第4章 因式分解（基础篇）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册第4章 因式分解（基础篇） 一．选择题（共17小题） 1．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2 2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9 3．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7） C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25 4．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（　　） A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2） 5．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（　　） A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6 6．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　） A．a（m+n）＝am+an B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x 7．下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1； ②x3+x＝x（x2+1）； ③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 9．多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（　　） A．a2b B．﹣4a2b2 C．4a2b D．﹣a2b 10．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1 B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 11．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于（　　） A．（a﹣2）（m2+m） B．（a﹣2）（m2﹣m） C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（a﹣2）（m+1） 12．多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2 13．分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（　　） A．3（x2+4x+3） B．3（x2+2x+3） C．（3x+3）（x+3） D．3（x+1）（x+3） 14．若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（　　） A．25或﹣25 B．﹣15 C．15 D．20 15．计算：1252﹣50×125+252＝（　　） A．100 B．150 C．10000 D．22500 16．若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 17．若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11 二．填空题（共8小题） 18．分解因式：x3﹣2x2+x＝　 　 ． 19．分解因式：x3﹣6x2+9x＝　 　 ． 20．分解因式：2x2﹣8x+8＝　 　 ． 21．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为　 　 ． 22．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　 　 ． 23．分解因式：4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2＝　 　 ． 24．若ab＝2，a﹣b＝﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于　 　 ． 25．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 26．分解因式： （1）2x2﹣8； （2）x4y4﹣（2xy﹣1）2． 27．分解因式： （1）4a2﹣b2； （2）2a2﹣12a+18． 28．因式分解 （1）﹣2a3+12a2﹣18a （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） 29．把下列各式分解因式： （1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x） （2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1） （3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y） 30．分解因式： （1）16﹣b2； （2）3ax2﹣6axy+3ay2． 31．分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）． 32．分解因式： （Ⅰ）ab2﹣4a； （Ⅱ）3a﹣6ax+3ax2． 33．分解因式： （1）3ax2﹣6axy+3ay2； （2）b2（m﹣n）﹣4（m﹣n）． 34．分解因式：（a2+1）2﹣4a2． 35．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 　 　 ； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　 ； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 参考答案与试题解析 一．选择题（共17小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B A D C B D C C C 题号 12 13 14 15 16 17 答案 A D A C A C 一．选择题（共17小题） 1．【分析】分别将多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找它们的公因式． 【解答】解：mx2﹣m＝m（x﹣1）（x+1）， x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， 多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）． 故选：A． 2．【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反． 【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误； B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误； C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误； D、﹣x2+9＝﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确． 故选：D． 3．【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可． 【解答】解：A、a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误； B、a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确； C、（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误； D、a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误； 故选：B． 4．【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：ax2﹣4ax+4a， ＝a（x2﹣4x+4）， ＝a（x﹣2）2． 故选：A． 5．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【解答】解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），得 2x2+bx+c＝2（x﹣3）（x+1）＝2x2﹣4x﹣6． b＝﹣4，c＝﹣6， 故选：D． 6．【分析】根据因式分解的意义即可判断． 【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解； （B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解； （D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解； 故选：C． 7．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解； ②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解； ③整式的乘法，故③不是因式分解； ④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解； 故选：B． 8．【分析】分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案． 