精品解析：江苏东台市富安镇丁庄学校等校2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

江苏省盐城市东台市第四教育联盟2025-2026学年九年级上学期2月期末 数学试卷 （试卷分值150分，考试时间120分钟，命题范围 九年级上下册） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图， 为 的外接圆，，点D 在优弧上，连接 ． 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 某市招聘教师规定将笔试和面试成绩按照， 的比例计算最终得分．若某考生本次测试的笔试成绩是分，面试成绩是 分，则该考生的最后得分是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 4. 从整数2，3，4，5中任选2个数相加，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数 的值为（ ） A. 或5 B. 或5 C. 或2 D. 或2 6. 如图， 和是两个相距米且高度都为米的路灯，身高米的小明（）晚上在路灯下沿线段来回散步，则他身体前后的两个影子之和的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知直径 ，如果， 的半径为2，那么弦长是（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，抛物线 的对称轴是直线 ．下列结论：①；②；③；④对任意m，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）． 9. 某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454g，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：g）如下：，，0，，0，0，，0，，．估计这批罐头质量的平均数为____________g． 10. 为响应“双减”政策，某校开设社团活动，现有书法、篮球、美术3个社团，小明和小亮各随机选择一个社团，则两人选择同一个社团的概率为________． 11. 若 ，是方程的两个实数根，则的值为______． 12. 如图， 的直径平分弦（不是直径），若，则_____度． 13. 已知抛物线与 轴的两个交点为 ， ，若点 ， 在点的两侧，则的取值范围是______． 14. 如图，在 中，D是 边上一点，若， ，且，则 长为______． 15. 在平面直角坐标系 中有一菱形，反比例函数的图象经过点 且交边于点 ，则的值为___________． 16. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 某中学（一）班共 名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成下面的统计图． （1）这组数据的众数是______，中位数是______． （2）求这 名同学捐款的平均数； （3）该校共有学生名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？ 19. （1）解方程： ； （2）如图，已知点A，B，C是 上三点，且 于点 ，若半径，，求弦 长． 20. （1）已知，求的值． （2）已知线段是线段，的比例中项线段，若， ，求的值． 21. 如图， 为的对角线，延长 至点 ，使，连接 ，分别交， 于点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 如图，点 在 上， 是直径， ，过点 作 交的延长线于点 ． （1）求证： 是 的切线． （2）若 ，求图中阴影部分的面积． 23. 如图，在矩形中，，E是 边的中点，连接，过点 作交于点，连接． （1）求证：． （2）求的正弦值． 24. 如图所示，为美化校园环境，某校计划在一块长为、宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为． （1）用含的式子表示花圃的面积 ； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是元，并且通道宽的值能使关于x的方程有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于且不超过，如果学校决定由该公司承建此项目，求修建该通道的总费用为多少． 25. 如图，在 中，，以为直径作 ，交 于点D，交 于点E，连． （1）求证： （2）若求 的长度． 26. 已知在中，， 是边 上的中线．点P在射线 上（点P不与点B重合），连接 ． （1）如图1，当点P在 延长线上时，如果，求证： 是直角三角形； （2）当时， ①如图2，如果点P是 的内心，求 的面积： ②填空：如果，，那么 的长为 ． 27. 项目学习 【问题背景】今年11月份以来，广德“三件套”越来越火，全国各地游客纷纷来广德打卡，让“卡旺卡”供不应求，每天都有数百人在门口排队．数学小组对排队现象进行了研究，因条件有限仅研究了排队人数与工作窗口数之间的关系． 【研究条件】 条件1：门店内各窗口分别设置、互不影响； 条件2：顾客进店购买时都满足：排队人数现场总人数已购买人数； 条件3：由于条件限制，门店最多开放8个窗口，平均每个窗口每分钟可完成购买6人． 【模型构建】门店开业后，经研究发现，现场总人数 与营业时间 之间满足函数关系式： 【模型应用】 （1）当开通4个窗口时，营业时间 分钟时，已购买人数为_______，排队人数 与营业时间 的函数关系式为_______ （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）市文旅出于安全方面考虑要求： ①排队人数在开始营业10分钟（包括含10分钟）减少； ②门店老板由于场地受限，出于安全考虑，要求尽量少安排窗口，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几个窗口，请说明理由？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第四教育联盟2025-2026学年九年级上学期2月期末 数学试卷 （试卷分值150分，考试时间120分钟，命题范围 九年级上下册） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得方程的判别式△=0，进而可得关于k的方程，解方程即得答案． 【详解】解：由题意，得：，解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键． 2. 如图， 为 的外接圆，，点D 在优弧上，连接 ． 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等．根据等腰三角形性质求出，根据即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3. 某市招聘教师规定将笔试和面试成绩按照， 的比例计算最终得分．若某考生本次测试的笔试成绩是分，面试成绩是 分，则该考生的最后得分是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式计算是解题的关键． 根据加权平均数的计算公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，可知该考生的最后得分为分． 故选：C． 4. 从整数2，3，4，5中任选2个数相加，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用枚举法求事件的概率，从2，3，4，5中任选2个数，总共有6种组合，和为偶数的组合有2种，即可求出概率． 【详解】解：∵从2，3，4，5中任选2个数，总组合数为6种，具体为：． 和为偶数的是和，共2种． ∴和是偶数的概率． 故选：C． 5. 若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数 的值为（ ） A. 或5 B. 或5 C. 或2 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数 可知二次函数开口向下，顶点为，在上有最大值为4，则区间不包含顶点，分区间在对称轴左或右两种情况讨论，分别令端点函数值为4求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴，顶点， ∵在上最大值为4，且， ∴区间不包含，即或 ， 当 时，， 解得或， 若，即，则最大值在，令，∴ ， 若 ，则最大值在，令，∴， 综上， 或5． 故选A． 6. 如图， 和是两个相距米且高度都为米的路灯，身高米的小明（）晚上在路灯下沿线段来回散步，则他身体前后的两个影子之和的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，线段的和差转化，掌握方程思想是解题关键． 由题可知，路灯、身高与影子构成两组相似三角形，利用相似比得到线段比例关系，再结合线段和差建立方程，从而求出影子之和的长度． 【详解】解：根据题意可知，，，，， ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 解得． 故选：． 7. 如图所示，已知直径 ，如果， 的半径为2，那么弦 长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线． 连接，记交于点 ，由圆周角定理得，由垂径定理得，再解得，即可求解 ． 【详解】解：连接，记交于点 ， ∵， ∴， ∵直径 ， ∴， ∵ 的半径为2， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，抛物线 的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④对任意m，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题，逐一分析判断各个说法并选出正确的说法即可． 【详解】解：由抛物线开口向下可得， 根据抛物线的对称轴在y轴右侧可得a，b异号，∴ ， 根据抛物线与y轴的交点在其正半轴上可得， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵直线是抛物线的对称轴， ∴，可得， 由图象可知，当时， ，即， ∴， 即，故③正确； ∵当时，函数取得最大值，即为最大， 故， 即，故④错误， ∴结论正确的是②③，共2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）． 9. 某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454g，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：g）如下：，，0，，0，0， ，0，，．估计这批罐头质量的平均数为____________g． 【答案】455 【解析】 【分析】计算质量差值的和，再求差值的平均数，最后加上标准质量得到平均质量． 本题主要考查了平均数的求法，正确理解定义是关键． 【详解】解：质量差值的和为：． 差值的平均数为：． 因此，平均质量为：． 故答案为：． 10. 为响应“双减”政策，某校开设社团活动，现有书法、篮球、美术3个社团，小明和小亮各随机选择一个社团，则两人选择同一个社团的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，正确列表或画树状图，找到所有等可能的情况是解题关键． 由列表可得总共有9种等可能的结果，两人选择同一社团有3种情况即可求解． 【详解】解：设3个社团分别为A（书法）、B（篮球）、C（美术），小亮和小明各随机选择一个社团，列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表可知，所有可能的结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两人选择同一个社团的结果有3种（都选书法、都选篮球、都选美术）， ∴概率为． 故答案为：． 11. 若 ，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 12. 如图， 的直径平分弦 （不是直径），若，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的推论，圆周角定理． 连接 ，根据是 的直径得到 ，进而求出，根据直径平分弦 得到 ，进而得到，进而得到． 【详解】解：连接 ， ∵是 的直径， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 13. 已知抛物线与 轴的两个交点为 ，，若点 ，在点的两侧，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与 轴交点，求出抛物线与 轴的交点坐标，再根据交点在点的两侧，建立不等式组求解即可． 【详解】解： 抛物线， 抛物线与 轴交点为， 两交点横坐标为a和，且， 要使两交点在点的两侧，需满足， 解得 ， 故答案为： ， 14. 如图，在 中，D是 边上一点，若， ，且，则 长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 作 ，交 的延长线于点H，证明 是等腰直角三角形得，证明得，设，则，然后根据求出即可求解． 【详解】解：如图，作 ，交 的延长线于点H， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系 中有一菱形，反比例函数的图象经过点且交边于点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、菱形的性质、三角函数．过作，设，则 ，可得点C的坐标，进而求出反比例函数解析式，设，根据的正切列方程求出m值即可解题． 【详解】解：如图，过作， ， ， 设，则 ， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵四边形 是菱形， ∴，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 过作 于，过作于，由垂径定理得，再证四边形是矩形，则，，设该圆的半径长为 米，然后由题意列出方程组，解方程组即可. 【详解】解：过作 于，过作于，如下图所示： 则米，， ∵， ∴, ∴四边形是矩形, ∴，，， 设该圆的半径长为 米， 根据题意得 解得 即门洞的半径长为米， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 , 【解析】 【分析】先确定方程的各项系数，计算判别式判断根的情况，再代入公式计算即可得到方程的解． 【详解】解：∵ ∴  ，， ，，  ∴，  ． 18. 某中学（一）班共 名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成下面的统计图． （1）这组数据的众数是______，中位数是______． （2）求这 名同学捐款的平均数； （3）该校共有学生名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？ 【答案】（1） 元， 元 （2）元 （3）元 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(如果数据个数是奇数)，或者最中间两个数的平均数(如果数据个数是偶数)； （2）根据加权平均数计算方法即可计算 名同学捐款的平均数； （3）用样本平均数估计可以看做总体的平均数，用 名同学捐款的平均数乘以学生的总人数，即可得这个中学的捐款总钱数； 【小问1详解】 解：观察统计图可知，捐款 元的人数最多，为人，所以众数是 元， ∵一共有 个数据，将捐款金额从小到大排列后，第个数据的平均数就是中位数， 从图中可知，捐款元的有 人，捐款元的有人， 那么前人捐款金额小于 元，第到 人捐款 元， ∴第 个和第个数据都是 元，中位数为元， 故：这组数据的众数是 元，中位数是 元； 【小问2详解】 捐款总数为 平均数为元， 【小问3详解】 已知该校共有学生名，该班同学捐款平均数为元， 则中学捐款总数大约为元； 19. （1）解方程： ； （2）如图，已知点A，B，C是 上三点，且 于点，若半径，，求弦 长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，垂径定理，勾股定理等； （1）进行因式分解为的形式可得或，即可求解； （2）连接，由垂径定理得 ，由勾股定理得，即可求解； 能根据方程的不同形式选择恰当的方法，并能熟练利用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：（1）， 或 ， ， ； （2）连接， ，， ，， ， ， ， ． 20. （1）已知，求的值． （2）已知线段是线段，的比例中项线段，若， ，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，比例中项的定义，掌握比例中项的数量关系是解题关键． （1）根据，用表示，再代入中进行计算； （2）根据比例中项的定义，列式，将、代入算出． 【详解】（1）解：， ， ． 答：． （2）解：由条件可知， ， ， ， ， ， 又 ， 线段的长为． 答：． 21. 如图， 为的对角线，延长 至点，使，连接 ，分别交， 于点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的性质和判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，得到平行线，再利用平行线去判定三角形的相似，解答即可． （2）根据平行四边形的性质，得到平行线，再利用平行线去判定三角形的相似，解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ， ∵， ， ， ． 【小问2详解】 解：在中， ， ， ． ， ， ， ． 22. 如图，点 在 上， 是直径， ，过点作 交的延长线于点． （1）求证： 是 的切线． （2）若 ，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵为 的半径， ∴ 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）作 于点，易得四边形 为正方形，解 ，求出 的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作 于点， 由（1）知： ， ∴四边形 为矩形， ∵， ∴四边形 为正方形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 23. 如图，在矩形 中，，E是 边的中点，连接，过点作交 于点，连接． （1）求证：． （2）求的正弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，勾股定理，三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）在矩形 中，，因为，所以，故，则可证明； （2）由得，而是 边的中点，所以，可求，进而可求，由勾股定理得，则的正弦值可求． 【小问1详解】 解：在矩形 中， ， ； 【小问2详解】 解：， 而是 边的中点， ， ∴， ， ∴ 由勾股定理得， ∴． 24. 如图所示，为美化校园环境，某校计划在一块长为、宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为． （1）用含的式子表示花圃的面积 ； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是元，并且通道宽的值能使关于x的方程有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于且不超过，如果学校决定由该公司承建此项目，求修建该通道的总费用为多少． 【答案】（1）； （2）通道的宽为； （3）修建的通道的总费用为元． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用含的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可； （）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列方程解答即可； （ ）由方程有两个相等的实根，得，所以，，又，得 ，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：花圃的面积是： 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽为； 【小问3详解】 解：∵方程有两个相等的实根， ∴， 解得：，， ∵， ∴ ， 当 时， ， 总费用（元）， 答：修建的通道的总费用为元． 25. 如图，在 中，，以为直径作 ，交 于点D，交 于点E，连． （1）求证： （2）若求 的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为， 根据等边对等角可知， ，则可得，则可证 （2）因为AB是直径，则，因为，可知 ，由 ，可证明D是 中点，则，可证明，则． 【小问1详解】 证明∶ ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵AB是直径， ， ∵， 则 ， ，O是中点， ∴， ∴D是 中点 ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，直径所对圆周角为直角，圆内接四边形对角互补，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 26. 已知在中，， 是边 上的中线．点P在射线 上（点P不与点B重合），连接 ． （1）如图1，当点P在 延长线上时，如果，求证： 是直角三角形； （2）当时， ①如图2，如果点P是 的内心，求 的面积： ②填空：如果，，那么 的长为 ． 【答案】（1）证明见详解 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线及等腰三角形的性质得出相关角度的表达式，再由已知条件证得，即可得证； （2）①过点P作，由三角形中线可得，再由三角形内心的性质得出 ，利用勾股定理求得 的长度，证明出，利用等腰直角三角形的性质得出，进而求得结果； ②分情况讨论：点P在线段 上和点P在 延长线上，作出对应的辅助线并利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，设 的值，再表示出其它相关线段的表达式，利用相似三角形对应线段成比例得出未知数，进而得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， 是边 上的中线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， 即 是直角三角形． 【小问2详解】 解：①如图，过点P作， ∵， 是边 上的中线， ∴， 又∵点P在中线 上，且是 的内心， ∴点P到， ， 三边的距离相等， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴(直角三角形全等的判定定理)， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段 上时， 如图，延长 至点N，使，连接 ， 在 和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴，； ②当点P在 延长线上时， 如图，在 上截取， 在 和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得， ∴， ∴， 综上所述， 的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形中线定理，全等三角形的判定与性质，三角形内心的性质，等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质． 27. 项目学习 【问题背景】今年11月份以来，广德“三件套”越来越火，全国各地游客纷纷来广德打卡，让“卡旺卡”供不应求，每天都有数百人在门口排队．数学小组对排队现象进行了研究，因条件有限仅研究了排队人数与工作窗口数之间的关系． 【研究条件】 条件1：门店内各窗口分别设置、互不影响； 条件2：顾客进店购买时都满足：排队人数现场总人数已购买人数； 条件3：由于条件限制，门店最多开放8个窗口，平均每个窗口每分钟可完成购买6人． 【模型构建】门店开业后，经研究发现，现场总人数与营业时间 之间满足函数关系式： 【模型应用】 （1）当开通4个窗口时，营业时间 分钟时，已购买人数为_______，排队人数 与营业时间 的函数关系式为_______ （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）市文旅出于安全方面考虑要求： ①排队人数在开始营业10分钟（包括含10分钟）减少； ②门店老板由于场地受限，出于安全考虑，要求尽量少安排窗口，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几个窗口，请说明理由？ 【答案】（1） （2）排队人数在第18分钟达到最大值，最大人数是424人 （3）最少开设7个窗口，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出式子即可； （2）根据配方法即可解题； （3）设开通了个窗口，表示出 及其对称轴，根据排队人数在开始10分钟内（包含10分钟）减少，进而解题． 【小问1详解】 解：∵平均每个窗口每分钟可完成购买6人， ∴营业时间 分钟时，已购买人数为， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：把， 当时， 达到最大值，最大值是424； 答：排队人数在第18分钟达到最大值，最大人数是424人； 【小问3详解】 解：设开通了个窗口， 根据题意可得：， 整理得：， 对称轴为， 排队人数在开始10分钟内（包含10分钟）减少， ， 解得：， 最多可以开通8个窗口， ∴ 尽量少安排窗口，以节省开支， 其中为整数且， 取． 答：最少开设7个窗口． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $