位于组内中等水平 B. 小强的成绩一直是这组数据的中位数 C. 方差变小，小组成绩的稳定性增加 D. 方差变大，小组成绩的稳定性降低 9. 一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（ ） A. B. C. D. 11. 某种商品每件的进价为30元，若以每件x元售出，可卖出件，下列说法中正确的是（） A. 这种商品的销售利润可表示为 B. 这种商品的销售利润随x的增大而增大 C. 每件商品售价定为40元或50元，销售这种商品可获得相同的利润 D. 若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润 12. 如图，在等腰直角三角形纸片中，分别是边上的动点，将沿着翻折，使点的对应点F落在内（包括边上），对于结论I和II，下列判断正确的是（ ） 结论I：当时，； 结论II：当与相似时，的值为或． A. 结论I和II都对 B. 结论I和II都不对 C. 结论I不对，II对 D. 结论I对，II不对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则的值为___________． 14. 在中，，则___________． 15. 如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，双曲线经过点，以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段．若在线段上总有在反比例函数图象上的点，则的最大值为___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题． （1）解方程：． （2）计算： 18. 某水果生产基地为了解同一批苹果装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的苹果中任意选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量他们的重量（单位：），并分别测算出各组苹果重量的平均数，结果如下表： 小组编号 A B C D E 箱数（单位：箱） 15 15 25 20 25 平均重量（单位：kg） 20 18 30 25 32 根据以上信息，解决下面的问题： （1）下面是晓红同学求这100箱苹果的平均重量的做法： 这100箱苹果的平均重量为． 请你判断她的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱苹果的平均重量． （2）现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱这批苹果，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批苹果运送完？通过计算进行说明． （3）若该水果生产基地对这五组苹果随机抽出两组，再次检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和组的概率． 19. 一节综合实践活动课上，刘老师给每一位同学发了一张正方形纸片，并提出问题：“对折如图1所示的正方形纸片，或用尺规作边的垂直平分线，都可以确定边上的中点．那么如何利用折纸或尺规作图的方法确定正方形某条边上的一个三等分点？” 【操作1】嘉嘉通过下面折叠的方法确定正方形一边的一个三等分点．如图2， 第一步：将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第二步：将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为； 第三步：连接，交于点； 第四步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 结论：点为边的一个三等分点． （1）嘉嘉为了说明上述结论是正确的，提出了这样的证明思路：“先证明，再证明，即可证得点是边的一个三等分点”请按照嘉嘉的证明思路写出证明过程． 【操作2】淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法在图3中进行如下作图： 第一步；将正方形纸片对折，使点和点重合，然后展开铺平，确定的中点，连接； 第二步：利用尺规作图的方法，在正方形内作； 第三步：延长，交边于点． 淇淇认为点为边的一个三等分点． （2）请利用尺规作图，在图3中，补充完成上述过程中的“第二步和第三步”，确定点的位置，（不写作法，保留作图痕迹）并直接判断淇淇作图所得点是否是边的一个三等分点．（不需证明） 20. 如图，抛物线（为常数，）与轴交于点（点在点左侧），点的横坐标是，抛物线的顶点为．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右运动，同时将抛物线绕点旋转后得到抛物线，设点的运动时间为秒． （1）求的值及顶点的坐标； （2）当点与点重合时，求的表达式； （3）如图，在中，，，，则 ①求顶点的横坐标（用含的式子表示）； ②若落在内部（不含边界）图象的函数值随自变量的增大而减小，直接写出的取值范围． 21. 如图1和图2，在中，，．点是线段延长线上一点，以点为圆心，以为半径，在的左侧作半圆，交于点，交于点． （1）如图1，点是半圆上一点（可与点，重合），当时，求线段长的最大值和最小值； （2）将线段绕点顺时针旋转得到线段． ①如图2，当点恰好落在上时，求的长； ②在①的条件下，求半圆与线段所围成的封闭图形的面积． （3）在（2）的条件下，若半圆与的边相切于点，直接写出弧的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $