精品解析：山东省临沂市费县第二中学2025-2026学年高一上学期1月阶段性检测数学试题

高一上学期数学阶段性检测 2026.1.19 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 1 D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上存在零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（且）过定点，若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间上不单调 C. 若，则函数的值域是 D. 图象可以由图象向右平移个单位长度得到 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若有两个零点，则 B. 只有一个零点 C. 若有两个零点，则 D. 若有四个零点，则. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知角的终边经过点，则________. 13. _____. 14. 已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角且. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 17. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）设.若对，都有成立，求的取值范围. 18. 全国新旧动能转换的先行区济南市将以“结构优化·质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城.某创新科技公司为了响应市政府的号召，决定研发并生产某种新型的工业机器人，经过市场调查，生产机器人需投入年固定成本为100万元，每生产x个，需另投入流动成本为万元，在年产量不足80个时，（万元）；在年产量不小于80个时，（万元）.每个工业机器人售价为6万元.通过市场分析，生产的机器人当年可以全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量x（个）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入−固定成本−流动成本） （2）年产量为多少个时，工业机器人生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数为偶函数，. （1）求实数的值，并判断在上的单调性（无需证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期数学阶段性检测 2026.1.19 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解集合，再根据交集的定义即可求出. 【详解】由题意，即，故 对于集合，即，又， ，则，故或， 根据交集的定义可得或. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，即不等式的解集为， 因为集合是集合的真子集， 所以是的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算． 【详解】由诱导公式可得， . 故选：B 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的定义域，结合复合函数单调性分析判断. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二倍角公式求出的值，再利用诱导公式将转化为与有关的形式. 【详解】因为， 所以. 故选：B 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数定义求得的值，再根据函数的单调性，即可求得不等式，解出的范围. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以题中不等式可化为， 又在上单调递减， 所以在上单调递增， 则，解得. 故选：A 7. 若函数存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性，以及函数最值即可求得结果. 【详解】由题知，函数在上单调递减，故，无最值， 当时，， 当时，在单调递减，，此时无最大值， 当时，， 当时，在上单调递增，， 由函数存在最大值，故最大值必为，则. 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 8. 已知函数在上存在零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点所在区间以及单调递增区间得出相应不等式，即可求得的取值范围. 【详解】因为，当时， 由函数在上存在零点，所以，解得； 因为在上单调递增，故，， 解得，； 显然，所以； 当时，无解；当时，可得满足题意， 即的取值范围为. 故选：B 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（且）过定点，若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 【答案】AC 【解析】 【分析】对ABC选项可由基本不等式判断得出，对于D则可用二次函数的配方求得最小值. 【详解】因为函数（且）过定点，所以，，. 又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以A正确； 由，得，当且仅当时等号成立，所以B不正确； 由基本不等式， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 由，得，所以， 当且仅当时等号成立，所以D不正确. 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间上不单调 C. 若，则函数的值域是 D. 图象可以由图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由五点作图法可得，再整体换元可判断BC选项，最后再由图象的平移及诱导公式可判断D选项. 【详解】由函数，再由五点作图法得， 解得，所以A正确； 所以，令，当时，， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上不单调，故B正确； 若，则，，所以C不正确； 由图象向右平移个单位长度得函数为 ， 所以D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若有两个零点，则 B. 只有一个零点 C. 若有两个零点，则 D. 若有四个零点，则. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数解析式分析的性质并画出的图象，数形结合法可判断A、B、C，结合二次函数性质讨论，且的位置情况，求出m的取值范围. 【详解】作出函数的图象，如图所示，若有两个零点，则与的图象有两个交点，由图可知，或，故A错误； 由图可知，只有一个零点，故B正确； 若有两个零点，不妨设 ，则且，所以即， 所以，故C正确； 令，则若有四个零点，则在内有一根，在内有一根，或在内有一根，且有一根为1，或在内有一根，且有一根为0， 所以当在内有一根，在内有一根时，，得； 当有一根为1时，，，此时另一根为2，不符合题意； 当有一根为0时，不符合题意； 综上，，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知角的终边经过点，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求出的值，再利用二倍角公式即可求得答案. 【详解】由于角的终边经过点，故， 则， 故答案为： 13. _____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据条件，利用指数、对数的运算，即可求解. 【详解】. 故答案为：5. 14. 已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性及奇偶性解不等式. 【详解】函数的定义域为， ， 故函数为偶函数，， 当时，， 因为函数在上均为减函数， 故函数在上为减函数， 由得， 则，即， 即，解得且， 故使不等式成立的实数的取值范围是. 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角且. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再结合两角和的正切公式求解； （2）分别求出，，，再结合两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 ， 又 . 【小问2详解】 ∵， ∴，则 故 ∵，， ∴，故 ∴ . 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将化简为只含有一个三角函数的形式，结合正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果； （2）根据x的取值范围，求得的范围，结合正弦函数性质，即可求得结果. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 令，得. 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 则， 所以的值域为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）设.若对，都有成立，求的取值范围. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用换元法，结合二次函数的性质求解即可； （2）结合余弦函数的性质可知，则有对恒成立，即，对恒成立，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，， 设，， 则， 此时函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，；当时，. 所以函数的值域为； 【小问2详解】 因为.若对，都有成立， 而在上的最大值为， 故对恒成立， 易得， 因为，当且仅当，即时取等， 所以， 即实数的取值范围为. 18. 全国新旧动能转换的先行区济南市将以“结构优化·质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城.某创新科技公司为了响应市政府的号召，决定研发并生产某种新型的工业机器人，经过市场调查，生产机器人需投入年固定成本为100万元，每生产x个，需另投入流动成本为万元，在年产量不足80个时，（万元）；在年产量不小于80个时，（万元）.每个工业机器人售价为6万元.通过市场分析，生产的机器人当年可以全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量x（个）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入−固定成本−流动成本） （2）年产量为多少个时，工业机器人生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为85个时，工业机器人生产中所获利润最大，最大利润是25万元 【解析】 【分析】小问1：分段讨论求解即可； 小问2：当时，利用二次函数性质求解最值；当时，结合基本不等式求解最值． 【小问1详解】 因为每个工业机器人售价为6万元，则x个工业机器人的销售收入为6x万元，依题意得：当时，， 当时，， ∴ 【小问2详解】 当时，， 此时，当时，取得最大值20； 当时，， 此时，当即时，取得最大值25； ∵， ∴年产量为85个时，工业机器人生产中所获利润最大，最大利润是25万元． 19. 已知函数为偶函数，. （1）求实数的值，并判断在上的单调性（无需证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1，在上单调递增 （2）或. （3） 【解析】 【分析】(1)根据恒成立，求出的值；通过换元，将解析式变为判断单调性； （2）由是偶函数且在上单调递增，将转化为在上恒成立求解； （3）将不等式，转化为，再通过换元求解. 【小问1详解】 是偶函数，恒成立， 即 即，可得恒成立，. 所以， 设，则当时， 设，可知在单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增. 【小问2详解】 因为是偶函数且在上单调递增， 又时，恒成立， 所以时，有恒成立， 即在时恒成立 设，则， 解得或. 【小问3详解】 当时，，又， 即， 因为对数函数单调递增，所以， 令，则， 所以， 令，则，， 因为在上单调递增，所以，所以， 所以，所以，所以. 又在上恒成立，即恒成立， 因为，所以. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $