湖南长沙外国语学校等校2025-2026年下学期高一期末考试数学试卷

2025年下学期高一期末考试 数学试卷 时量：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合U={x>},A=xx≥2，则CuA= A.（-o,2) B.（-∞，-1U(1,2]C.（-∞，2] D.（-∞，-1)U(1,2） 2.下列选项中与角a=1560°终边相同的角是 A.-60° B.60° C.120° D.240° 3.幂函数f()=(a2-8)x2在(0，+∞上单调递增，则a= A.1 B.3 C.1 D.±3 4.已知正数a,6满足2+=3，则a+46的最小值为 A.3 B.4 C.8 D.9 5.已知函数/()=20s(ox+pj@>0s的部分图象如图所示，将f(的图象上所 有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数g(x)的图象，则 3 A.g6的=2os6x+周 B.9网=2 2cox--到 C.g0)=2cos(6x+) D.g6)=2c0s(6x-） 6.函数y=1g(2-2x-3)的单调递减区间是 A.（-0,1) B.（-0,-1) C.(1,+∞ D.(3,+∞ 7.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折 扇的诗句.如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB,再在该扇形内剪 下一个同心小扇形OCD(作为扇骨留白)，形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的 试卷第1页，共4页 圆心角为行时，电面看上去形状较为类观。已知D-20,页QD的长为2弯m, 则此扇面的面积为 () B D A.100cm B.400 cm C.800cm D.300元cm 3 3 3 已蜘函数f因产-1，者了区+/c-+2>0恒成立，则口的取值范 为 () A.（4,0] B.（-4,0) C.(0,4 D.(0,4) 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分) 9.以下四个命题中，是真命题的是 () A.x∈R,x2≥0 B.存在整数x,y,使得2x+4y=5 C.a∈R,二次函数y=x2+2a的图象都关于y轴对称 D.若命题p:x>0,x2+x+1≥0，则p的否定为：3x<0,x2+x+1<0 10.已知函数八)=m(or+引，共中@>0，若f()的0最小正周期为号，则下列说法正 确的是 () A.ω=2 B.f八)的定义域为[x*是+kke到 C.f()在(-20)上单调递增 D.若a<0,且回≤尊，则a的最大值为音 L.已知高克内={80其本a-0=9.且c6c,则（） 高一数学试卷第2页，共4页 A.f(x)有两个减区间 B.函数y=f(x)-(1ER)最多有3个零点 C.a+b+c∈[-1,14) D.abc∈[0,64) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.f(x)=a2x-4+5（a>0且a≠1)的图象恒过定点 13.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，若x之0时，f(x)=1og2(x+1),则 f(-15)= 14.xeR,用m(x)表示f(x),g(x)中的最小者，记为m(x)=min{/(x,g(x}, m(x)=min{-x+l,-(x-l},则当x一时，m(x)取到最大值. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分13分)已知全集U=R,集合A={xa-2≤x≤a+3},B={x-1≤ 1og2x≤1. d当=子时，求4UB: (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16.(本小题满分15分)已知函数f()=cos2x+V3 sinxcosx+ (1)求∫(x)的最小正周期： (2)求∫(x)的最大值及取得最大值时x的值： (3)当x∈[0，π]时，求f(x)的单调递增区间. 试卷第3页，共4页 17、(本小题满分15分)已知f(x)=x2+(a-5)x-a. (1)若(d)<0的解集为(-3,2)，求关于x的不等式+3≤0的解集： x-1 (2)若g(x)=f(x)+4x,解关于x的不等式g(x)≥0. 18.（本小题满分17分)如图，AB为半圆的直径，AB=6,O为圆心，P是半圆上的一点， ∠BOP=(0°<0<90)，将射线OP绕O逆时针旋转90°到O2,过P,2分别作PM⊥AB于M, ON⊥AB于N. M B (I)建立适当的直角坐标系，用日的三角函数表示P,2两点的坐标： (2)求四边形PONM面积的最大值. 19(本小圆满分17分)已知函数f网=1s20,其中a>0,且f儿)为奇西数 (1)求a的值； (2)若g)=fx)-x,G(x)=g(2x2)+g(x-1),M={xG(x)>0},求集合M (3)若函数h(x)=2的，讨论函数H(x)=3h(2-1)k2+3k-1(k为常数) 的零点个数， 高一数学试卷第4页，共4页2025年下学期高一期末考试 数学试卷答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A D D A AC AD BD 5.【答案】D 【详邦】成家图家中的零点和最低点，刻宁7：号（引子，所以辰小正同期T=,故四==-2， T 将最低点 -j代入可得2a2+2甲og到-1， 4π 由余弦函数的性质可知+0=2加+xeZ列，又≤受所以k取0，得p-骨 4π 所以了e)=20o个2-司将f的图象上所有点的枝坐标缩短到原来的写言。 3 由三角函数图象伸缩变换的规律可知g6)=2c0s(6x-) 6.【答案】D 【详解】由x2-2x-3>0可得x<-1或x>3, 所以f()=10g(x-2x-3)的定义域为(-，-1)UB,+0), 设t=x2-2x-3, 则f()=log(x-2x-3列是由y=1ogt和t=X-2x-3复合而成， 因为t=x2-2x-3对称轴为=1，开口向上， 所以t=x2-2x-3在(-o,-1)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 而y=1o9!1单调递减， 2 所以f(c)=log(x-2x-3列在(-∞，-1)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减， 所以f()=10g(r-2x-3)的单调递减区间是(3，+). 7.【答案】C 【详解设OD=Rcm,因为圆心角c红，弧cD的长为机0T 3-cm, 代入弧长公式1R可得20”-×R,解得R=10.所以OA=30. 由扇形面积公式S-aR可得， 1 形=004=2×3×302=300元， 9s=-u1o0-分号1r10 3 所以比面的百梨S=s5s=30m19r四(oam） 3 8.【答案】A 试卷答案第1页，共6页 1-2x 【详解】由题意知)=2+--1， 令g(x)=f8)+1= +7-8(刘32 1-2x 2x+1（=x3三2x+1+x3=-g), 且g(x)的定义域为R关于原点对称，所以g(x)是奇函数， 又侧-号-0-1品8-： 因为少，为R上的减函数，y=一2为R上的减函数 所以函数y=∫(x)在R上单调递减，故函数y=g(x)在R上单调递减， 又由f(2)+f(-1)+2>0,得8(2）+8(ar-1)>0, 所以8(ax2)>-8(-1)=8(1-ax), 所以ax2<1-ar任意x∈R恒成立，即2+a-1<0对任意x∈R恒成立， 若a=0,可得-1<0，此时恒成立，满足要求： a<0 若a≠0，则需△=+4a<0'解得4Ka<0, 综上所述，α的取值范围是(4,0]， 9.【答案】AC 【详解】A选项为真命题：2x+4y=2(x+2y)一定为偶数，故B选项为假命题： y=x2+2a是y=x2上下平移得到的，故C选项为真命题 若命题p:x>0,x2+x+1≥0，则p的否定为：3x>0,x2+x+1<0,故D选项为假命题： 10.【答案】AD 【详解】aw>0,T==2,六⊙=2，故A正确： m骨2x骨产行版，语经工，的定义装为 32 侣+经e乙，教B不正确： 由宁<2x子台，解得音智<合受 122 到角年调阳区间为人登会合签：7 0,单调哈K间为铅显缴0（沿过 故C不正确： 由m如引e9-受nea-，kz 侣受a≤-晋+受质=Z,“a0,长=0时a取录大检为骨微D正疏 11.【答案】BD 试卷第2页，共6页 【详解】作出f(x)的图像如右： (x) 当x≤0时，f(x)=-4x-x2, 其对称轴为x=-2,开口向下，所以f(x)的单调增区间为(-o,-2), -20 16x 单调减区间为(-2,0) 当x>0时，f(x)=log2x的单调增区间为(0，+o),综上f(x)有一个减区间，故A不正确： 结合图像可得，当0<t<4时，函数y=f(x)-t有3个零点，故B正确： 由于f(a)=f(b)=f(c),且a<b<c,结合图像可得a+b=4,又1≤c<16, 所以-3≤a+b+c<12,故C错误； 由图像得a+b=4,且-4≤a<-2<b≤0，则ab=a(-4-a)=-d-4a=-(a+2)2+4, 由-4≤a<-2,则0≤-(a+2)+4<4,即0≤ab<4,由于1≤c<16,所以0≤abc<64,故D正确 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.【答案】(2,6) 13.【答案】-4 14.【答案】1 【详解】令f(x)=-x+1,g(x)=-(x-1)2, f(x)=-x+1 由 &()=--1y解得，=1或r=2, 作出函数f(x)=-x+1,g(x)=-(x-1)图象如右， -(x-1)2,x≤1 由图象可得，m(c)=min{-x+1,-(x-1}= -x+1,1<x≤2， -(x-1)2,x>2 -(x-1)2,x≤1 则函数m(x)= -x+1,1<x≤2的图象如右，所以x=1时，n(x)x=n(1)=0 -(x-1)2,x>2 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【答案】0k日≤x≤a-1, 【详解】(1)-1≤x≤1，解得)≤x≤2，放B={5≤×≤2小 3分 若a子则A=闪≤x≤号).因此AUB传≤×E》 6分 试卷答案第3页，共6页 (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，可得B=A, 因为4=2ssa+或.B{5≤x≤小 1 5 2+3≥2，解得-1≤a≤ 故ae-l多 13分 16【案】x@的最大道为3.取得最大值时x的值为+a(e2)0引[ 3-1+cos2x V3im 【详解】(1)f08=cos2x+V3 sinx cosx+2=2 空n2x+号sm(+月+2， 3 所以f()的最小正周期为7-受=元 4分 （2令2x+合-分2，解得x名ae, 6 所以当x=亚+(k∈Z)时，f(d取得最大值3， 6 所以f(:)的最大值为3，取得最大值时x的值为严+m(k∈Z). 6 9分 (3)令-+2m≤2x+匹s5+2m,解得-+m≤x≤+m,keZ, 62 3 6 当0时，引当1时.x[ 36 所以当c可.的单满选区间为[o哥引[ 15分 17.【答案1u[-山当a>-1时，e(-a]小L+:当a=-1时，xek:当a≤-1时，te(-小-a+）. 【详解】(1)己知fx)=x2+(a-5)x-a<0的解集为(-3,2)，说明-3和2是方程x2+(a-5)x-a=0的根. 由韦达定理： -3×2=月0，可得a=6 3分 -3+2=-(a-5) 将a=6代入不等式四+3≤0，得6+3 x-1 0《8)0 所以-3≤x<1.因此，不等式的解集为[-3) 6分 (2)g8)=f☒)+4x=x2+(a-1)x-a=x2+-x-a=x(x+ad）-(x+a)=(x-1)(x+a) 即解(x-1)(x+a)≥0，需要根据a的取值分类讨论： (1)当-a<1,即a>-1时，不等式的解为x≤-a或x≥1： (2)当-a=1,即a=-1时，不等式变为(x-1)220,解集为全体实数R; (3)当-a>1,即a<-1时，不等式的解为x<1或x≥-a. 综上所述：当a>-1时，x∈(-o-a][1,+n):当a=-1时，x∈R;当a<-1时， x∈(m,1[-a,+o∞). 15分 试卷第4页，共6页 18.【答案】(1)建系见解析，点P(3cos0,3sin0),点Q(-3sin0,3cos0)；(2)最大值为9. 【详解】(1)如图，以AB所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系xOy, :∠BOP=0,圆的半径为3， 点P坐标为6cos0,3in0),点Q的坐标为3cos(0+7,3sim(日+》， MB .Q坐标为(-3sin0,3cos0). 8分 (2):0°<0<90°， ∴.四边形POM的面积S=MP+NQD×MN=Bsimθ+3cos0)×6cos0+3sin0) S=20+2sin0cos0)=1+sin20,0°<28<180,14分 ∴.当20=90°时，即0=45°时，Smax=9, ∴四边形PO☑M的面积的最大值为9， 17分 I9【答案】1D (3)答案见解析 【小问1详解】因为函数(x)为奇函数， 2a+x 4a2-x2 “f(-)+fy=1821-x+lo821+元 2a-x=1og21x2=0, 4a2-x2 1 1-=1,解得4a2=1.又a>0.a= 1 经检验，=2 符合题意。 3分 【小同21t得闭-卡则8(-f四-=18 1-x-x, 由}-￥>0→-1<t<1,因函数f()为奇函数。 1+x g(-x)=f(-x)+x=-f(x)+x=-g(x),即g(x)为奇函数. 1-x-x=log:I+x 又g(树)=f(x)-x=1g:1+x （2-1x, 因t= 2-1在(~1山上单调递减且为正数，又y=1g:1在定义域内为增函数， 1+ 则y-✉品小在1D上承远，位a到在（山上单调 6分 由G(x)>0→g(2x2)+g(x-1)>0→g(2x2)>-g(x-1)=g(1-x). -1<2x2<1 9分 2x2<1-x 试卷答案第5页，共6页 【小间3详解】h)=2=1-x,且-1<x<1, 1+x H(x=3h2-1）-k-2+36-1=3.2,22k243-1,-1≤2-1<1即x<1, 令Hx)=0→3.2,2-2k2+3-1=0→2k2l2-6k-4}2-6=0 2 ①当0≤x<1时，有1≤2<2， H(x)=0⊙2(2)-(3k-4)2-6=0→(22-3(k.2+2=0. 山22-3-0得2-即x=1号eQ 当k=0时，方程k2+2=0在[0,1)无实数解. 当40时：月k2+2-0得2-会南1≤至2：解得-2≤<-1 日当2&<l时，xs而当=，=号 3 所以，当k<-2或及-青或k之-1时，同数)在c0)只有一个零点x=-1号15分 3 当2s&<1且=，通数r在e)有两个专点：=1心：号和x-le安引 ②当x<0时，有0<2<1，H(x)=0台2k-(3k-4)2-6=0→(3k-4)2=2k-6. 当k=4时，函数H(x)在(-∞，0)没有零点， 3 当，A-02-头-出03头气1得-2减k3 3k-4 所以，当k<-2或k>3时，函数H(x)在x∈(-o,0)有一个零点： 当-2≤k≤3时，函数H(x)在x∈(-0,0)没有零点. 16分 综上运，当={到L可时，同数H四有且只有个零a: 当e专U手Bw时，画微)有两个专点 17分 试卷第6页，共6页