江苏省镇江第一中学等校2025-2026学年高二上学期2月期末考试数学试卷

2024级高二上2月期末考试 数学试卷 2026.02 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2.已知是定义在上的连续可导函数. “”是“是的一个极值点”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3.圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4.已知等差数列的前项和为，且，则等于（ ） A. B. C. D.9 5.两条平行直线与之间的距离（ ） A. B. C. D. 6.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6，m项依次构成一个等比数列，则m等于（ ） A.13 B.14 C.15 D.18 7.将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 8.设,若函数（）有大于零的极值点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分。 9.下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10.设数列是等比数列，下列说法正确的有（ ） A.是等比数列 B.是等差数列 C.是等比数列 D.是等比数列 11.已知椭圆:的左右顶点为A、B,点P为椭圆C上异于左右顶点的一点，过点P向轴作垂线，垂足为Q,下列说法正确的有（ ） A. B. 存在点P使得 C. 当点P运动到短轴端点时最大 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.函数的单调递增区间是________. 13.直线与圆相交于A,B两点，则弦长AB的最小值为______. 14.设为实数，若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围_______. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 16.（15分） 已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点斜率为1的直线与椭圆交于A,B两点，求△的周长与面积. 17.（15分） 设数列满足：，且对任意的,都有. （1）求证：为等比数列； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前9项和. 18.（17分） 抛物线（）的焦点为,为坐标原点，点是抛物线上的一点，到焦点的距离是4. （1） 求的值及抛物线的准线方程； （2） 过抛物线焦点的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线的准线上，且BC；点为中点，过点向轴作垂线交抛物线于点. 求证：①三点共线. ② 抛物线上点处的切线与平行. 19.（17分） 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若有两个不同的零点，求证：. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学试卷参考答案 2026.02 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D C C A B 9 10 11 CD ABD ACD 12.(-1,+o∞) 13.2 14.[-2,-V3) 15.(13分) 解f'(x)=x2一4.令f'(x)=0,解得1=-2，x2=2. 列表如表5-3-4所示. 表5-3-4 (-0∞，-2) -2 (-2,2) 2 (2,十∞) f'(x) + 0 一 0 极大值 极小值 f(x) f(-2) f(2) 因此，当x=一2时，f(x)有极大值f(一2)= 3;当x=2时， 1 f(x)有极小值f(2)=一b(图5-3-b). …7分 (2)由(1)知，f(x)的极大值为f(-2)=a+ 16 3 f9的极小值为f2)=a-16 …10分 3 f(-2)>0 由三次函数图像性质可得： …12分 f(2)<0 解之得：-16 16 3 <a< …13分 3 解：(1)设椭圆的方程为+ 为。+方=1a>6>0) 显然a=2,c=1 所以b2=a2-c2=3 1 椭圆的标准方程为：十 -=1 …5分 43 (2)△FAB的周长=4a=8 …8分 由题意得：IBy=x-1 设A(x1,y1）,B(x2,y2) 联立 3x2+4y2-12=0 消去y整理得：7x2-8x-8=0 y=x-1 △>0 8 所以有x+= …10分 x1x2=-7 S所8RR%-上25-x到 …13分 2 122 …15分 7 17.解： (1)证明：a1+1_2a,+)+1=2 an+1 an +1 所以数列{am+1}是公比为2的等比数列 …3分 am+1=(a1+1):2n-1 …4分 所以a。=2”-1 …5分 (2)3=20-2”-m …8分 1-2 =2m+1-n-2 …10分 令cn=n…2” T=1.2+2.22+…+9.29 …① 2T=1.22+…+8.29+9.210 …② 2 ①-②得 -T=2+22+…+29-9.210 所以T=8194 …13分 所以T,=T-45=8149 …15分 18.(17分) 抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,0为坐标原点，点M(m,3)是抛物线上的一点， M到焦点的距离是4 (1)求m的值及抛物线的准线方程； 。步骤1：利用抛物线定义求p 抛物线x2=2py的定义：抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离。 3到噍点的距离为4，准线方程 ，因此 3+8=4一p=2 ·步骤2：求抛物线方程与m 抛物线方程为x2=4y,代入M(m,3)得 分值建议：6分 m2=4×3=12→m=±2W3 ·求p:2分 。步骤3：求准线方程 ·求m:2分 准线方程为)==-1 ·求准线方程：2分 2 2·步骤1：设过焦点的直线方程 焦点F(0,1),设直线AB为y=kx+1,与x2=4y联立： x2-4kx-4=0 由韦达定理：c12=一4 ·步骤2：求点C坐标 BC‖y轴，C在准线y=-1上，故C(x2,-1) ·步骤3：证明A,O,C共线 直线OA的斜率koA= y1 x2/4x1 T1 Z1 4 -1 直线OC的斜率k0c= T? 分值建议：6分 4 由C1C2=-4→x2=- 代入得 ·设直线并联立方程：2分 koc -1= -4/x1 1二k0A ·韦达定理应用：2分 ·斜率相等证明共线：2分 故A,O,C三点共线 3. ·步骤1：求Q点坐标 P为AB中点，P C1+x21+2 2 2 过P作r轴垂线交抛物线于Q,则Q的横坐标为1十2=2k(由韦达定理1十2=4) 2 代入x2=4y得Q(2k,k2) ·步骤2：求Q点处切线斜率 x2 抛物线y兰、求导得列二 在Q(2k,k2)处切线斜率为2 =k ·步骤3：比较斜率 直线AB的斜率为k,故切线与AB平行 …5分 4 19.(17分) 己知函数f(x)=e+a-lnx+a. (1)当a=-1时，求y=f(x)的最小值； (2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围； (3)若y=f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证：x1+x2>2. 解：(1)当a=-1时，f(x)=e-1-lnx-1,定义域为(0，+o) f'(x)=e--1 又1)=。+亭>0恒成立 所以f'(x)在(0，+oo)上为增函数 又f')=0 …3分 所以当x∈(0,1)时，f'(x)<0,当x∈(1，+oo)时，f'(x)>0 所以f(x)在(O,)上为减函数，在（①，+o)上为增函数 所以x=1为极小值点，也是最小值点，f(x)的最小值为f①)=0 …5分 (2) 因为f'0=e*0-1，x∈(0，+网 且∫"（闭=e0+>0恒成立，所以f(w在(0，+网为蜡函数， 当x→0时，f'(x)→-0，当x→+0时，f'(x)→+0 所以存在唯一零点x使得f'xo)=0.且ea=L …7分 即为：xo+a=-lnxo* 所以f)在(0，xo)上为减函数，在(o,+o)上为增函数 所以x=x。为极小值点，也是最小值点. f(x)min f(xo)=e%o+a-In xo +a=-+xo+2a …9分 因为fa)mm=f0)=↓+x+2a≥2+2a≥0 所以a≥-1 …11分 法二：若e+a-lnx+a≥0恒成立 即为：er+a+x+a≥x+lnx恒成立 …7分 构造函数h(x)=e"+x 不等式即为：h(x+a)≥hnx)恒成立，且h(x)为增函数 所以x+a≥lnx恒成立 …9分 即a≥lnx-x(x>0)恒成立 所以a≥(nx-x)max=-l1 …11分 3.由题意得：e+a-lnx+a=0的二根为x1,x2 即[e+a-lnx1+a=0 ex2+a-Inx2 +a=0 又因为er+a-lnx+a=0等价于e+a+x+a=x+lnx; 构造函数h()=e+x,显然h)为单调函数 方程e+a+x+a=x+lnx,即为：h(x+a)=hlnx) 所以有x+a=lhx 所以e+a-lnx+a=0与x+a=lnx为同解方程. …13分 即方程a=血x-x有两个不同得根也是x1,x2 (Inx -x1=a 所以nx2-x2=a 米米 易得a<-1,不妨设0<x1<1<x2 1-2<+2 由对数均值不等式n-血，<2一，将*式代入左侧. 原命题得证 …17分 (其他证明方法，是否需要找点，二级结论是否证明，评卷时请酌情处理) 6