【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意； B、x（x﹣2）+（2﹣x）＝（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意； C、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故C选项不合题意； D、x2+2x+1＝（x+1）2，故D选项符合题意． 故选：D． 9．【分析】利用公因式的确定方法可得答案． 【解答】解：这三项系数的最大公约数是4，三项的字母部分都含有字母a、b，其中a的最低次数是2，b的最低次数是1，因此多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中各项的公因式是4a2b． 故选：C． 10．【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【解答】解：A、右边不是积的形式，故A错误； B、右边不是积的形式，故B错误； C、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故C正确． D、是整式的乘法，不是因式分解． 故选：C． 11．【分析】先把（2﹣a）转化为（a﹣2），然后提取公因式m（a﹣2），整理即可． 【解答】解：m2（a﹣2）+m（2﹣a）， ＝m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）， ＝m（a﹣2）（m﹣1）． 故选：C． 12．【分析】分别将多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【解答】解：∵4x2﹣4＝4（x+1）（x﹣1），x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）． 故选：A． 13．【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案． 【解答】解：（2x+3）2﹣x2 ＝（2x+3﹣x）（2x+3+x） ＝（x+3）（3x+3） ＝3（x+3）（x+1）． 故选：D． 14．【分析】直接利用完全平方公式分解因式求出答案． 【解答】解：4x2+kx+25＝（2x+a）2， 当a＝5时，k＝20， 当a＝﹣5时，k＝﹣20， 故k+a的值可以是：25或﹣25． 故选：A． 15．【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而计算得出即可． 【解答】解：1252﹣50×125+252 ＝（125﹣25）2 ＝10000． 故选：C． 16．【分析】直接利用完全平方公式得出m2+n2＝6，进而提取公因式分解因式得出答案． 【解答】解：∵m﹣n＝﹣2，mn＝1， ∴（m﹣n）2＝4， ∴m2+n2﹣2mn＝4， 则m2+n2＝6， ∴m3n+mn3＝mn（m2+n2） ＝1×6 ＝6． 故选：A． 17．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【解答】解：∵4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解， ∴k+1＝±12， 解得：k＝﹣13或11， 故选：C． 二．填空题（共8小题） 18．【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2． 故答案为：x（x﹣1）2． 19．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：x3﹣6x2+9x， ＝x（x2﹣6x+9）， ＝x（x﹣3）2． 故答案为：x（x﹣3）2． 20．【分析】先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝2（x2﹣4x+4） ＝2（x﹣2）2． 故答案为2（x﹣2）2． 21．【分析】利用整式的乘法计算（x+1）（x﹣2），按二次项、一次项、常数项整理，与多项式x2+ax+b对应，得出a、b的值代入即可． 【解答】解：（x+1）（x﹣2） ＝x2﹣2x+x﹣2 ＝x2﹣x﹣2 所以a＝﹣1，b＝﹣2， 则a+b＝﹣3． 故答案为：﹣3． 22．【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值． 【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的， 他分解结果为（x+2）（x+4）＝x2+6x+8， ∴a＝6， 同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）＝x2+10x+9， ∴b＝9， 因此a+b＝15． 故答案为：15． 23．【分析】原式利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝[2+3（x﹣y）]2＝（3x﹣3y+2）2． 故答案为：（3x﹣3y+2）2 24．【分析】首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可． 【解答】解：∵ab＝2，a﹣b＝﹣1， ∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×（﹣1）＝﹣2． 故答案为：﹣2． 25．【分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值． 【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1， ∴（a+1）2﹣（b﹣1）2 ＝（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1） ＝（a+b）（a﹣b+2） ＝4×（1+2） ＝12． 故答案为：12． 三．解答题（共10小题） 26．【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）2x2﹣8 ＝2（x2﹣4） ＝2（x+2）（x﹣2）； （2）x4y4﹣（2xy﹣1）2 ＝（x2y2+2xy﹣1）（x2y2﹣2xy+1） ＝（x2y2+2xy+1﹣2）（xy﹣1）2 ＝[（xy+1）2﹣2]（xy﹣1）2 ． 27．【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）； （2）2a2﹣12a+18 ＝2（a2﹣6a+9） ＝2（a﹣3）2． 28．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2； （2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）． 29．【分析】根据分解因式的方法﹣提公因式法分解因式即可． 【解答】解：（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）＝2（x﹣y）（a+3b）； （2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣b﹣1）； （3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）＝（y﹣x）（2x﹣x﹣y）＝﹣（x﹣y）2． 30．【分析】（1）直接利用平方差进行分解即可； （2）首先提公因式3a，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（4+b）（4﹣b）； （2）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2． 31．【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可． 【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2 ＝3（a2﹣2ab+b2） ＝3（a﹣b）2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m） ＝（m﹣2）（x2﹣y2） ＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）． 32．【分析】（1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． 【解答】解：（1）原式＝a（b2﹣4） ＝a（b+2）（b﹣2）； （2）原式＝3a（1﹣2x+x2） ＝3a（x﹣1）2． 33．【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝3a（x2﹣2xy+y2） ＝3a（x﹣y）2； （2）原式＝（m﹣n）（b2﹣4） ＝（m﹣n）（b+2）（b﹣2）． 34．【分析】原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2． 35．【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． 【解答】解：（1）故选：C； （2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9， 设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+1）（y+7）+9， ＝y2+8y+16， ＝（y+4）2， ＝（x2﹣4x+4）2， ＝（x﹣2）4； 故答案为：（x﹣2）4； （3）设x2+2x＝y， 原式＝y（y+2）+1， ＝y2+2y+1， ＝（y+1）2， ＝（x2+2x+1）2， ＝（x+1）4 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $