精品解析：陕西省西安市经开区经开第三中学2025-2026学年上学期八年级数学期末考试评价试题

经开三中2025－2026学年第一学期期末评价试题 初二 数学 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. 3.1415 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了无理数，算术平方根，无理数是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A．3.1415是有限小数，属于有理数； B．，是整数，属于有理数； C．是分数，属于有理数； D．是无限不循环小数，属于无理数． 故选：D． 2. 点在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断点的坐标符号特征（-，+），根据点坐标与象限的特征解题，点的符号（+，+），则点在第一象限，点的符号（-，+），则点在第二象限，点的符号（-，-），则点在第三象限，点的符号（+，-），则点在第四象限，据此解题. 【详解】解： 点的横坐标，点的纵坐标， 在第二象限， 故选：B. 【点睛】本题考查点坐标与象限的特征，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 3. 某小组6名同学的身高（单位：）分别为160、162、159、161、158、160，则这组数据的平均数是（ ） A. 160 B. 161 C. 162 D. 163 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平均数，根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：平均数为． 故选：A． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 相等的角是对顶角 C. 两点之间，线段最短 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查真命题的判断，涉及平行公理、对顶角性质、线段公理和平方根性质，根据以上知识点和性质逐项判断即可． 【详解】A．缺少“直线外一点”的条件，故A错误； B．相等的角不一定是对顶角，故B错误； C．两点之间，线段最短，故C正确； D．若，则，故D错误． 故选：C． 5. 已知，是一次函数图象上的两个点，且，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据的，得出随着增大而减小，又因为，则，即可作答． 【详解】解：∵函数 的， ∴ 随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 6. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 8. 如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD=5，AD=2，AE=3,动点P从点E出发，沿路径E-B-C-D运动，则△DPE 的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出BE的长，然后分①点P在BE上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后选择答案即可；②点P在BC上时，根据S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP列式整理得到y与x的关系式；③点P在DC上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系． 【详解】解：∵在矩形DABC中，AD=2，DC=3， ∴BC=AD=2，AB=DC=5， ∵AE=3， ∴BE=AB-AE=5-3=2， ①点P在BE上时，， ∴y=x（0＜x≤2）， ②点P在BC上时， S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP ， ； ③点P在DC上时，△DPE的面积， 故选C． 【点睛】本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点P的位置的不同分三段列式求出y与x的关系式是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 10. 将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律．点的平移规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】将点向右平移3个单位，横坐标增加3，变为；再向上平移2个单位，纵坐标增加2，变为． 因此点的坐标为． 故答案为：． 11. 在“青春跟党走，逐梦新征程”主题演讲比赛中，某选手的情感传递、语言表达、演讲内容这三个方面得分分别为：92分、80分、84分，若三项得分按的比例计算，该选手最终的成绩是________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算与运用，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．运用加权平均数公式计算即可． 【详解】解：该选手最终的成绩是：分． 故答案为：． 12. “抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 根据平行线的性质得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为________． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键．将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出即可得到解答． 【详解】解：将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半， ， 在中，， ， ∴需要丝带的长度最少为． 故答案为：52． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为，点的坐标为，以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；…按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， ，……均在直线上， ， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 同理，， ∴， 同理，， ， ……， ∴， 即点的横坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共56分） 15. 计算题 （1）计算： （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根式的运算、绝对值以及完全平方公式： （1）先求绝对值、零指数幂以及根式，再加减； （2）先用完全平方公式展开，再计算乘法，最后加减． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【小问1详解】 解： 得， 得：， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为； 【小问2详解】 解： 由②式得③， ①③得， 解得， 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的图形，写出点C的对称点F的坐标； （2）点P是y轴上一动点，并满足最小，请在图中找出点P的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值． 【答案】（1） 即为所求， （2）如图，点P即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图－轴对称变换，轴对称－最短路线问题，勾股定理，熟练掌握对称点坐标的计算，正确作图是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的特点：横坐标不变，纵坐标相反，画图即可； （2）作出点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：此时． 18. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】（1） 是直角三角形，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）可证明，则由勾股定理的逆定理可得结论； （2）利用等面积法可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 答：一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 19. 阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整． 如图，已知，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，． 求证：． 证明：因为（已知）， 所以∠1=∠CFE（________）． 因为AE平分∠BAD（已知）， 所以（________）． 所以（________）． 因为（ ）， 所以（ ）． 所以（________________）． 【答案】两直线平行，同位角相等；角平分线定义；等量代换；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理并准确运用． 本题通过平行线的性质、角平分线的定义以及等量代换，逐步推导得出内错角相等，从而证明两直线平行． 【详解】证明：因为（已知） 所以（两直线平行，同位角相等） 又因为平分（已知） 所以（角平分线定义） 所以（等量代换） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（内错角相等，两直线平行） 故答案为：两直线平行，同位角相等；角平分线定义；等量代换；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行 20. 为了以赛促练，强健体魄，八年（1）班组织了一场跳绳比赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： a．两组成绩（单位：次）统计如下： 甲组：144，132，136，162，132，136，144，115，123，144； 乙组：125，138，149，128，138，134，128，133，146，148． 甲、乙两组数据的四分位数（单位：次）如下表： 组别 甲组 132 136 144 乙组 m n 146 请根据以上信息完成下列问题： （1）求表中m，n的值； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，图中A，B哪个反映的是甲组的成绩？ （3）请你根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 【答案】（1）128，136 （2）A （3） 甲组测试的成绩的方差更大， 理由如下：根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中，所以甲组测试的成绩的方差更大．（合理即可）． 【解析】 【分析】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）先将乙组数据从小到大排序，再计算出下四分位数和中位数即可； （2）根据箱线图和甲乙两组数据特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论． 【小问1详解】 解：将乙组的成绩从小到大排列为125，128，128，133，134，138，138，146，148，149， 所以，， 故答案为：128，136； 【小问2详解】 解：从表中可知，甲组的四分位数是， 而图中左边的箱线图（标记为A）的箱子下边缘在132、中位数在 136、上边缘在 144，并且其整体范围从约 115 到 162，与甲组数据对应， 因此A代表甲组的成绩． 【小问3详解】 略 21. 如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 【答案】海里 【解析】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，过作于点，轴于点，连接，证明出是等腰直角三角形，求出海里， 海里，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过作于点，轴于点，连接． 由题意得（海里），（海里），， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴（海里）， （海里），（海里）， （海里）， 在中，海里． 22. 习近平总书记说：“人民群众多读书， 我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来． ” 某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需288元； 购进6本类图书和2本类图书共需306元． （1）两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划用4500元全部购进两类图书．进货时，类图书的购进数量不少于60本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为50元，设购进类本，类本，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）A类图书每本的进价是36元，B类图书每本的进价是45元； （2）当购进A类图书60本，B类图书52本时，该书店所获利润最大，为380元 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，确定相等关系列方程组与函数关系式是解本题的关键． （1）设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元． 根据购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元，再建立方程组作答即可； （2）设购进A类x本，B类y本，可得；再列出一次函数解析式，结合函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元． 根据题意得：， 解得， 答：A类图书每本的进价是36元，B类图书每本的进价是45元； 【小问2详解】 解：设购进A类图书x本，B类图书y本，利润为W元， 根据题意得：， ∴； 根据题意得： ， ∵， ∴W随x的增大而减小． ∵，且x为整数， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴． ∴当购进A类图书60本，B类图书52本时，该书店所获利润最大，最大利润为380元． 23. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． （1）点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． （2）若点是“完美点”，求a的值． （3）若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】（1）2，3，2 （2）或 （3） 解：点的长距为5，且点在第三象限内， ， 解得：， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是8， 是“完美点”． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“短距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得，即可求出答案； （3）先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【小问1详解】 解：点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3． ∵点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”， 又∵，， ∴点的“短距”为2， 故答案为：2，3，2； 【小问2详解】 解：由条件可知， ∴或， 解得或． 【小问3详解】 略 24. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的倍．已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）如图2，折线①表示___________行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）； （2）求麦克警官提速后的速度，并求，的值； （3）求折线①中线段所在直线的函数解析式； 【答案】（1）麦克 （2）麦克警官提速后的速度为（米/秒），， （3）线段所在直线的函数解析式为 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出各段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象； 【小问2详解】 解：由题意可得：麦克提速前速度为(米/秒)， ∴提速后速度为（米/秒）， 段经过的时间为（秒）， ∴， 当时，安安警官的路程为米 ∴安安警官的速度为（米/秒）， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得点，点， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，的坐标分别代入函数解析式中可得： ， 解得， 即线段所在直线的函数解析式为． 25. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线平行，且经过点． （1）求点A、B的坐标及直线的解析式； （2）若点P是直线上的一个动点，其横坐标为n，且点P到x轴的距离为9，求n的值； （3）设点Q为直线上的动点，且点Q的纵坐标为3，在x轴上是否存在点D，使的面积为12．如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）点坐标为，点坐标为， （2）或 （3）存在，D的坐标为或． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积等知识，解题的关键是正确求出直线的解析式． （1）首先分别令和求出点坐标为，点坐标为，然后根据直线与直线平行，设直线的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点P的纵坐标为9或，然后分别将和代入求解即可； （3）首先求出点的坐标为，然后根据题意得到，求出，然后分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时， ∴点坐标为， 当时， ∴ ∴点坐标为， ∵直线与直线平行， ∴设直线的表达式为 将代入得， ∴设直线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点到轴的距离为9， ∴点P的纵坐标为9或 ∴当时， 解得； 当时， 解得； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：∵点为直线上的动点，且点的纵坐标为3， ∴ 解得 ∴点的坐标为 ∵点D在x轴上，的面积为12， ∴ ∴ ∴点D的横坐标为或 ∴点D的坐标为或． 26. 【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． （1）如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． （2）【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】（1）①；②；③；④内错角相等，两直线平行 （2） 解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 经开三中2025－2026学年第一学期期末评价试题 初二 数学 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. 3.1415 B. C. D. 2. 点在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某小组6名同学的身高（单位：）分别为160、162、159、161、158、160，则这组数据的平均数是（ ） A. 160 B. 161 C. 162 D. 163 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 相等的角是对顶角 C. 两点之间，线段最短 D. 若，则 5. 已知，是一次函数图象上的两个点，且，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD=5，AD=2，AE=3,动点P从点E出发，沿路径E-B-C-D运动，则△DPE 的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的算术平方根是______． 10. 将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点，则点的坐标为______． 11. 在“青春跟党走，逐梦新征程”主题演讲比赛中，某选手的情感传递、语言表达、演讲内容这三个方面得分分别为：92分、80分、84分，若三项得分按的比例计算，该选手最终的成绩是________分． 12. “抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为_______． 13. 如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为，点的坐标为，以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；…按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_________． 三、解答题（本大题共7小题，共56分） 15. 计算题 （1）计算： （2）． 16. 解下列方程组： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的图形，写出点C的对称点F的坐标； （2）点P是y轴上一动点，并满足最小，请在图中找出点P的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值． 18. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 19. 阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整． 如图，已知，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，． 求证：． 证明：因为（已知）， 所以∠1=∠CFE（________）． 因为AE平分∠BAD（已知）， 所以（________）． 所以（________）． 因为（ ）， 所以（ ）． 所以（________________）． 20. 为了以赛促练，强健体魄，八年（1）班组织了一场跳绳比赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： a．两组成绩（单位：次）统计如下： 甲组：144，132，136，162，132，136，144，115，123，144； 乙组：125，138，149，128，138，134，128，133，146，148． 甲、乙两组数据的四分位数（单位：次）如下表： 组别 甲组 132 136 144 乙组 m n 146 请根据以上信息完成下列问题： （1）求表中m，n的值； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，图中A，B哪个反映的是甲组的成绩？ （3）请你根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 21. 如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 22. 习近平总书记说：“人民群众多读书， 我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来． ” 某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需288元； 购进6本类图书和2本类图书共需306元． （1）两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划用4500元全部购进两类图书．进货时，类图书的购进数量不少于60本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为50元，设购进类本，类本，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 23. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． （1）点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． （2）若点是“完美点”，求a的值． （3）若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 24. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的倍．已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）如图2，折线①表示___________行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）； （2）求麦克警官提速后的速度，并求，的值； （3）求折线①中线段所在直线的函数解析式； 25. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线平行，且经过点． （1）求点A、B的坐标及直线的解析式； （2）若点P是直线上的一个动点，其横坐标为n，且点P到x轴的距离为9，求n的值； （3）设点Q为直线上的动点，且点Q的纵坐标为3，在x轴上是否存在点D，使的面积为12．如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 26. 【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． （1）如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． （2）【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $